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1Formule e metodi
Valore temporale del denaro
Valore futuro
FV = PV·(1 + i)n
Valore attuale
PV = FV/(1 + i)n
Più periodi all’anno
i = r/m, N = m·n
Rendita, valore attuale
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Rendita, valore futuro
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Metodo
Disegna una linea temporale con ogni flusso di cassa e la sua scadenza.
Abbina il tasso al periodo: un tasso mensile per pagamenti mensili.
Usa FV = PV·(1 + i)ⁿ per importi singoli e le formule delle rendite per pagamenti costanti.
Controlla il segno e l’ordine di grandezza della risposta.
VAN e TIR
Valore attuale netto
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Flussi uguali
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Tasso interno di rendimento
il r per cui NPV = 0
Decisione
accetta se NPV > 0 (o IRR > rendimento richiesto)
Metodo
Elenca tutti i flussi di cassa con il loro anno; l’investimento all’anno 0 è negativo.
Sconta ogni flusso di cassa: CFt/(1 + r)t.
Sommali per ottenere il VAN. Positivo significa che il progetto rende più di r.
Per il TIR, trova per tentativi o per interpolazione il tasso che annulla il VAN.
Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Prezzo dell’obbligazione
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Cedole semestrali
C/2, y/2 e 2n periodi
Rendimento corrente
C/P
Prezzo e rendimento
rendimento su → prezzo giù
Metodo
Trova la cedola per periodo e il rendimento per periodo.
Prezzo = valore attuale delle cedole (una rendita) + valore attuale del valore nominale.
Per cedole semestrali usa metà cedola, metà rendimento e il doppio dei periodi.
Verifica: se il rendimento è superiore al tasso cedolare, il prezzo è inferiore al valore nominale.
CAPM e WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Valore dell’impresa
V = E + D
Analisi del punto di pareggio
Margine di contribuzione
CM = p − v
Quantità di pareggio
QBE = FC/(p − v)
Utile obiettivo
Q = (FC + profit)/(p − v)
Utile
π = (p − v)·Q − FC
Margine di sicurezza
(Q − QBE)/Q
2Esercizi
1.Valore temporale del denaroMedia
Investi €12 000 a un tasso nominale del 3 % annuo, capitalizzato mensilmente. Trova il valore FV dell'investimento dopo 6 anni.
PV = €12 0003% / 12n = 6
FV = €
2.Valore temporale del denaroDifficile
Vuoi avere €50 000 tra 10 anni. Risparmi la stessa somma alla fine di ogni mese su un conto che rende il 3,6% annuo, capitalizzato mensilmente. Trova il versamento mensile A.
FV = €50 0003,6% / 12N = 120
A = €
3.VAN e TIRMedia
Una macchina costa €80 000 oggi, dura 7 anni e costa €1 000 all’anno di esercizio (pagati alla fine di ogni anno). Il costo del capitale è il 6%. Trova il suo costo annuo equivalente EAC.
C0 = €80 000M = €1 000n = 7r = 6%
EAC = €
4.VAN e TIRDifficile
Un progetto costa €20 000 e rende €10 500, €8 500, €11 500, €6 000 alla fine degli anni da 1 a 4. I flussi di cassa possono essere reinvestiti al costo del capitale del 6%. Trova il tasso interno di rendimento modificato MIRR in percentuale.
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 paga una cedola annua del 7% in due rate semestrali e scade tra 5 anni. Il rendimento a scadenza è del 3,5% annuo. Trova il prezzo P dell’obbligazione.
F = €1 000cedola = 7%YTM = 3,5%n = 5
P = €
6.Prezzo e rendimento delle obbligazioniDifficile
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 paga una cedola annua del 7% in due rate semestrali e scade tra 3 anni. Viene venduta a €1 055. Trova il suo rendimento a scadenza YTM come tasso annuo (il doppio del rendimento semestrale), in percentuale.
F = €1 000cedola = 7% (2×)n = 3P = €1 055
YTM = %
7.CAPM e WACCMedia
Un’azienda ha capitale proprio per €6 000 000 e debito per €1 000 000. Il costo del capitale proprio è del 8%, il costo del debito al lordo delle imposte è del 5% e l’aliquota fiscale è del 28%. Trova il WACC.
E = €6 000 000D = €1 000 000re = 8%rd = 5%T = 28%
WACC = %
8.CAPM e WACCDifficile
Un’azienda ha 4 000 000 azioni quotate €33,00; il valore contabile del suo capitale proprio è €79 200 000. Ha appena pagato un dividendo di €2,30 per azione, e i dividendi crescono del 5% all’anno. Il suo debito ha un valore di mercato di €132 000 000 e un costo al lordo delle imposte del 6%. L’aliquota fiscale è del 30%. Trova il WACC, usando il modello di crescita dei dividendi per il costo del capitale proprio.
Un prodotto si vende a €37 con un costo variabile di €25 per unità. I costi fissi sono €60 000 al mese e l’utile è tassato al 20%. Quante unità Q si devono vendere al mese per guadagnare €18 000 al netto delle imposte?
p = €37v = €25F = €60 000T = 20%utile al netto delle imposte = €18 000
Q = unità
10.Analisi del punto di pareggioDifficile
Un’azienda vende due prodotti. Il prodotto A si vende a €14 con un costo variabile di €8; il prodotto B si vende a €18 con un costo variabile di €10. Si vendono in un mix fisso di 3 unità di A ogni 2 di B. I costi fissi sono €13 600 al mese. Trova il numero totale di unità Q (A e B insieme) necessario per il pareggio.
pA = €14, vA = €8pB = €18, vB = €10A : B = 3 : 2F = €13 600
Q = unità
3Soluzioni
1.Valore temporale del denaro
Risposta: FV = 14363 €
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Costo annuo equivalente: distribuisci il valore attuale di tutti i costi sulla vita utile come un importo annuo costante (una rendita): EAC = PV·r/(1 − (1 + r)⁻ⁿ). Permette di confrontare macchine con vite diverse.
Fattore di rendita
(1 − 1,06−7)/0,06 = 5,582
Prezzo d’acquisto annualizzato
80 000/5,582 = 14 330,80
EAC
EAC = 14 330,80 + 1 000 = €15 330,80
Risposta
EAC = €15 330,80
4.VAN e TIR
Risposta: MIRR = 19,1 %
TIR modificato: capitalizza ogni entrata fino alla fine del progetto al tasso di reinvestimento (di solito il costo del capitale) per ottenere il valore finale TV. Il MIRR è il tasso che trasforma l’investimento iniziale in TV: MIRR = (TV/C₀)^(1/n) − 1.
Valore finale delle entrate
10 500·1,063 = 12 505,67
8 500·1,062 = 9 550,60
11 500·1,061 = 12 190,00
6 000·1,060 = 6 000,00
TV = 40 246,27
MIRR
MIRR = (40 246,27/20 000)1/4 − 1 = 19,1%
Risposta
MIRR = 19,1%
5.Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Risposta: P = 1159 €
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Per periodo
C = €35,00, i = 0,0175, N = 10
Valore attuale delle cedole
€35,00·(1 − 0,8407)/0,0175 = €318,54
Valore attuale del valore nominale
€1 000·0,8407 = €840,73
Prezzo
P = €1 159,27
Risposta
P = €1 159,27
Il rendimento è inferiore al tasso cedolare, quindi l’obbligazione quota sopra la pari (a premio).
6.Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Risposta: YTM = 5,003 %
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Per periodo
C = €35,00, N = 6
Risolvi numericamente
i = 2,501% per semestre
YTM
YTM = 2·2,501% = 5,003%
Risposta
YTM = 5,003%
7.CAPM e WACC
Risposta: WACC = 7,371 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Pesi
V = €7 000 000, E/V = 0,8571, D/V = 0,1429
WACC
WACC = 0,8571·8% + 0,1429·5%·(1 − 0,28) = 7,371%
Risposta
WACC = 7,371%
8.CAPM e WACC
Risposta: WACC = 8,259 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Costo del capitale proprio
D1 = 2,3·1,05 = €2,42
re = 2,415/33 + 0,05 = 12,32%
Valori di mercato
E = 4 000 000·€33,00 = €132 000 000
V = €264 000 000, E/V = 0,5, D/V = 0,5
WACC
WACC = 0,5·12,32% + 0,5·6%·(1 − 0,3) = 8,259%
Risposta
WACC = 8,259%
9.Analisi del punto di pareggio
Risposta: Q = 6875 unità
Costi-volumi-risultati: ogni unità venduta porta un margine di contribuzione, prezzo meno costo variabile unitario. Utile = Q·(p − v) − F, dove F è il costo fisso. Al punto di pareggio l'utile è zero, quindi Q = F/(p − v).
Utile al lordo delle imposte necessario
18 000/(1 − 0,2) = €22 500
Unità necessarie
Q = (60 000 + 22 500)/12 = 6 875
Risposta
Q = 6 875 unità
10.Analisi del punto di pareggio
Risposta: Q = 2000 unità
Pareggio con un mix di vendita: quando i prodotti si vendono in un rapporto fisso, usa il margine di contribuzione medio ponderato: pondera il p − v di ogni prodotto con la sua quota di unità. Unità di pareggio = F/(margine di contribuzione ponderato), poi ripartite di nuovo secondo il rapporto del mix.