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1Formule e metodi
Valore temporale del denaro
Valore futuro
FV = PV·(1 + i)n
Valore attuale
PV = FV/(1 + i)n
Più periodi all’anno
i = r/m, N = m·n
Rendita, valore attuale
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Rendita, valore futuro
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Metodo
Disegna una linea temporale con ogni flusso di cassa e la sua scadenza.
Abbina il tasso al periodo: un tasso mensile per pagamenti mensili.
Usa FV = PV·(1 + i)ⁿ per importi singoli e le formule delle rendite per pagamenti costanti.
Controlla il segno e l’ordine di grandezza della risposta.
VAN e TIR
Valore attuale netto
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Flussi uguali
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Tasso interno di rendimento
il r per cui NPV = 0
Decisione
accetta se NPV > 0 (o IRR > rendimento richiesto)
Metodo
Elenca tutti i flussi di cassa con il loro anno; l’investimento all’anno 0 è negativo.
Sconta ogni flusso di cassa: CFt/(1 + r)t.
Sommali per ottenere il VAN. Positivo significa che il progetto rende più di r.
Per il TIR, trova per tentativi o per interpolazione il tasso che annulla il VAN.
Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Prezzo dell’obbligazione
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Cedole semestrali
C/2, y/2 e 2n periodi
Rendimento corrente
C/P
Prezzo e rendimento
rendimento su → prezzo giù
Metodo
Trova la cedola per periodo e il rendimento per periodo.
Prezzo = valore attuale delle cedole (una rendita) + valore attuale del valore nominale.
Per cedole semestrali usa metà cedola, metà rendimento e il doppio dei periodi.
Verifica: se il rendimento è superiore al tasso cedolare, il prezzo è inferiore al valore nominale.
CAPM e WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Valore dell’impresa
V = E + D
Analisi del punto di pareggio
Margine di contribuzione
CM = p − v
Quantità di pareggio
QBE = FC/(p − v)
Utile obiettivo
Q = (FC + profit)/(p − v)
Utile
π = (p − v)·Q − FC
Margine di sicurezza
(Q − QBE)/Q
2Esercizi
1.Valore temporale del denaroMedia
Investi €2 000 a un tasso nominale del 6 % annuo, capitalizzato trimestralmente. Trova il valore FV dell'investimento dopo 7 anni.
PV = €2 0006% / 4n = 7
FV = €
2.Valore temporale del denaroDifficile
Risparmi €50 alla fine di ogni mese per 16 anni. Il conto rende il 4,8 % annuo, capitalizzato mensilmente. Quanto hai risparmiato alla fine? Trova FV.
A = €504,8% / 12N = 192
FV = €
3.VAN e TIRMedia
Una macchina costa €40 000 oggi. Genera €9 000 alla fine di ogni anno per 5 anni e poi può essere venduta a €8 000. Il costo del capitale è il 8%. Trova il valore attuale netto NPV.
C0 = €40 000CF = €9 000S = €8 000n = 5r = 8%
NPV = €
4.VAN e TIRDifficile
Un investimento di €80 000 rende €34 500 alla fine di ogni anno per 3 anni. Trova il suo tasso interno di rendimento IRR in percentuale.
C0 = €80 000CF = €34 500n = 3
IRR = %
5.Prezzo e rendimento delle obbligazioniMedia
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 paga una cedola annua di 3% e scade tra 10 anni. Il suo rendimento a scadenza passa dal 5,5% al 3,5%. Di quanto ΔP varia il prezzo dell’obbligazione?
F = €1 000cedola = 3%n = 10y1 = 5,5%y2 = 3,5%
ΔP = €
6.Prezzo e rendimento delle obbligazioniDifficile
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 e cedola annua del 5% scade tra 3 anni e quota €950. Trova il suo rendimento a scadenza YTM in percentuale.
F = €1 000cedola = 5%n = 3P = €950
YTM = %
7.CAPM e WACCMedia
Un’azienda ha capitale proprio per €4 000 000 e debito per €3 000 000. Il suo WACC è del 8,7%, il costo del debito al lordo delle imposte è del 4% e l’aliquota fiscale è del 25,8%. Trova il costo del capitale proprio re.
Un’azienda ha 1 000 000 azioni quotate €30,00; il valore contabile del suo capitale proprio è €15 000 000. Ha appena pagato un dividendo di €2,60 per azione, e i dividendi crescono del 3% all’anno. Il suo debito ha un valore di mercato di €30 000 000 e un costo al lordo delle imposte del 6%. L’aliquota fiscale è del 28%. Trova il WACC, usando il modello di crescita dei dividendi per il costo del capitale proprio.
Un prodotto si vende a €10 l'unità con un costo variabile di €4 per unità. I costi fissi sono €24 000 al mese. Quante unità Q vanno vendute al mese per ottenere un utile di €12 000?
F = €24 000p = €10v = €4utile = €12 000
Q = unità
10.Analisi del punto di pareggioDifficile
Un prodotto si vende a €65 l'unità, con un costo variabile di €45 per unità e costi fissi di €30 000 all'anno. Le vendite a budget sono 1 800 unità. Trova il margine di sicurezza MS in percentuale delle vendite a budget.
F = €30 000p = €65v = €45budget = 1 800
MS = %
3Soluzioni
1.Valore temporale del denaro
Risposta: FV = 3034 €
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Valore attuale dei flussi di cassa annui
9 000·3,993 = 35 934,39
Valore attuale del valore residuo
8 000/1,469 = 5 444,67
NPV
NPV = −40 000 + 35 934,39 + 5 444,67 = €1 379,06
Risposta
NPV = €1 379,06
4.VAN e TIR
Risposta: IRR = 14,07 %
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Fattore di rendita richiesto
(1 − (1 + i)−3)/i = 80 000/34 500 = 2,319
Ricava il tasso
Il fattore di rendita diminuisce al crescere del tasso; individua un intervallo per il tasso e restringilo.
i = 14%: 2,322
i = 15%: 2,283
IRR = 14,07%
Risposta
IRR = 14,07%
5.Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Risposta: ΔP = 146,9 €
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Equazione del rendimento
€950 = €50·(1 − (1 + y)⁻³)/y + €1 000/(1 + y)³
Risolvi numericamente
P(6%) = €973,27, P(7%) = €947,51
YTM = 6,902%
Risposta
YTM = 6,902%
7.CAPM e WACC
Risposta: re = 13 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Pesi
V = €7 000 000, E/V = 0,5714, D/V = 0,4286
Parte del debito nel WACC
0,4286·4%·(1 − 0,258) = 1,272%
Costo del capitale proprio
re = (8,7% − 1,272%)/0,5714 = 13%
Risposta
re = 13%
8.CAPM e WACC
Risposta: WACC = 8,123 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Costo del capitale proprio
D1 = 2,6·1,03 = €2,68
re = 2,678/30 + 0,03 = 11,93%
Valori di mercato
E = 1 000 000·€30,00 = €30 000 000
V = €60 000 000, E/V = 0,5, D/V = 0,5
WACC
WACC = 0,5·11,93% + 0,5·6%·(1 − 0,28) = 8,123%
Risposta
WACC = 8,123%
9.Analisi del punto di pareggio
Risposta: Q = 6000 unità
Costi-volumi-risultati: ogni unità venduta porta un margine di contribuzione, prezzo meno costo variabile unitario. Utile = Q·(p − v) − F, dove F è il costo fisso. Al punto di pareggio l'utile è zero, quindi Q = F/(p − v).
Costi-volumi-risultati: ogni unità venduta porta un margine di contribuzione, prezzo meno costo variabile unitario. Utile = Q·(p − v) − F, dove F è il costo fisso. Al punto di pareggio l'utile è zero, quindi Q = F/(p − v).