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1Formule e metodi
Valore temporale del denaro
Valore futuro
FV = PV·(1 + i)n
Valore attuale
PV = FV/(1 + i)n
Più periodi all’anno
i = r/m, N = m·n
Rendita, valore attuale
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Rendita, valore futuro
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Metodo
Disegna una linea temporale con ogni flusso di cassa e la sua scadenza.
Abbina il tasso al periodo: un tasso mensile per pagamenti mensili.
Usa FV = PV·(1 + i)ⁿ per importi singoli e le formule delle rendite per pagamenti costanti.
Controlla il segno e l’ordine di grandezza della risposta.
VAN e TIR
Valore attuale netto
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Flussi uguali
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Tasso interno di rendimento
il r per cui NPV = 0
Decisione
accetta se NPV > 0 (o IRR > rendimento richiesto)
Metodo
Elenca tutti i flussi di cassa con il loro anno; l’investimento all’anno 0 è negativo.
Sconta ogni flusso di cassa: CFt/(1 + r)t.
Sommali per ottenere il VAN. Positivo significa che il progetto rende più di r.
Per il TIR, trova per tentativi o per interpolazione il tasso che annulla il VAN.
Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Prezzo dell’obbligazione
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Cedole semestrali
C/2, y/2 e 2n periodi
Rendimento corrente
C/P
Prezzo e rendimento
rendimento su → prezzo giù
Metodo
Trova la cedola per periodo e il rendimento per periodo.
Prezzo = valore attuale delle cedole (una rendita) + valore attuale del valore nominale.
Per cedole semestrali usa metà cedola, metà rendimento e il doppio dei periodi.
Verifica: se il rendimento è superiore al tasso cedolare, il prezzo è inferiore al valore nominale.
CAPM e WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Valore dell’impresa
V = E + D
Analisi del punto di pareggio
Margine di contribuzione
CM = p − v
Quantità di pareggio
QBE = FC/(p − v)
Utile obiettivo
Q = (FC + profit)/(p − v)
Utile
π = (p − v)·Q − FC
Margine di sicurezza
(Q − QBE)/Q
2Esercizi
1.Valore temporale del denaroMedia
Una rendita paga €5 000 alla fine di ogni anno per 17 anni. Il tasso di interesse è il 6% annuo. Trova il valore attuale PV della rendita.
A = €5 000i = 6%n = 17
PV = €
2.Valore temporale del denaroDifficile
Risparmi €50 alla fine di ogni mese per 15 anni. Il conto rende il 2,4 % annuo, capitalizzato mensilmente. Quanto hai risparmiato alla fine? Trova FV.
A = €502,4% / 12N = 180
FV = €
3.VAN e TIRMedia
Un investimento di €75 000 genera questi flussi alla fine degli anni da 1 a 3: €25 000, €22 000, €18 000. Il costo del capitale è del 12 %. Trova il valore attuale netto NPV.
Un investimento di €20 000 rende €4 000 alla fine di ogni anno per 7 anni. Trova il suo tasso interno di rendimento IRR in percentuale.
C0 = €20 000CF = €4 000n = 7
IRR = %
5.Prezzo e rendimento delle obbligazioniMedia
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 paga una cedola annua del 7% in due rate semestrali e scade tra 12 anni. Il rendimento a scadenza è del 6% annuo. Trova il prezzo P dell’obbligazione.
F = €1 000cedola = 7%YTM = 6%n = 12
P = €
6.Prezzo e rendimento delle obbligazioniDifficile
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 paga una cedola annua di 3% e scade tra 6 anni. Il rendimento a scadenza è del 9%. Trova la duration di Macaulay D in anni.
F = €1 000cedola = 3%n = 6YTM = 9%
D = anni
7.CAPM e WACCMedia
Un’azienda ha capitale proprio per €6 000 000 e debito per €6 000 000. Il costo del capitale proprio è del 13%, il costo del debito al lordo delle imposte è del 4% e l’aliquota fiscale è del 25%. Trova il WACC.
Un’azienda ha 4 000 000 azioni da €50,00 ciascuna e 5 000 obbligazioni quotate €980 ciascuna. Il costo del debito al lordo delle imposte è del 5% e l’aliquota fiscale è del 25%. Il beta dell’azione è 0,9, il tasso privo di rischio è del 3% e il rendimento di mercato è del 8,5%. Trova il WACC.
β = 0,9rf = 3%rm = 8,5%rd = 5%T = 25%
WACC = %
9.Analisi del punto di pareggioMedia
Un prodotto si vende a €40 l'unità con un costo variabile di €20 per unità. I costi fissi sono €30 000 al mese. Quante unità Q vanno vendute al mese per ottenere un utile di €5 000?
F = €30 000p = €40v = €20utile = €5 000
Q = unità
10.Analisi del punto di pareggioDifficile
Un’azienda vende due prodotti. Il prodotto A si vende a €23 con un costo variabile di €15; il prodotto B si vende a €35 con un costo variabile di €20. Si vendono in un mix fisso di 3 unità di A ogni 2 di B. I costi fissi sono €54 000 al mese. Trova il numero totale di unità Q (A e B insieme) necessario per il pareggio.
pA = €23, vA = €15pB = €35, vB = €20A : B = 3 : 2F = €54 000
Q = unità
3Soluzioni
1.Valore temporale del denaro
Risposta: PV = 52386 €
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Fattore di rendita
(1 − (1 + i)−n)/i = (1 − 0,3714)/0,06 = 10,48
Valore attuale
PV = 5 000·10,48 = €52 386,30
Risposta
PV = €52 386,30
2.Valore temporale del denaro
Risposta: FV = 10820 €
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Valore attuale di ogni flusso
CF0 = −75 000
CF1/(1 + 0,12)1 = 25 000/1,12 = 22 321,43
CF2/(1 + 0,12)2 = 22 000/1,254 = 17 538,27
CF3/(1 + 0,12)3 = 18 000/1,405 = 12 812,04
Sommali
NPV = €−22 328,26
Risposta
NPV = €−22 328,26
Il VAN è negativo, quindi il progetto rende meno del rendimento richiesto.
4.VAN e TIR
Risposta: IRR = 9,196 %
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Fattore di rendita richiesto
(1 − (1 + i)−7)/i = 20 000/4 000 = 5
Ricava il tasso
Il fattore di rendita diminuisce al crescere del tasso; individua un intervallo per il tasso e restringilo.
i = 9%: 5,033
i = 10%: 4,868
IRR = 9,196%
Risposta
IRR = 9,196%
5.Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Risposta: P = 1085 €
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Per periodo
C = €35,00, i = 0,03, N = 24
Valore attuale delle cedole
€35,00·(1 − 0,4919)/0,03 = €592,74
Valore attuale del valore nominale
€1 000·0,4919 = €491,93
Prezzo
P = €1 084,68
Risposta
P = €1 084,68
Il rendimento è inferiore al tasso cedolare, quindi l’obbligazione quota sopra la pari (a premio).
6.Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Risposta: D = 5,494 anni
Duration: la duration di Macaulay è il tempo medio ponderato in cui un’obbligazione paga i suoi flussi di cassa, con i valori attuali dei flussi come pesi: D = Σ t·PVₜ/P. La duration modificata D/(1 + y) stima la variazione percentuale del prezzo per una piccola variazione del rendimento: %ΔP ≈ −Dmod·Δy.
Valore attuale di ogni flusso
t = 1: 30/1,09 = 27,52, t·PV = 27,52
t = 2: 30/1,188 = 25,25, t·PV = 50,50
t = 3: 30/1,295 = 23,17, t·PV = 69,50
t = 4: 30/1,412 = 21,25, t·PV = 85,01
t = 5: 30/1,539 = 19,50, t·PV = 97,49
t = 6: 1030/1,677 = 614,16, t·PV = 3 684,93
Duration
P = 730,84
D = 4 014,95/730,84 = 5,494
Risposta
D = 5,494 anni
7.CAPM e WACC
Risposta: WACC = 8 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Pesi
V = €12 000 000, E/V = 0,5, D/V = 0,5
WACC
WACC = 0,5·13% + 0,5·4%·(1 − 0,25) = 8%
Risposta
WACC = 8%
8.CAPM e WACC
Risposta: WACC = 7,85 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Costi-volumi-risultati: ogni unità venduta porta un margine di contribuzione, prezzo meno costo variabile unitario. Utile = Q·(p − v) − F, dove F è il costo fisso. Al punto di pareggio l'utile è zero, quindi Q = F/(p − v).
Pareggio con un mix di vendita: quando i prodotti si vendono in un rapporto fisso, usa il margine di contribuzione medio ponderato: pondera il p − v di ogni prodotto con la sua quota di unità. Unità di pareggio = F/(margine di contribuzione ponderato), poi ripartite di nuovo secondo il rapporto del mix.