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1Formule e metodi
Valore temporale del denaro
Valore futuro
FV = PV·(1 + i)n
Valore attuale
PV = FV/(1 + i)n
Più periodi all’anno
i = r/m, N = m·n
Rendita, valore attuale
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Rendita, valore futuro
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Metodo
Disegna una linea temporale con ogni flusso di cassa e la sua scadenza.
Abbina il tasso al periodo: un tasso mensile per pagamenti mensili.
Usa FV = PV·(1 + i)ⁿ per importi singoli e le formule delle rendite per pagamenti costanti.
Controlla il segno e l’ordine di grandezza della risposta.
VAN e TIR
Valore attuale netto
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Flussi uguali
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Tasso interno di rendimento
il r per cui NPV = 0
Decisione
accetta se NPV > 0 (o IRR > rendimento richiesto)
Metodo
Elenca tutti i flussi di cassa con il loro anno; l’investimento all’anno 0 è negativo.
Sconta ogni flusso di cassa: CFt/(1 + r)t.
Sommali per ottenere il VAN. Positivo significa che il progetto rende più di r.
Per il TIR, trova per tentativi o per interpolazione il tasso che annulla il VAN.
Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Prezzo dell’obbligazione
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Cedole semestrali
C/2, y/2 e 2n periodi
Rendimento corrente
C/P
Prezzo e rendimento
rendimento su → prezzo giù
Metodo
Trova la cedola per periodo e il rendimento per periodo.
Prezzo = valore attuale delle cedole (una rendita) + valore attuale del valore nominale.
Per cedole semestrali usa metà cedola, metà rendimento e il doppio dei periodi.
Verifica: se il rendimento è superiore al tasso cedolare, il prezzo è inferiore al valore nominale.
CAPM e WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Valore dell’impresa
V = E + D
Analisi del punto di pareggio
Margine di contribuzione
CM = p − v
Quantità di pareggio
QBE = FC/(p − v)
Utile obiettivo
Q = (FC + profit)/(p − v)
Utile
π = (p − v)·Q − FC
Margine di sicurezza
(Q − QBE)/Q
2Esercizi
1.Valore temporale del denaroMedia
Ti servono €50 000 tra 5 anni. Un conto rende il 3 % annuo, capitalizzato trimestralmente. Quanto devi versare oggi? Trova il valore attuale PV.
FV = €50 0003% / 4n = 5
PV = €
2.Valore temporale del denaroDifficile
Un prestito di €250 000 viene rimborsato con rate mensili costanti in 30 anni. Il tasso d'interesse è del 6 % annuo, capitalizzato mensilmente. Trova la rata mensile A.
P = €250 0006% / 12N = 360
A = €
3.VAN e TIRMedia
Un investimento di €30 000 genera questi flussi alla fine degli anni da 1 a 4: €12 000, €7 000, €15 000, €6 000. Il costo del capitale è del 5 %. Trova il valore attuale netto NPV.
Il progetto A costa €10 000 e rende €6 000, €4 000, €2 500 alla fine degli anni da 1 a 3. Il progetto B costa €15 000 e rende €5 000, €6 000, €8 500. Trova il tasso di indifferenza (crossover) r* al quale entrambi i progetti hanno lo stesso VAN, in percentuale.
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 scade tra 9 anni e paga cedole annuali. Viene venduta a €700 quando il rendimento a scadenza è del 9%. Trova il tasso cedolare c in percentuale.
F = €1 000n = 9P = €700YTM = 9%
c = %
6.Prezzo e rendimento delle obbligazioniDifficile
Un’obbligazione con 11 anni alla scadenza (valore nominale €1 000, cedola annua 6%) viene venduta a €1 175. L’emittente può rimborsarla anticipatamente tra 5 anni a un prezzo di richiamo di €1 060. Trova il rendimento al richiamo YTC in percentuale.
F = €1 000cedola = 6%P = €1 175prezzo di richiamo = €1 060richiamo tra 5 anni
YTC = %
7.CAPM e WACCMedia
Un’azienda ha capitale proprio per €5 000 000 e debito per €3 000 000. Il costo del capitale proprio è del 13%, il costo del debito al lordo delle imposte è del 3,5% e l’aliquota fiscale è del 25,8%. Trova il WACC.
L’attività di un’azienda ha un beta unlevered (delle attività) di 0,9. Prevede un rapporto debito/capitale proprio di 0,75. L’aliquota fiscale è del 21%, il tasso privo di rischio è del 2% e il premio per il rischio di mercato è del 7%. Trova il costo del capitale proprio re con la nuova struttura del capitale.
βU = 0,9D/E = 0,75T = 21%rf = 2%rm − rf = 7%
re = %
9.Analisi del punto di pareggioMedia
Un’azienda vende 8 000 unità a €20 l’una. Il costo variabile è €12 per unità e i costi fissi sono €32 000. Trova il grado di leva operativa DOL a questo livello di vendite.
Q = 8 000p = €20v = €12F = €32 000
DOL =
10.Analisi del punto di pareggioDifficile
Un’azienda vende 1 250 unità al mese a €8 l’una, con un costo variabile di €4 per unità e costi fissi di €2 000 al mese. Il costo variabile aumenta di €2 per unità e il prezzo resta invariato. Quante unità Q si devono ora vendere al mese per mantenere lo stesso utile?
Q = 1 250p = €8v = €4 → €6F = €2 000
Q = unità
3Soluzioni
1.Valore temporale del denaro
Risposta: PV = 43059 €
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Tasso e numero di periodi
i = 0,03/4 = 0,0075
N = 4·5 = 20
Valore attuale
PV = FV/(1 + i)N = 50 000/1,161 = €43 059,49
Risposta
PV = €43 059,49
2.Valore temporale del denaro
Risposta: A = 1499 €
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Tasso mensile e numero di rate
i = 0,06/12 = 0,005
N = 12·30 = 360
Rata
Il valore attuale di N pagamenti uguali A è A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Ponilo uguale al prestito e ricava A.
(1 + i)−N = 0,166
A = 250 000·0,005/(1 − 0,166) = €1 498,88
Risposta
A = €1 498,88
3.VAN e TIR
Risposta: NPV = 5672 €
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Valore attuale di ogni flusso
CF0 = −30 000
CF1/(1 + 0,05)1 = 12 000/1,05 = 11 428,57
CF2/(1 + 0,05)2 = 7 000/1,103 = 6 349,21
CF3/(1 + 0,05)3 = 15 000/1,158 = 12 957,56
CF4/(1 + 0,05)4 = 6 000/1,216 = 4 936,21
Sommali
NPV = €5 671,56
Risposta
NPV = €5 671,56
Il VAN è positivo, quindi il progetto rende più del rendimento richiesto.
4.VAN e TIR
Risposta: r* = 11,79 %
Tasso di indifferenza (crossover): il tasso di sconto al quale due progetti hanno lo stesso VAN. È il TIR della differenza dei loro flussi di cassa (B − A). Al di sotto, il progetto con flussi più tardivi e più grandi ha il VAN maggiore; al di sopra prevale l’altro.
Differenza dei flussi di cassa
ΔCF0 = −15 000 − (−10 000) = −5 000
ΔCF1 = 5 000 − 6 000 = −1 000
ΔCF2 = 6 000 − 4 000 = 2 000
ΔCF3 = 8 500 − 2 500 = 6 000
TIR della differenza
NPVΔ(11%) = 109,49
NPVΔ(12%) = −27,79
r* = 11,79%
Risposta
r* = 11,79%
Verifica: al 11,79% entrambi i VAN valgono €356,75.
5.Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Risposta: c = 3,996 %
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Valore attuale del valore nominale
1000·(1 + 0,09)−9 = €460,43
Cedola
C = (700 − 460,43)/5,995 = €39,96
Tasso cedolare
c = 39,96/1000 = 3,996%
Risposta
c = 3,996%
6.Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Risposta: YTC = 3,273 %
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Equazione del rendimento
1175 = 60·(1 − (1 + y)−5)/y + 1060/(1 + y)5
Risolvi numericamente
y = 3%: €1 189,15
y = 4%: €1 138,35
YTC = 3,273%
Risposta
YTC = 3,273%
Il rendimento a scadenza è del 4,002%. Chi investe in un’obbligazione sopra la pari si aspetta che venga richiamata, quindi il rendimento al richiamo, più basso, è quello più realistico.
7.CAPM e WACC
Risposta: WACC = 9,099 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Beta levered (Hamada): il debito rende il capitale proprio più rischioso. βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E), dove βU è il beta dell’attività senza debito. Per trasferire un beta a un’altra struttura del capitale, prima rendilo unlevered e poi ricalcolalo levered al nuovo D/E.
Beta levered
βL = 0,9·(1 + 0,79·0,75) = 1,433
Costo del capitale proprio (CAPM)
re = 2% + 1,433·7% = 12,03%
Risposta
re = 12,03%
9.Analisi del punto di pareggio
Risposta: DOL = 2
Leva operativa: i costi fissi fanno reagire l’utile più intensamente delle vendite. Il grado di leva operativa DOL = margine di contribuzione/utile operativo indica che una variazione dell’1% delle vendite fa variare l’utile del DOL %. È molto alto appena sopra il pareggio e diminuisce al crescere delle vendite.
Margine di contribuzione totale
CM = 8 000·(20 − 12) = €64 000
Utile operativo
Π = 64 000 − 32 000 = €32 000
DOL
DOL = 64 000/32 000 = 2
Risposta
DOL = 2
10.Analisi del punto di pareggio
Risposta: Q = 2500 unità
Costi-volumi-risultati: ogni unità venduta porta un margine di contribuzione, prezzo meno costo variabile unitario. Utile = Q·(p − v) − F, dove F è il costo fisso. Al punto di pareggio l'utile è zero, quindi Q = F/(p − v).