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1Formule e metodi
Valore temporale del denaro
Valore futuro
FV = PV·(1 + i)n
Valore attuale
PV = FV/(1 + i)n
Più periodi all’anno
i = r/m, N = m·n
Rendita, valore attuale
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Rendita, valore futuro
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Metodo
Disegna una linea temporale con ogni flusso di cassa e la sua scadenza.
Abbina il tasso al periodo: un tasso mensile per pagamenti mensili.
Usa FV = PV·(1 + i)ⁿ per importi singoli e le formule delle rendite per pagamenti costanti.
Controlla il segno e l’ordine di grandezza della risposta.
VAN e TIR
Valore attuale netto
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Flussi uguali
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Tasso interno di rendimento
il r per cui NPV = 0
Decisione
accetta se NPV > 0 (o IRR > rendimento richiesto)
Metodo
Elenca tutti i flussi di cassa con il loro anno; l’investimento all’anno 0 è negativo.
Sconta ogni flusso di cassa: CFt/(1 + r)t.
Sommali per ottenere il VAN. Positivo significa che il progetto rende più di r.
Per il TIR, trova per tentativi o per interpolazione il tasso che annulla il VAN.
Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Prezzo dell’obbligazione
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Cedole semestrali
C/2, y/2 e 2n periodi
Rendimento corrente
C/P
Prezzo e rendimento
rendimento su → prezzo giù
Metodo
Trova la cedola per periodo e il rendimento per periodo.
Prezzo = valore attuale delle cedole (una rendita) + valore attuale del valore nominale.
Per cedole semestrali usa metà cedola, metà rendimento e il doppio dei periodi.
Verifica: se il rendimento è superiore al tasso cedolare, il prezzo è inferiore al valore nominale.
CAPM e WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Valore dell’impresa
V = E + D
Analisi del punto di pareggio
Margine di contribuzione
CM = p − v
Quantità di pareggio
QBE = FC/(p − v)
Utile obiettivo
Q = (FC + profit)/(p − v)
Utile
π = (p − v)·Q − FC
Margine di sicurezza
(Q − QBE)/Q
2Esercizi
1.Valore temporale del denaroMedia
Si prevede che un immobile renda un affitto netto di €5 000 il prossimo anno. Si prevede che l’affitto cresca del 3% annuo per sempre. Il rendimento richiesto è il 6% annuo. Trova il valore PV dell’immobile oggi.
C1 = €5 000g = 3%r = 6%
PV = €
2.Valore temporale del denaroDifficile
Un prestito di €25 000 viene rimborsato con rate mensili costanti in 5 anni. Il tasso d'interesse è del 4,8 % annuo, capitalizzato mensilmente. Trova la rata mensile A.
P = €25 0004,8% / 12N = 60
A = €
3.VAN e TIRMedia
Un investimento di €75 000 genera questi flussi alla fine degli anni da 1 a 4: €36 000, €28 000, €37 000, €21 000. Il costo del capitale è del 8 %. Trova il valore attuale netto NPV.
Un investimento di €50 000 rende €17 500 alla fine di ogni anno per 4 anni. Trova il suo tasso interno di rendimento IRR in percentuale.
C0 = €50 000CF = €17 500n = 4
IRR = %
5.Prezzo e rendimento delle obbligazioniMedia
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 scade tra 5 anni e paga cedole annuali. Viene venduta a €1 064 quando il rendimento a scadenza è del 5,5%. Trova il tasso cedolare c in percentuale.
F = €1 000n = 5P = €1 064YTM = 5,5%
c = %
6.Prezzo e rendimento delle obbligazioniDifficile
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 paga una cedola annua del 2% in due rate semestrali e scade tra 4 anni. Viene venduta a €981. Trova il suo rendimento a scadenza YTM come tasso annuo (il doppio del rendimento semestrale), in percentuale.
F = €1 000cedola = 2% (2×)n = 4P = €981
YTM = %
7.CAPM e WACCMedia
Un’azienda ha un rapporto debito/capitale proprio (a valori di mercato) di 0,25. Il suo costo del capitale proprio è del 12%, il costo del debito al lordo delle imposte è del 6% e l’aliquota fiscale è del 20%. Trova il WACC.
D/E = 0,25re = 12%rd = 6%T = 20%
WACC = %
8.CAPM e WACCDifficile
Le azioni di un’azienda hanno un beta di 1,3 con l’attuale rapporto debito/capitale proprio di 0,5. L’azienda prevede di portare il rapporto debito/capitale proprio a 1,5. L’aliquota fiscale è del 25,8%, il tasso privo di rischio del 1,5% e il premio per il rischio di mercato del 6%. Trova il costo del capitale proprio re dopo la modifica.
Un prodotto può essere fabbricato in due modi. Il metodo A ha costi fissi di €15 000 all’anno e un costo variabile di €15 per unità. Il metodo B, più automatizzato, ha costi fissi di €19 000 all’anno e un costo variabile di €11 per unità. A quale volume annuo Q i due metodi costano uguale?
FA = €15 000vA = €15FB = €19 000vB = €11
Q = unità
10.Analisi del punto di pareggioDifficile
Un’azienda vende due prodotti. Il prodotto A si vende a €16 con un costo variabile di €10; il prodotto B si vende a €35 con un costo variabile di €25. Si vendono in un mix fisso di 2 unità di A ogni 3 di B. I costi fissi sono €8 400 al mese. Trova il numero totale di unità Q (A e B insieme) necessario per il pareggio.
pA = €16, vA = €10pB = €35, vB = €25A : B = 2 : 3F = €8 400
Q = unità
3Soluzioni
1.Valore temporale del denaro
Risposta: PV = 166667 €
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Tasso mensile e numero di rate
i = 0,048/12 = 0,004
N = 12·5 = 60
Rata
Il valore attuale di N pagamenti uguali A è A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Ponilo uguale al prestito e ricava A.
(1 + i)−N = 0,787
A = 25 000·0,004/(1 − 0,787) = €469,49
Risposta
A = €469,49
3.VAN e TIR
Risposta: NPV = 27146 €
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Valore attuale di ogni flusso
CF0 = −75 000
CF1/(1 + 0,08)1 = 36 000/1,08 = 33 333,33
CF2/(1 + 0,08)2 = 28 000/1,166 = 24 005,49
CF3/(1 + 0,08)3 = 37 000/1,26 = 29 371,79
CF4/(1 + 0,08)4 = 21 000/1,36 = 15 435,63
Sommali
NPV = €27 146,24
Risposta
NPV = €27 146,24
Il VAN è positivo, quindi il progetto rende più del rendimento richiesto.
4.VAN e TIR
Risposta: IRR = 14,96 %
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Fattore di rendita richiesto
(1 − (1 + i)−4)/i = 50 000/17 500 = 2,857
Ricava il tasso
Il fattore di rendita diminuisce al crescere del tasso; individua un intervallo per il tasso e restringilo.
i = 14%: 2,914
i = 15%: 2,855
IRR = 14,96%
Risposta
IRR = 14,96%
5.Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Risposta: c = 6,999 %
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Valore attuale del valore nominale
1000·(1 + 0,055)−5 = €765,13
Cedola
C = (1064 − 765,13)/4,27 = €69,99
Tasso cedolare
c = 69,99/1000 = 6,999%
Risposta
c = 6,999%
6.Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Risposta: YTM = 2,502 %
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Per periodo
C = €10,00, N = 8
Risolvi numericamente
i = 1,251% per semestre
YTM
YTM = 2·1,251% = 2,502%
Risposta
YTM = 2,502%
7.CAPM e WACC
Risposta: WACC = 10,56 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Pesi da D/E
E/V = 1/(1 + 0,25) = 0,8
D/V = 0,25/(1 + 0,25) = 0,2
WACC
WACC = 0,8·12% + 0,2·6%·(1 − 0,2) = 10,56%
Risposta
WACC = 10,56%
8.CAPM e WACC
Risposta: re = 13,52 %
Beta levered (Hamada): il debito rende il capitale proprio più rischioso. βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E), dove βU è il beta dell’attività senza debito. Per trasferire un beta a un’altra struttura del capitale, prima rendilo unlevered e poi ricalcolalo levered al nuovo D/E.
Rendi il beta unlevered
βU = 1,3/(1 + 0,742·0,5) = 0,9482
Ricalcola il beta levered al nuovo D/E
βL = 0,9482·(1 + 0,742·1,5) = 2,004
Costo del capitale proprio (CAPM)
re = 1,5% + 2,004·6% = 13,52%
Risposta
re = 13,52%
9.Analisi del punto di pareggio
Risposta: Q = 1000 unità
Costi-volumi-risultati: ogni unità venduta porta un margine di contribuzione, prezzo meno costo variabile unitario. Utile = Q·(p − v) − F, dove F è il costo fisso. Al punto di pareggio l'utile è zero, quindi Q = F/(p − v).
Costi totali uguali
15 000 + 15Q = 19 000 + 11Q
Ricava Q
Q = (19 000 − 15 000)/(15 − 11) = 1 000
Risposta
Q = 1 000 unità
Al di sotto di questo volume è più economico il metodo A; al di sopra è più economico il metodo automatizzato B.
10.Analisi del punto di pareggio
Risposta: Q = 1000 unità
Pareggio con un mix di vendita: quando i prodotti si vendono in un rapporto fisso, usa il margine di contribuzione medio ponderato: pondera il p − v di ogni prodotto con la sua quota di unità. Unità di pareggio = F/(margine di contribuzione ponderato), poi ripartite di nuovo secondo il rapporto del mix.