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1Formule e metodi
Valore temporale del denaro
Valore futuro
FV = PV·(1 + i)n
Valore attuale
PV = FV/(1 + i)n
Più periodi all’anno
i = r/m, N = m·n
Rendita, valore attuale
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Rendita, valore futuro
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Metodo
Disegna una linea temporale con ogni flusso di cassa e la sua scadenza.
Abbina il tasso al periodo: un tasso mensile per pagamenti mensili.
Usa FV = PV·(1 + i)ⁿ per importi singoli e le formule delle rendite per pagamenti costanti.
Controlla il segno e l’ordine di grandezza della risposta.
VAN e TIR
Valore attuale netto
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Flussi uguali
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Tasso interno di rendimento
il r per cui NPV = 0
Decisione
accetta se NPV > 0 (o IRR > rendimento richiesto)
Metodo
Elenca tutti i flussi di cassa con il loro anno; l’investimento all’anno 0 è negativo.
Sconta ogni flusso di cassa: CFt/(1 + r)t.
Sommali per ottenere il VAN. Positivo significa che il progetto rende più di r.
Per il TIR, trova per tentativi o per interpolazione il tasso che annulla il VAN.
Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Prezzo dell’obbligazione
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Cedole semestrali
C/2, y/2 e 2n periodi
Rendimento corrente
C/P
Prezzo e rendimento
rendimento su → prezzo giù
Metodo
Trova la cedola per periodo e il rendimento per periodo.
Prezzo = valore attuale delle cedole (una rendita) + valore attuale del valore nominale.
Per cedole semestrali usa metà cedola, metà rendimento e il doppio dei periodi.
Verifica: se il rendimento è superiore al tasso cedolare, il prezzo è inferiore al valore nominale.
CAPM e WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Valore dell’impresa
V = E + D
Analisi del punto di pareggio
Margine di contribuzione
CM = p − v
Quantità di pareggio
QBE = FC/(p − v)
Utile obiettivo
Q = (FC + profit)/(p − v)
Utile
π = (p − v)·Q − FC
Margine di sicurezza
(Q − QBE)/Q
2Esercizi
1.Valore temporale del denaroMedia
Ti servono €15 000 tra 3 anni. Un conto rende il 6 % annuo, capitalizzato trimestralmente. Quanto devi versare oggi? Trova il valore attuale PV.
FV = €15 0006% / 4n = 3
PV = €
2.Valore temporale del denaroDifficile
Un prestito di €12 000 viene rimborsato con rate mensili costanti in 6 anni. Il tasso d'interesse è del 6 % annuo, capitalizzato mensilmente. Trova la rata mensile A.
P = €12 0006% / 12N = 72
A = €
3.VAN e TIRMedia
Un progetto costa €200 000 oggi. Genera €13 000 alla fine del primo anno, e il flusso di cassa cresce poi del 4% annuo per sempre. Il costo del capitale è il 12%. Trova il valore attuale netto NPV.
C0 = €200 000CF1 = €13 000g = 4%r = 12%
NPV = €
4.VAN e TIRDifficile
Un progetto costa €25 000 e restituisce €17 000, €12 000 alla fine degli anni da 1 a 2. Trova il suo tasso interno di rendimento IRR in percentuale.
CF0 = −25 000CF1 = 17 000CF2 = 12 000
IRR = %
5.Prezzo e rendimento delle obbligazioniMedia
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 paga una cedola annua di 3% e scade tra 14 anni. Il suo rendimento a scadenza passa dal 9% al 8%. Di quanto ΔP varia il prezzo dell’obbligazione?
F = €1 000cedola = 3%n = 14y1 = 9%y2 = 8%
ΔP = €
6.Prezzo e rendimento delle obbligazioniDifficile
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 paga una cedola annua del 3% in due rate semestrali e scade tra 5 anni. Viene venduta a €912. Trova il suo rendimento a scadenza YTM come tasso annuo (il doppio del rendimento semestrale), in percentuale.
F = €1 000cedola = 3% (2×)n = 5P = €912
YTM = %
7.CAPM e WACCMedia
Un’azienda ha capitale proprio per €10 000 000 e debito per €3 000 000. Il costo del capitale proprio è del 13%, il costo del debito al lordo delle imposte è del 6% e l’aliquota fiscale è del 28%. Trova il WACC.
Un’azienda ha 1 000 000 azioni da €37,00 ciascuna e 40 000 obbligazioni quotate €980 ciascuna. Il costo del debito al lordo delle imposte è del 3,5% e l’aliquota fiscale è del 28%. Il beta dell’azione è 1,3, il tasso privo di rischio è del 3% e il rendimento di mercato è del 8,5%. Trova il WACC.
β = 1,3rf = 3%rm = 8,5%rd = 3,5%T = 28%
WACC = %
9.Analisi del punto di pareggioMedia
Un prodotto si vende a €9 l'unità con un costo variabile di €4 per unità. I costi fissi sono €12 500 al mese. Quante unità Q vanno vendute al mese per ottenere un utile di €10 000?
F = €12 500p = €9v = €4utile = €10 000
Q = unità
10.Analisi del punto di pareggioDifficile
Un prodotto si vende a €28 l'unità, con un costo variabile di €20 per unità e costi fissi di €16 000 all'anno. Le vendite a budget sono 2 300 unità. Trova il margine di sicurezza MS in percentuale delle vendite a budget.
F = €16 000p = €28v = €20budget = 2 300
MS = %
3Soluzioni
1.Valore temporale del denaro
Risposta: PV = 12546 €
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Tasso e numero di periodi
i = 0,06/4 = 0,015
N = 4·3 = 12
Valore attuale
PV = FV/(1 + i)N = 15 000/1,196 = €12 545,81
Risposta
PV = €12 545,81
2.Valore temporale del denaro
Risposta: A = 198,9 €
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Tasso mensile e numero di rate
i = 0,06/12 = 0,005
N = 12·6 = 72
Rata
Il valore attuale di N pagamenti uguali A è A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Ponilo uguale al prestito e ricava A.
(1 + i)−N = 0,6983
A = 12 000·0,005/(1 − 0,6983) = €198,87
Risposta
A = €198,87
3.VAN e TIR
Risposta: NPV = −37500 €
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Valore dei flussi di cassa
PV = 13 000/(0,12 − 0,04) = 162 500,00
NPV
NPV = 162 500,00 − 200 000 = −€37 500,00
Risposta
NPV = −€37 500,00
Il VAN è negativo, quindi il progetto rende meno del rendimento richiesto.
4.VAN e TIR
Risposta: IRR = 11,18 %
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Delimitare il TIR
Il VAN scende quando il tasso sale, quindi il TIR sta tra un tasso con VAN positivo e uno con VAN negativo.
NPV(10%) = 371,90
NPV(15%) = −1 143,67
Restringere
L'interpolazione lineare dà una prima stima; ripeterla (o usare la funzione TIR di una calcolatrice) dà il tasso esatto.
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Per periodo
C = €15,00, N = 10
Risolvi numericamente
i = 2,506% per semestre
YTM
YTM = 2·2,506% = 5,012%
Risposta
YTM = 5,012%
7.CAPM e WACC
Risposta: WACC = 11 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Pesi
V = €13 000 000, E/V = 0,7692, D/V = 0,2308
WACC
WACC = 0,7692·13% + 0,2308·6%·(1 − 0,28) = 11%
Risposta
WACC = 11%
8.CAPM e WACC
Risposta: WACC = 6,225 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Costi-volumi-risultati: ogni unità venduta porta un margine di contribuzione, prezzo meno costo variabile unitario. Utile = Q·(p − v) − F, dove F è il costo fisso. Al punto di pareggio l'utile è zero, quindi Q = F/(p − v).
Costi-volumi-risultati: ogni unità venduta porta un margine di contribuzione, prezzo meno costo variabile unitario. Utile = Q·(p − v) − F, dove F è il costo fisso. Al punto di pareggio l'utile è zero, quindi Q = F/(p − v).