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1Formule e metodi
Valore temporale del denaro
Valore futuro
FV = PV·(1 + i)n
Valore attuale
PV = FV/(1 + i)n
Più periodi all’anno
i = r/m, N = m·n
Rendita, valore attuale
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Rendita, valore futuro
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Metodo
Disegna una linea temporale con ogni flusso di cassa e la sua scadenza.
Abbina il tasso al periodo: un tasso mensile per pagamenti mensili.
Usa FV = PV·(1 + i)ⁿ per importi singoli e le formule delle rendite per pagamenti costanti.
Controlla il segno e l’ordine di grandezza della risposta.
VAN e TIR
Valore attuale netto
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Flussi uguali
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Tasso interno di rendimento
il r per cui NPV = 0
Decisione
accetta se NPV > 0 (o IRR > rendimento richiesto)
Metodo
Elenca tutti i flussi di cassa con il loro anno; l’investimento all’anno 0 è negativo.
Sconta ogni flusso di cassa: CFt/(1 + r)t.
Sommali per ottenere il VAN. Positivo significa che il progetto rende più di r.
Per il TIR, trova per tentativi o per interpolazione il tasso che annulla il VAN.
Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Prezzo dell’obbligazione
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Cedole semestrali
C/2, y/2 e 2n periodi
Rendimento corrente
C/P
Prezzo e rendimento
rendimento su → prezzo giù
Metodo
Trova la cedola per periodo e il rendimento per periodo.
Prezzo = valore attuale delle cedole (una rendita) + valore attuale del valore nominale.
Per cedole semestrali usa metà cedola, metà rendimento e il doppio dei periodi.
Verifica: se il rendimento è superiore al tasso cedolare, il prezzo è inferiore al valore nominale.
CAPM e WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Valore dell’impresa
V = E + D
Analisi del punto di pareggio
Margine di contribuzione
CM = p − v
Quantità di pareggio
QBE = FC/(p − v)
Utile obiettivo
Q = (FC + profit)/(p − v)
Utile
π = (p − v)·Q − FC
Margine di sicurezza
(Q − QBE)/Q
2Esercizi
1.Valore temporale del denaroMedia
Investi €5 000 a un tasso nominale del 3 % annuo, capitalizzato trimestralmente. Trova il valore FV dell'investimento dopo 10 anni.
PV = €5 0003% / 4n = 10
FV = €
2.Valore temporale del denaroDifficile
Prendi in prestito €10 000 al 3% annuo, capitalizzato mensilmente, e rimborsi €225 alla fine di ogni mese. Quanti mesi servono per estinguere il prestito (l’ultima rata può essere più bassa)? Indica il numero di rate N.
P = €10 000A = €2253% / 12
N = rate
3.VAN e TIRMedia
Un investimento di €60 000 genera questi flussi alla fine degli anni da 1 a 3: €14 000, €28 000, €23 000. Il costo del capitale è del 6 %. Trova il valore attuale netto NPV.
Un investimento di €10 000 rende €2 500 alla fine di ogni anno per 7 anni. Trova il suo tasso interno di rendimento IRR in percentuale.
C0 = €10 000CF = €2 500n = 7
IRR = %
5.Prezzo e rendimento delle obbligazioniMedia
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 paga una cedola annua del 7% in due rate semestrali e scade tra 3 anni. Il rendimento a scadenza è del 5% annuo. Trova il prezzo P dell’obbligazione.
F = €1 000cedola = 7%YTM = 5%n = 3
P = €
6.Prezzo e rendimento delle obbligazioniDifficile
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 paga una cedola annua di 6% e scade tra 6 anni. Il rendimento a scadenza è del 4%. Trova la duration di Macaulay D in anni.
F = €1 000cedola = 6%n = 6YTM = 4%
D = anni
7.CAPM e WACCMedia
Un’azienda ha capitale proprio per €10 000 000 e debito per €2 000 000. Il suo WACC è del 7,39%, il costo del debito al lordo delle imposte è del 6% e l’aliquota fiscale è del 28%. Trova il costo del capitale proprio re.
Un’azienda ha 1 000 000 azioni quotate €13,50; il valore contabile del suo capitale proprio è €5 400 000. Ha appena pagato un dividendo di €1,30 per azione, e i dividendi crescono del 4% all’anno. Il suo debito ha un valore di mercato di €13 500 000 e un costo al lordo delle imposte del 3%. L’aliquota fiscale è del 25%. Trova il WACC, usando il modello di crescita dei dividendi per il costo del capitale proprio.
Un prodotto si vende a €25 con un costo variabile di €20 per unità. I costi fissi sono €5 000 al mese e l’utile è tassato al 20%. Quante unità Q si devono vendere al mese per guadagnare €1 000 al netto delle imposte?
p = €25v = €20F = €5 000T = 20%utile al netto delle imposte = €1 000
Q = unità
10.Analisi del punto di pareggioDifficile
Un prodotto si vende a €50 l'unità, con un costo variabile di €30 per unità e costi fissi di €16 000 all'anno. Le vendite a budget sono 1 440 unità. Trova il margine di sicurezza MS in percentuale delle vendite a budget.
F = €16 000p = €50v = €30budget = 1 440
MS = %
3Soluzioni
1.Valore temporale del denaro
Risposta: FV = 6742 €
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Riordina la formula della rendita
i = 0,0025
(1 + i)−N = 1 − 10 000·0,0025/225 = 0,8889
Risolvi con i logaritmi
N = −ln(0,8889)/ln(1,002) = 47,17
Arrotonda a rate intere
47 rate intere lasciano un piccolo debito residuo, che viene estinto dall’ultima rata, più bassa.
N = 48
Risposta
N = 48 rate
3.VAN e TIR
Risposta: NPV = −2561 €
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Valore attuale di ogni flusso
CF0 = −60 000
CF1/(1 + 0,06)1 = 14 000/1,06 = 13 207,55
CF2/(1 + 0,06)2 = 28 000/1,124 = 24 919,90
CF3/(1 + 0,06)3 = 23 000/1,191 = 19 311,24
Sommali
NPV = €−2 561,31
Risposta
NPV = €−2 561,31
Il VAN è negativo, quindi il progetto rende meno del rendimento richiesto.
4.VAN e TIR
Risposta: IRR = 16,33 %
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Fattore di rendita richiesto
(1 − (1 + i)−7)/i = 10 000/2 500 = 4
Ricava il tasso
Il fattore di rendita diminuisce al crescere del tasso; individua un intervallo per il tasso e restringilo.
i = 16%: 4,039
i = 17%: 3,922
IRR = 16,33%
Risposta
IRR = 16,33%
5.Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Risposta: P = 1055 €
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Per periodo
C = €35,00, i = 0,025, N = 6
Valore attuale delle cedole
€35,00·(1 − 0,8623)/0,025 = €192,78
Valore attuale del valore nominale
€1 000·0,8623 = €862,30
Prezzo
P = €1 055,08
Risposta
P = €1 055,08
Il rendimento è inferiore al tasso cedolare, quindi l’obbligazione quota sopra la pari (a premio).
6.Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Risposta: D = 5,256 anni
Duration: la duration di Macaulay è il tempo medio ponderato in cui un’obbligazione paga i suoi flussi di cassa, con i valori attuali dei flussi come pesi: D = Σ t·PVₜ/P. La duration modificata D/(1 + y) stima la variazione percentuale del prezzo per una piccola variazione del rendimento: %ΔP ≈ −Dmod·Δy.
Valore attuale di ogni flusso
t = 1: 60/1,04 = 57,69, t·PV = 57,69
t = 2: 60/1,082 = 55,47, t·PV = 110,95
t = 3: 60/1,125 = 53,34, t·PV = 160,02
t = 4: 60/1,17 = 51,29, t·PV = 205,15
t = 5: 60/1,217 = 49,32, t·PV = 246,58
t = 6: 1060/1,265 = 837,73, t·PV = 5 026,40
Duration
P = 1 104,84
D = 5 806,79/1 104,84 = 5,256
Risposta
D = 5,256 anni
7.CAPM e WACC
Risposta: re = 8,004 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Pesi
V = €12 000 000, E/V = 0,8333, D/V = 0,1667
Parte del debito nel WACC
0,1667·6%·(1 − 0,28) = 0,72%
Costo del capitale proprio
re = (7,39% − 0,72%)/0,8333 = 8,004%
Risposta
re = 8,004%
8.CAPM e WACC
Risposta: WACC = 8,132 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Costo del capitale proprio
D1 = 1,3·1,04 = €1,35
re = 1,352/13,5 + 0,04 = 14,01%
Valori di mercato
E = 1 000 000·€13,50 = €13 500 000
V = €27 000 000, E/V = 0,5, D/V = 0,5
WACC
WACC = 0,5·14,01% + 0,5·3%·(1 − 0,25) = 8,132%
Risposta
WACC = 8,132%
9.Analisi del punto di pareggio
Risposta: Q = 1250 unità
Costi-volumi-risultati: ogni unità venduta porta un margine di contribuzione, prezzo meno costo variabile unitario. Utile = Q·(p − v) − F, dove F è il costo fisso. Al punto di pareggio l'utile è zero, quindi Q = F/(p − v).
Utile al lordo delle imposte necessario
1 000/(1 − 0,2) = €1 250
Unità necessarie
Q = (5 000 + 1 250)/5 = 1 250
Risposta
Q = 1 250 unità
10.Analisi del punto di pareggio
Risposta: MS = 44,44 %
Costi-volumi-risultati: ogni unità venduta porta un margine di contribuzione, prezzo meno costo variabile unitario. Utile = Q·(p − v) − F, dove F è il costo fisso. Al punto di pareggio l'utile è zero, quindi Q = F/(p − v).