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1Formule e metodi
Valore temporale del denaro
Valore futuro
FV = PV·(1 + i)n
Valore attuale
PV = FV/(1 + i)n
Più periodi all’anno
i = r/m, N = m·n
Rendita, valore attuale
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Rendita, valore futuro
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Metodo
Disegna una linea temporale con ogni flusso di cassa e la sua scadenza.
Abbina il tasso al periodo: un tasso mensile per pagamenti mensili.
Usa FV = PV·(1 + i)ⁿ per importi singoli e le formule delle rendite per pagamenti costanti.
Controlla il segno e l’ordine di grandezza della risposta.
VAN e TIR
Valore attuale netto
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Flussi uguali
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Tasso interno di rendimento
il r per cui NPV = 0
Decisione
accetta se NPV > 0 (o IRR > rendimento richiesto)
Metodo
Elenca tutti i flussi di cassa con il loro anno; l’investimento all’anno 0 è negativo.
Sconta ogni flusso di cassa: CFt/(1 + r)t.
Sommali per ottenere il VAN. Positivo significa che il progetto rende più di r.
Per il TIR, trova per tentativi o per interpolazione il tasso che annulla il VAN.
Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Prezzo dell’obbligazione
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Cedole semestrali
C/2, y/2 e 2n periodi
Rendimento corrente
C/P
Prezzo e rendimento
rendimento su → prezzo giù
Metodo
Trova la cedola per periodo e il rendimento per periodo.
Prezzo = valore attuale delle cedole (una rendita) + valore attuale del valore nominale.
Per cedole semestrali usa metà cedola, metà rendimento e il doppio dei periodi.
Verifica: se il rendimento è superiore al tasso cedolare, il prezzo è inferiore al valore nominale.
CAPM e WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Valore dell’impresa
V = E + D
Analisi del punto di pareggio
Margine di contribuzione
CM = p − v
Quantità di pareggio
QBE = FC/(p − v)
Utile obiettivo
Q = (FC + profit)/(p − v)
Utile
π = (p − v)·Q − FC
Margine di sicurezza
(Q − QBE)/Q
2Esercizi
1.Valore temporale del denaroMedia
Ti servono €20 000 tra 3 anni. Un conto rende il 2 % annuo, capitalizzato trimestralmente. Quanto devi versare oggi? Trova il valore attuale PV.
FV = €20 0002% / 4n = 3
PV = €
2.Valore temporale del denaroDifficile
Versi €1 000 all’inizio di ogni anno per 27 anni, con il primo versamento oggi. Il conto rende il 5% annuo. Quanto c’è sul conto alla fine dell’anno 27? Trova FV.
A = €1 000i = 5%n = 27
FV = €
3.VAN e TIRMedia
Un investimento di €75 000 genera questi flussi alla fine degli anni da 1 a 3: €30 000, €21 000, €34 000. Il costo del capitale è del 6 %. Trova il valore attuale netto NPV.
Un investimento di €80 000 rende €20 000 alla fine di ogni anno per 9 anni. Trova il suo tasso interno di rendimento IRR in percentuale.
C0 = €80 000CF = €20 000n = 9
IRR = %
5.Prezzo e rendimento delle obbligazioniMedia
Acquisti un’obbligazione con 9 anni alla scadenza (valore nominale €1 000, cedola annua 4,5%) quando il suo rendimento a scadenza è del 3,5%. Un anno dopo, subito dopo aver incassato la prima cedola, la vendi quando il rendimento a scadenza è del 4,5%. Trova il tuo rendimento del periodo di detenzione HPR in percentuale.
F = €1 000cedola = 4,5%n = 9y0 = 3,5%y1 = 4,5%
HPR = %
6.Prezzo e rendimento delle obbligazioniDifficile
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 e cedola annua del 6% scade tra 7 anni e quota €945. Trova il suo rendimento a scadenza YTM in percentuale.
F = €1 000cedola = 6%n = 7P = €945
YTM = %
7.CAPM e WACCMedia
Un’azienda ha capitale proprio per €10 000 000 e debito per €2 000 000. Il costo del capitale proprio è del 11%, il costo del debito al lordo delle imposte è del 4% e l’aliquota fiscale è del 28%. Trova il WACC.
Un’azienda ha 5 000 000 azioni da €31,50 ciascuna e 20 000 obbligazioni quotate €1 050 ciascuna. Il costo del debito al lordo delle imposte è del 4% e l’aliquota fiscale è del 28%. Il beta dell’azione è 1,8, il tasso privo di rischio è del 1% e il rendimento di mercato è del 5,5%. Trova il WACC.
β = 1,8rf = 1%rm = 5,5%rd = 4%T = 28%
WACC = %
9.Analisi del punto di pareggioMedia
Un prodotto si vende a €12 l'unità con un costo variabile di €8 per unità. I costi fissi sono €16 000 al mese. Quante unità Q vanno vendute al mese per ottenere un utile di €12 000?
F = €16 000p = €12v = €8utile = €12 000
Q = unità
10.Analisi del punto di pareggioDifficile
Un’azienda vende 1 600 unità a €27 l’una, con un costo variabile di €12 per unità e costi fissi di €12 000. Di quale percentuale %ΔΠ varia l’utile operativo se il volume delle vendite diminuisce del 10%?
Q = 1 600p = €27v = €12F = €12 000%ΔQ = −10%
%ΔΠ = %
3Soluzioni
1.Valore temporale del denaro
Risposta: PV = 18838 €
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Tasso e numero di periodi
i = 0,02/4 = 0,005
N = 4·3 = 12
Valore attuale
PV = FV/(1 + i)N = 20 000/1,062 = €18 838,11
Risposta
PV = €18 838,11
2.Valore temporale del denaro
Risposta: FV = 57403 €
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Fattore della rendita posticipata
((1 + 0,05)27 − 1)/0,05 = 54,67
Rendita anticipata
Ogni versamento resta investito un anno in più.
FV = 1 000·54,67·1,05 = €57 402,58
Risposta
FV = €57 402,58
3.VAN e TIR
Risposta: NPV = 538,9 €
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Valore attuale di ogni flusso
CF0 = −75 000
CF1/(1 + 0,06)1 = 30 000/1,06 = 28 301,89
CF2/(1 + 0,06)2 = 21 000/1,124 = 18 689,93
CF3/(1 + 0,06)3 = 34 000/1,191 = 28 547,06
Sommali
NPV = €538,87
Risposta
NPV = €538,87
Il VAN è positivo, quindi il progetto rende più del rendimento richiesto.
4.VAN e TIR
Risposta: IRR = 20,24 %
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Fattore di rendita richiesto
(1 − (1 + i)−9)/i = 80 000/20 000 = 4
Ricava il tasso
Il fattore di rendita diminuisce al crescere del tasso; individua un intervallo per il tasso e restringilo.
i = 20%: 4,031
i = 21%: 3,905
IRR = 20,24%
Risposta
IRR = 20,24%
5.Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Risposta: HPR = −2,888 %
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Equazione del rendimento
€945 = €60·(1 − (1 + y)⁻⁷)/y + €1 000/(1 + y)⁷
Risolvi numericamente
P(7%) = €946,11, P(8%) = €895,87
YTM = 7,021%
Risposta
YTM = 7,021%
7.CAPM e WACC
Risposta: WACC = 9,647 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Pesi
V = €12 000 000, E/V = 0,8333, D/V = 0,1667
WACC
WACC = 0,8333·11% + 0,1667·4%·(1 − 0,28) = 9,647%
Risposta
WACC = 9,647%
8.CAPM e WACC
Risposta: WACC = 8,368 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Costi-volumi-risultati: ogni unità venduta porta un margine di contribuzione, prezzo meno costo variabile unitario. Utile = Q·(p − v) − F, dove F è il costo fisso. Al punto di pareggio l'utile è zero, quindi Q = F/(p − v).
Leva operativa: i costi fissi fanno reagire l’utile più intensamente delle vendite. Il grado di leva operativa DOL = margine di contribuzione/utile operativo indica che una variazione dell’1% delle vendite fa variare l’utile del DOL %. È molto alto appena sopra il pareggio e diminuisce al crescere delle vendite.