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1Formule e metodi
Valore temporale del denaro
Valore futuro
FV = PV·(1 + i)n
Valore attuale
PV = FV/(1 + i)n
Più periodi all’anno
i = r/m, N = m·n
Rendita, valore attuale
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Rendita, valore futuro
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Metodo
Disegna una linea temporale con ogni flusso di cassa e la sua scadenza.
Abbina il tasso al periodo: un tasso mensile per pagamenti mensili.
Usa FV = PV·(1 + i)ⁿ per importi singoli e le formule delle rendite per pagamenti costanti.
Controlla il segno e l’ordine di grandezza della risposta.
VAN e TIR
Valore attuale netto
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Flussi uguali
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Tasso interno di rendimento
il r per cui NPV = 0
Decisione
accetta se NPV > 0 (o IRR > rendimento richiesto)
Metodo
Elenca tutti i flussi di cassa con il loro anno; l’investimento all’anno 0 è negativo.
Sconta ogni flusso di cassa: CFt/(1 + r)t.
Sommali per ottenere il VAN. Positivo significa che il progetto rende più di r.
Per il TIR, trova per tentativi o per interpolazione il tasso che annulla il VAN.
Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Prezzo dell’obbligazione
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Cedole semestrali
C/2, y/2 e 2n periodi
Rendimento corrente
C/P
Prezzo e rendimento
rendimento su → prezzo giù
Metodo
Trova la cedola per periodo e il rendimento per periodo.
Prezzo = valore attuale delle cedole (una rendita) + valore attuale del valore nominale.
Per cedole semestrali usa metà cedola, metà rendimento e il doppio dei periodi.
Verifica: se il rendimento è superiore al tasso cedolare, il prezzo è inferiore al valore nominale.
CAPM e WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Valore dell’impresa
V = E + D
Analisi del punto di pareggio
Margine di contribuzione
CM = p − v
Quantità di pareggio
QBE = FC/(p − v)
Utile obiettivo
Q = (FC + profit)/(p − v)
Utile
π = (p − v)·Q − FC
Margine di sicurezza
(Q − QBE)/Q
2Esercizi
1.Valore temporale del denaroMedia
Ti servono €25 000 tra 7 anni. Un conto rende il 4 % annuo, capitalizzato mensilmente. Quanto devi versare oggi? Trova il valore attuale PV.
FV = €25 0004% / 12n = 7
PV = €
2.Valore temporale del denaroDifficile
Un prestito di €200 000 viene rimborsato con rate mensili costanti in 30 anni. Il tasso d'interesse è del 4,2 % annuo, capitalizzato mensilmente. Trova la rata mensile A.
P = €200 0004,2% / 12N = 360
A = €
3.VAN e TIRMedia
Una macchina costa €80 000 oggi, dura 7 anni e costa €1 500 all’anno di esercizio (pagati alla fine di ogni anno). Il costo del capitale è il 5%. Trova il suo costo annuo equivalente EAC.
C0 = €80 000M = €1 500n = 7r = 5%
EAC = €
4.VAN e TIRDifficile
Un progetto costa €10 000 e rende €4 500, €4 000, €5 000, €4 000 alla fine degli anni da 1 a 4. I flussi di cassa possono essere reinvestiti al costo del capitale del 6%. Trova il tasso interno di rendimento modificato MIRR in percentuale.
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 paga una cedola annua del 6% in due rate semestrali e scade tra 8 anni. Il rendimento a scadenza è del 3,5% annuo. Trova il prezzo P dell’obbligazione.
F = €1 000cedola = 6%YTM = 3,5%n = 8
P = €
6.Prezzo e rendimento delle obbligazioniDifficile
Un’obbligazione è quotata €1 050 con un rendimento a scadenza del 7% (capitalizzazione annuale) e una duration di Macaulay di 6,8 anni. Usa la duration modificata per stimare il nuovo prezzo P se il rendimento aumenta di 75 punti base.
P0 = €1 050y = 7%D = 6,8Δy = +75 bp
P = €
7.CAPM e WACCMedia
Un’azienda ha capitale proprio per €4 000 000 e debito per €5 000 000. Il costo del capitale proprio è del 12%, il costo del debito al lordo delle imposte è del 5% e l’aliquota fiscale è del 25,8%. Trova il WACC.
Un’azienda ha 2 000 000 azioni da €48,00 ciascuna e 5 000 obbligazioni quotate €980 ciascuna. Il costo del debito al lordo delle imposte è del 3,5% e l’aliquota fiscale è del 20%. Il beta dell’azione è 1,2, il tasso privo di rischio è del 2,5% e il rendimento di mercato è del 9%. Trova il WACC.
β = 1,2rf = 2,5%rm = 9%rd = 3,5%T = 20%
WACC = %
9.Analisi del punto di pareggioMedia
Un’azienda vende 2 000 unità a €48 l’una. Il costo variabile è €45 per unità e i costi fissi sono €2 400. Trova il grado di leva operativa DOL a questo livello di vendite.
Q = 2 000p = €48v = €45F = €2 400
DOL =
10.Analisi del punto di pareggioDifficile
Un’azienda vende due prodotti. Il prodotto A si vende a €13 con un costo variabile di €5; il prodotto B si vende a €35 con un costo variabile di €15. Si vendono in un mix fisso di 5 unità di A ogni 2 di B. I costi fissi sono €48 000 al mese. Trova il numero totale di unità Q (A e B insieme) necessario per il pareggio.
pA = €13, vA = €5pB = €35, vB = €15A : B = 5 : 2F = €48 000
Q = unità
3Soluzioni
1.Valore temporale del denaro
Risposta: PV = 18903 €
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Tasso e numero di periodi
i = 0,04/12 = 0,003333
N = 12·7 = 84
Valore attuale
PV = FV/(1 + i)N = 25 000/1,323 = €18 903,39
Risposta
PV = €18 903,39
2.Valore temporale del denaro
Risposta: A = 978 €
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Tasso mensile e numero di rate
i = 0,042/12 = 0,0035
N = 12·30 = 360
Rata
Il valore attuale di N pagamenti uguali A è A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Ponilo uguale al prestito e ricava A.
(1 + i)−N = 0,2843
A = 200 000·0,0035/(1 − 0,2843) = €978,03
Risposta
A = €978,03
3.VAN e TIR
Risposta: EAC = 15326 €
Costo annuo equivalente: distribuisci il valore attuale di tutti i costi sulla vita utile come un importo annuo costante (una rendita): EAC = PV·r/(1 − (1 + r)⁻ⁿ). Permette di confrontare macchine con vite diverse.
Fattore di rendita
(1 − 1,05−7)/0,05 = 5,786
Prezzo d’acquisto annualizzato
80 000/5,786 = 13 825,59
EAC
EAC = 13 825,59 + 1 500 = €15 325,59
Risposta
EAC = €15 325,59
4.VAN e TIR
Risposta: MIRR = 17,64 %
TIR modificato: capitalizza ogni entrata fino alla fine del progetto al tasso di reinvestimento (di solito il costo del capitale) per ottenere il valore finale TV. Il MIRR è il tasso che trasforma l’investimento iniziale in TV: MIRR = (TV/C₀)^(1/n) − 1.
Valore finale delle entrate
4 500·1,063 = 5 359,57
4 000·1,062 = 4 494,40
5 000·1,061 = 5 300,00
4 000·1,060 = 4 000,00
TV = 19 153,97
MIRR
MIRR = (19 153,97/10 000)1/4 − 1 = 17,64%
Risposta
MIRR = 17,64%
5.Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Risposta: P = 1173 €
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Per periodo
C = €30,00, i = 0,0175, N = 16
Valore attuale delle cedole
€30,00·(1 − 0,7576)/0,0175 = €415,51
Valore attuale del valore nominale
€1 000·0,7576 = €757,62
Prezzo
P = €1 173,13
Risposta
P = €1 173,13
Il rendimento è inferiore al tasso cedolare, quindi l’obbligazione quota sopra la pari (a premio).
6.Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Risposta: P = 1000 €
Duration: la duration di Macaulay è il tempo medio ponderato in cui un’obbligazione paga i suoi flussi di cassa, con i valori attuali dei flussi come pesi: D = Σ t·PVₜ/P. La duration modificata D/(1 + y) stima la variazione percentuale del prezzo per una piccola variazione del rendimento: %ΔP ≈ −Dmod·Δy.
Duration modificata
Dmod = 6,8/1,07 = 6,355
Variazione stimata del prezzo
%ΔP ≈ −6,355·(0,0075) = −4,766%
P ≈ 1050·(1 − 0,04766) = €999,95
Risposta
P = €999,95
La duration è una stima lineare; per grandi variazioni del rendimento la convessità rende il prezzo effettivo un po’ più alto.
7.CAPM e WACC
Risposta: WACC = 7,394 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Leva operativa: i costi fissi fanno reagire l’utile più intensamente delle vendite. Il grado di leva operativa DOL = margine di contribuzione/utile operativo indica che una variazione dell’1% delle vendite fa variare l’utile del DOL %. È molto alto appena sopra il pareggio e diminuisce al crescere delle vendite.
Margine di contribuzione totale
CM = 2 000·(48 − 45) = €6 000
Utile operativo
Π = 6 000 − 2 400 = €3 600
DOL
DOL = 6 000/3 600 = 1,667
Risposta
DOL = 1,667
10.Analisi del punto di pareggio
Risposta: Q = 4200 unità
Pareggio con un mix di vendita: quando i prodotti si vendono in un rapporto fisso, usa il margine di contribuzione medio ponderato: pondera il p − v di ogni prodotto con la sua quota di unità. Unità di pareggio = F/(margine di contribuzione ponderato), poi ripartite di nuovo secondo il rapporto del mix.