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1Formule e metodi
Valore temporale del denaro
Valore futuro
FV = PV·(1 + i)n
Valore attuale
PV = FV/(1 + i)n
Più periodi all’anno
i = r/m, N = m·n
Rendita, valore attuale
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Rendita, valore futuro
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Metodo
Disegna una linea temporale con ogni flusso di cassa e la sua scadenza.
Abbina il tasso al periodo: un tasso mensile per pagamenti mensili.
Usa FV = PV·(1 + i)ⁿ per importi singoli e le formule delle rendite per pagamenti costanti.
Controlla il segno e l’ordine di grandezza della risposta.
VAN e TIR
Valore attuale netto
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Flussi uguali
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Tasso interno di rendimento
il r per cui NPV = 0
Decisione
accetta se NPV > 0 (o IRR > rendimento richiesto)
Metodo
Elenca tutti i flussi di cassa con il loro anno; l’investimento all’anno 0 è negativo.
Sconta ogni flusso di cassa: CFt/(1 + r)t.
Sommali per ottenere il VAN. Positivo significa che il progetto rende più di r.
Per il TIR, trova per tentativi o per interpolazione il tasso che annulla il VAN.
Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Prezzo dell’obbligazione
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Cedole semestrali
C/2, y/2 e 2n periodi
Rendimento corrente
C/P
Prezzo e rendimento
rendimento su → prezzo giù
Metodo
Trova la cedola per periodo e il rendimento per periodo.
Prezzo = valore attuale delle cedole (una rendita) + valore attuale del valore nominale.
Per cedole semestrali usa metà cedola, metà rendimento e il doppio dei periodi.
Verifica: se il rendimento è superiore al tasso cedolare, il prezzo è inferiore al valore nominale.
CAPM e WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Valore dell’impresa
V = E + D
Analisi del punto di pareggio
Margine di contribuzione
CM = p − v
Quantità di pareggio
QBE = FC/(p − v)
Utile obiettivo
Q = (FC + profit)/(p − v)
Utile
π = (p − v)·Q − FC
Margine di sicurezza
(Q − QBE)/Q
2Esercizi
1.Valore temporale del denaroMedia
Si prevede che un immobile renda un affitto netto di €12 000 il prossimo anno. Si prevede che l’affitto cresca del 2% annuo per sempre. Il rendimento richiesto è il 4% annuo. Trova il valore PV dell’immobile oggi.
C1 = €12 000g = 2%r = 4%
PV = €
2.Valore temporale del denaroDifficile
Versi €2 000 all’inizio di ogni anno per 16 anni, con il primo versamento oggi. Il conto rende il 7% annuo. Quanto c’è sul conto alla fine dell’anno 16? Trova FV.
A = €2 000i = 7%n = 16
FV = €
3.VAN e TIRMedia
Un progetto costa €100 000 oggi. Genera €12 000 alla fine del primo anno, e il flusso di cassa cresce poi del 3% annuo per sempre. Il costo del capitale è il 12%. Trova il valore attuale netto NPV.
C0 = €100 000CF1 = €12 000g = 3%r = 12%
NPV = €
4.VAN e TIRDifficile
Un progetto costa €40 000 e rende €18 500, €17 000, €21 500 alla fine degli anni da 1 a 3. I flussi di cassa possono essere reinvestiti al costo del capitale del 12%. Trova il tasso interno di rendimento modificato MIRR in percentuale.
Acquisti un’obbligazione con 4 anni alla scadenza (valore nominale €1 000, cedola annua 3%) quando il suo rendimento a scadenza è del 5,5%. Un anno dopo, subito dopo aver incassato la prima cedola, la vendi quando il rendimento a scadenza è del 7%. Trova il tuo rendimento del periodo di detenzione HPR in percentuale.
F = €1 000cedola = 3%n = 4y0 = 5,5%y1 = 7%
HPR = %
6.Prezzo e rendimento delle obbligazioniDifficile
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 e cedola annua del 4% scade tra 7 anni e quota €915. Trova il suo rendimento a scadenza YTM in percentuale.
F = €1 000cedola = 4%n = 7P = €915
YTM = %
7.CAPM e WACCMedia
Un’azione con un beta di 1,6 ha un rendimento richiesto del 11,3%. Il tasso privo di rischio è del 2,5%. Quale rendimento atteso del mercato rm implica il CAPM?
β = 1,6re = 11,3%rf = 2,5%
rm = %
8.CAPM e WACCDifficile
Un’azienda ha capitale proprio con un valore di mercato di €10 000 000 e un costo del capitale proprio del 14%. Il suo debito è costituito da 8 000 obbligazioni (valore nominale €1 000, cedola annua 4%, 10 anni alla scadenza) quotate €923 ciascuna. L’aliquota fiscale è del 25,8%. Trova il WACC, usando il rendimento a scadenza delle obbligazioni come costo del debito al lordo delle imposte.
Un prodotto si vende a €45 con un costo variabile di €25 per unità. I costi fissi sono €20 000 al mese e l’utile è tassato al 20%. Quante unità Q si devono vendere al mese per guadagnare €4 000 al netto delle imposte?
p = €45v = €25F = €20 000T = 20%utile al netto delle imposte = €4 000
Q = unità
10.Analisi del punto di pareggioDifficile
Un’azienda vende due prodotti. Il prodotto A si vende a €15 con un costo variabile di €10; il prodotto B si vende a €42 con un costo variabile di €30. Si vendono in un mix fisso di 4 unità di A ogni 1 di B. I costi fissi sono €9 600 al mese. Trova il numero totale di unità Q (A e B insieme) necessario per il pareggio.
pA = €15, vA = €10pB = €42, vB = €30A : B = 4 : 1F = €9 600
Q = unità
3Soluzioni
1.Valore temporale del denaro
Risposta: PV = 600000 €
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Fattore della rendita posticipata
((1 + 0,07)16 − 1)/0,07 = 27,89
Rendita anticipata
Ogni versamento resta investito un anno in più.
FV = 2 000·27,89·1,07 = €59 680,43
Risposta
FV = €59 680,43
3.VAN e TIR
Risposta: NPV = 33333 €
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Valore dei flussi di cassa
PV = 12 000/(0,12 − 0,03) = 133 333,33
NPV
NPV = 133 333,33 − 100 000 = €33 333,33
Risposta
NPV = €33 333,33
Il VAN è positivo, quindi il progetto rende più del rendimento richiesto.
4.VAN e TIR
Risposta: MIRR = 16,81 %
TIR modificato: capitalizza ogni entrata fino alla fine del progetto al tasso di reinvestimento (di solito il costo del capitale) per ottenere il valore finale TV. Il MIRR è il tasso che trasforma l’investimento iniziale in TV: MIRR = (TV/C₀)^(1/n) − 1.
Valore finale delle entrate
18 500·1,122 = 23 206,40
17 000·1,121 = 19 040,00
21 500·1,120 = 21 500,00
TV = 63 746,40
MIRR
MIRR = (63 746,40/40 000)1/3 − 1 = 16,81%
Risposta
MIRR = 16,81%
5.Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Risposta: HPR = 1,387 %
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Equazione del rendimento
€915 = €40·(1 − (1 + y)⁻⁷)/y + €1 000/(1 + y)⁷
Risolvi numericamente
P(5%) = €942,14, P(6%) = €888,35
YTM = 5,495%
Risposta
YTM = 5,495%
7.CAPM e WACC
Risposta: rm = 8 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Premio per il rischio di mercato
rm − rf = (11,3% − 2,5%)/1,6 = 5,5%
Rendimento di mercato
rm = 2,5% + 5,5% = 8%
Risposta
rm = 8%
8.CAPM e WACC
Risposta: WACC = 9,628 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Costi-volumi-risultati: ogni unità venduta porta un margine di contribuzione, prezzo meno costo variabile unitario. Utile = Q·(p − v) − F, dove F è il costo fisso. Al punto di pareggio l'utile è zero, quindi Q = F/(p − v).
Utile al lordo delle imposte necessario
4 000/(1 − 0,2) = €5 000
Unità necessarie
Q = (20 000 + 5 000)/20 = 1 250
Risposta
Q = 1 250 unità
10.Analisi del punto di pareggio
Risposta: Q = 1500 unità
Pareggio con un mix di vendita: quando i prodotti si vendono in un rapporto fisso, usa il margine di contribuzione medio ponderato: pondera il p − v di ogni prodotto con la sua quota di unità. Unità di pareggio = F/(margine di contribuzione ponderato), poi ripartite di nuovo secondo il rapporto del mix.