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1Formule e metodi
Valore temporale del denaro
Valore futuro
FV = PV·(1 + i)n
Valore attuale
PV = FV/(1 + i)n
Più periodi all’anno
i = r/m, N = m·n
Rendita, valore attuale
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Rendita, valore futuro
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Metodo
Disegna una linea temporale con ogni flusso di cassa e la sua scadenza.
Abbina il tasso al periodo: un tasso mensile per pagamenti mensili.
Usa FV = PV·(1 + i)ⁿ per importi singoli e le formule delle rendite per pagamenti costanti.
Controlla il segno e l’ordine di grandezza della risposta.
VAN e TIR
Valore attuale netto
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Flussi uguali
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Tasso interno di rendimento
il r per cui NPV = 0
Decisione
accetta se NPV > 0 (o IRR > rendimento richiesto)
Metodo
Elenca tutti i flussi di cassa con il loro anno; l’investimento all’anno 0 è negativo.
Sconta ogni flusso di cassa: CFt/(1 + r)t.
Sommali per ottenere il VAN. Positivo significa che il progetto rende più di r.
Per il TIR, trova per tentativi o per interpolazione il tasso che annulla il VAN.
Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Prezzo dell’obbligazione
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Cedole semestrali
C/2, y/2 e 2n periodi
Rendimento corrente
C/P
Prezzo e rendimento
rendimento su → prezzo giù
Metodo
Trova la cedola per periodo e il rendimento per periodo.
Prezzo = valore attuale delle cedole (una rendita) + valore attuale del valore nominale.
Per cedole semestrali usa metà cedola, metà rendimento e il doppio dei periodi.
Verifica: se il rendimento è superiore al tasso cedolare, il prezzo è inferiore al valore nominale.
CAPM e WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Valore dell’impresa
V = E + D
Analisi del punto di pareggio
Margine di contribuzione
CM = p − v
Quantità di pareggio
QBE = FC/(p − v)
Utile obiettivo
Q = (FC + profit)/(p − v)
Utile
π = (p − v)·Q − FC
Margine di sicurezza
(Q − QBE)/Q
2Esercizi
1.Valore temporale del denaroMedia
Una carta di credito applica un tasso nominale annuo del 22%, capitalizzato semestralmente. Trova il tasso annuo effettivo EAR in percentuale.
r = 22%m = 2
EAR = %
2.Valore temporale del denaroDifficile
Un mutuo di €250 000 viene rimborsato con rate mensili costanti in 20 anni al 3,6% annuo, capitalizzato mensilmente. Quanto resta da pagare subito dopo la rata alla fine dell’anno 2? Trova il debito residuo B.
P = €250 0003,6% / 12N = 240k = 24
B = €
3.VAN e TIRMedia
Un progetto costa €100 000 oggi. Genera €4 000 alla fine del primo anno, e il flusso di cassa cresce poi del 3% annuo per sempre. Il costo del capitale è il 8%. Trova il valore attuale netto NPV.
C0 = €100 000CF1 = €4 000g = 3%r = 8%
NPV = €
4.VAN e TIRDifficile
Un progetto costa €25 000 e rende €14 000, €10 500, €8 000 alla fine degli anni da 1 a 3. I flussi di cassa possono essere reinvestiti al costo del capitale del 8%. Trova il tasso interno di rendimento modificato MIRR in percentuale.
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 paga una cedola annua del 5% in due rate semestrali e scade tra 3 anni. Il rendimento a scadenza è del 2,5% annuo. Trova il prezzo P dell’obbligazione.
F = €1 000cedola = 5%YTM = 2,5%n = 3
P = €
6.Prezzo e rendimento delle obbligazioniDifficile
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 e cedola annua del 6% scade tra 9 anni e quota €935. Trova il suo rendimento a scadenza YTM in percentuale.
F = €1 000cedola = 6%n = 9P = €935
YTM = %
7.CAPM e WACCMedia
Un’azienda ha capitale proprio per €5 000 000 e debito per €4 000 000. Il costo del capitale proprio è del 13%, il costo del debito al lordo delle imposte è del 6% e l’aliquota fiscale è del 21%. Trova il WACC.
Un’azienda ha 5 000 000 azioni da €35,00 ciascuna e 5 000 obbligazioni quotate €1 000 ciascuna. Il costo del debito al lordo delle imposte è del 6% e l’aliquota fiscale è del 28%. Il beta dell’azione è 1,3, il tasso privo di rischio è del 4% e il rendimento di mercato è del 9%. Trova il WACC.
β = 1,3rf = 4%rm = 9%rd = 6%T = 28%
WACC = %
9.Analisi del punto di pareggioMedia
Un’azienda vende 2 500 unità a €18 l’una. Il costo variabile è €8 per unità e i costi fissi sono €10 000. Trova il grado di leva operativa DOL a questo livello di vendite.
Q = 2 500p = €18v = €8F = €10 000
DOL =
10.Analisi del punto di pareggioDifficile
Un prodotto si vende a €45 l'unità, con un costo variabile di €30 per unità e costi fissi di €22 500 all'anno. Le vendite a budget sono 1 880 unità. Trova il margine di sicurezza MS in percentuale delle vendite a budget.
F = €22 500p = €45v = €30budget = 1 880
MS = %
3Soluzioni
1.Valore temporale del denaro
Risposta: EAR = 23,21 %
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Tasso per periodo
r/m = 0,22/2 = 0,11
Capitalizza su un anno
EAR = (1 + 0,11)2 − 1 = 1,232 − 1 = 23,21%
Risposta
EAR = 23,21%
Il tasso annuo effettivo è sempre superiore al tasso nominale quando gli interessi vengono capitalizzati più di una volta all’anno.
2.Valore temporale del denaro
Risposta: B = 232290 €
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Ciò che resta da pagare deve essere estinto esattamente dalle rate rimanenti.
N − k = 240 − 24 = 216
B = 1463·(1 − (1 + 0,003)−216)/0,003 = €232 289,94
Risposta
B = €232 289,94
3.VAN e TIR
Risposta: NPV = −20000 €
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Valore dei flussi di cassa
PV = 4 000/(0,08 − 0,03) = 80 000,00
NPV
NPV = 80 000,00 − 100 000 = −€20 000,00
Risposta
NPV = −€20 000,00
Il VAN è negativo, quindi il progetto rende meno del rendimento richiesto.
4.VAN e TIR
Risposta: MIRR = 12,58 %
TIR modificato: capitalizza ogni entrata fino alla fine del progetto al tasso di reinvestimento (di solito il costo del capitale) per ottenere il valore finale TV. Il MIRR è il tasso che trasforma l’investimento iniziale in TV: MIRR = (TV/C₀)^(1/n) − 1.
Valore finale delle entrate
14 000·1,082 = 16 329,60
10 500·1,081 = 11 340,00
8 000·1,080 = 8 000,00
TV = 35 669,60
MIRR
MIRR = (35 669,60/25 000)1/3 − 1 = 12,58%
Risposta
MIRR = 12,58%
5.Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Risposta: P = 1072 €
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Per periodo
C = €25,00, i = 0,0125, N = 6
Valore attuale delle cedole
€25,00·(1 − 0,9282)/0,0125 = €143,65
Valore attuale del valore nominale
€1 000·0,9282 = €928,17
Prezzo
P = €1 071,83
Risposta
P = €1 071,83
Il rendimento è inferiore al tasso cedolare, quindi l’obbligazione quota sopra la pari (a premio).
6.Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Risposta: YTM = 6,998 %
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Equazione del rendimento
€935 = €60·(1 − (1 + y)⁻⁹)/y + €1 000/(1 + y)⁹
Risolvi numericamente
P(6%) = €1 000,00, P(7%) = €934,85
YTM = 6,998%
Risposta
YTM = 6,998%
7.CAPM e WACC
Risposta: WACC = 9,329 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Pesi
V = €9 000 000, E/V = 0,5556, D/V = 0,4444
WACC
WACC = 0,5556·13% + 0,4444·6%·(1 − 0,21) = 9,329%
Risposta
WACC = 9,329%
8.CAPM e WACC
Risposta: WACC = 10,33 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Leva operativa: i costi fissi fanno reagire l’utile più intensamente delle vendite. Il grado di leva operativa DOL = margine di contribuzione/utile operativo indica che una variazione dell’1% delle vendite fa variare l’utile del DOL %. È molto alto appena sopra il pareggio e diminuisce al crescere delle vendite.
Margine di contribuzione totale
CM = 2 500·(18 − 8) = €25 000
Utile operativo
Π = 25 000 − 10 000 = €15 000
DOL
DOL = 25 000/15 000 = 1,667
Risposta
DOL = 1,667
10.Analisi del punto di pareggio
Risposta: MS = 20,21 %
Costi-volumi-risultati: ogni unità venduta porta un margine di contribuzione, prezzo meno costo variabile unitario. Utile = Q·(p − v) − F, dove F è il costo fisso. Al punto di pareggio l'utile è zero, quindi Q = F/(p − v).