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1Formule e metodi
Valore temporale del denaro
Valore futuro
FV = PV·(1 + i)n
Valore attuale
PV = FV/(1 + i)n
Più periodi all’anno
i = r/m, N = m·n
Rendita, valore attuale
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Rendita, valore futuro
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Metodo
Disegna una linea temporale con ogni flusso di cassa e la sua scadenza.
Abbina il tasso al periodo: un tasso mensile per pagamenti mensili.
Usa FV = PV·(1 + i)ⁿ per importi singoli e le formule delle rendite per pagamenti costanti.
Controlla il segno e l’ordine di grandezza della risposta.
VAN e TIR
Valore attuale netto
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Flussi uguali
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Tasso interno di rendimento
il r per cui NPV = 0
Decisione
accetta se NPV > 0 (o IRR > rendimento richiesto)
Metodo
Elenca tutti i flussi di cassa con il loro anno; l’investimento all’anno 0 è negativo.
Sconta ogni flusso di cassa: CFt/(1 + r)t.
Sommali per ottenere il VAN. Positivo significa che il progetto rende più di r.
Per il TIR, trova per tentativi o per interpolazione il tasso che annulla il VAN.
Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Prezzo dell’obbligazione
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Cedole semestrali
C/2, y/2 e 2n periodi
Rendimento corrente
C/P
Prezzo e rendimento
rendimento su → prezzo giù
Metodo
Trova la cedola per periodo e il rendimento per periodo.
Prezzo = valore attuale delle cedole (una rendita) + valore attuale del valore nominale.
Per cedole semestrali usa metà cedola, metà rendimento e il doppio dei periodi.
Verifica: se il rendimento è superiore al tasso cedolare, il prezzo è inferiore al valore nominale.
CAPM e WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Valore dell’impresa
V = E + D
Analisi del punto di pareggio
Margine di contribuzione
CM = p − v
Quantità di pareggio
QBE = FC/(p − v)
Utile obiettivo
Q = (FC + profit)/(p − v)
Utile
π = (p − v)·Q − FC
Margine di sicurezza
(Q − QBE)/Q
2Esercizi
1.Valore temporale del denaroMedia
Investi €20 000 al 8% annuo con capitalizzazione continua. Trova il valore FV dopo 3 anni.
PV = €20 000r = 8%t = 3
FV = €
2.Valore temporale del denaroDifficile
Un prestito di €15 000 viene rimborsato con rate mensili costanti in 5 anni. Il tasso d'interesse è del 3,6 % annuo, capitalizzato mensilmente. Trova la rata mensile A.
P = €15 0003,6% / 12N = 60
A = €
3.VAN e TIRMedia
Un progetto costa €60 000 oggi e rende €14 000, €25 500, €26 000, €26 000, €21 500 alla fine degli anni da 1 a 5. Il costo del capitale è il 12%. Supponi che i flussi di cassa arrivino in modo uniforme durante ogni anno. Trova il periodo di recupero attualizzato DPB in anni.
Un progetto costa €25 000 e restituisce €15 000, €12 500 alla fine degli anni da 1 a 2. Trova il suo tasso interno di rendimento IRR in percentuale.
CF0 = −25 000CF1 = 15 000CF2 = 12 500
IRR = %
5.Prezzo e rendimento delle obbligazioniMedia
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 paga una cedola annua di 2% e scade tra 15 anni. Il suo rendimento a scadenza passa dal 5% al 3%. Di quanto ΔP varia il prezzo dell’obbligazione?
F = €1 000cedola = 2%n = 15y1 = 5%y2 = 3%
ΔP = €
6.Prezzo e rendimento delle obbligazioniDifficile
Un’obbligazione con 19 anni alla scadenza (valore nominale €1 000, cedola annua 5%) viene venduta a €1 286. L’emittente può rimborsarla anticipatamente tra 3 anni a un prezzo di richiamo di €1 050. Trova il rendimento al richiamo YTC in percentuale.
F = €1 000cedola = 5%P = €1 286prezzo di richiamo = €1 050richiamo tra 3 anni
YTC = %
7.CAPM e WACCMedia
Un’azienda ha capitale proprio per €3 000 000 e debito per €5 000 000. Il suo WACC è del 5,78%, il costo del debito al lordo delle imposte è del 4,5% e l’aliquota fiscale è del 28%. Trova il costo del capitale proprio re.
Un’azienda ha 5 000 000 azioni da €46,00 ciascuna e 5 000 obbligazioni quotate €980 ciascuna. Il costo del debito al lordo delle imposte è del 3% e l’aliquota fiscale è del 28%. Il beta dell’azione è 1,5, il tasso privo di rischio è del 4% e il rendimento di mercato è del 9,5%. Trova il WACC.
β = 1,5rf = 4%rm = 9,5%rd = 3%T = 28%
WACC = %
9.Analisi del punto di pareggioMedia
Un prodotto si vende a €18 l'unità con un costo variabile di €8 per unità. I costi fissi sono €8 000 al mese. Quante unità Q vanno vendute al mese per ottenere un utile di €6 000?
F = €8 000p = €18v = €8utile = €6 000
Q = unità
10.Analisi del punto di pareggioDifficile
Un prodotto si vende a €36 l'unità, con un costo variabile di €30 per unità e costi fissi di €3 000 all'anno. Le vendite a budget sono 650 unità. Trova il margine di sicurezza MS in percentuale delle vendite a budget.
F = €3 000p = €36v = €30budget = 650
MS = %
3Soluzioni
1.Valore temporale del denaro
Risposta: FV = 25425 €
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Esponente
r·t = 0,08·3 = 0,24
e0,24 = 1,271
Valore futuro
FV = 20 000·1,271 = €25 424,98
Risposta
FV = €25 424,98
2.Valore temporale del denaro
Risposta: A = 273,5 €
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Tasso mensile e numero di rate
i = 0,036000000000000004/12 = 0,003
N = 12·5 = 60
Rata
Il valore attuale di N pagamenti uguali A è A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Ponilo uguale al prestito e ricava A.
(1 + i)−N = 0,8355
A = 15 000·0,003/(1 − 0,8355) = €273,55
Risposta
A = €273,55
3.VAN e TIR
Risposta: DPB = 3,524 anni
Periodo di recupero (payback): il tempo necessario perché i flussi di cassa cumulati ripaghino l’investimento iniziale. Si assume che la liquidità entri in modo uniforme durante ogni anno, quindi l’ultima parte è una frazione d’anno. Il payback semplice ignora il valore temporale del denaro; il payback attualizzato usa invece i flussi di cassa attualizzati.
Flussi di cassa attualizzati e cumulati
anno 1: 14 000/1,12 = 12 500,00 → Σ = 12 500,00
anno 2: 25 500/1,254 = 20 328,44 → Σ = 32 828,44
anno 3: 26 000/1,405 = 18 506,29 → Σ = 51 334,73
anno 4: 26 000/1,574 = 16 523,47 → Σ = 67 858,20
Frazione dell’ultimo anno
DPB = 3 + 8 665,27/16 523,47 = 3,524
Risposta
DPB = 3,524 anni
Il payback attualizzato è sempre più lungo del payback semplice (2,788 anni).
4.VAN e TIR
Risposta: IRR = 6,811 %
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Delimitare il TIR
Il VAN scende quando il tasso sale, quindi il TIR sta tra un tasso con VAN positivo e uno con VAN negativo.
NPV(5%) = 623,58
NPV(10%) = −1 033,06
Restringere
L'interpolazione lineare dà una prima stima; ripeterla (o usare la funzione TIR di una calcolatrice) dà il tasso esatto.
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Equazione del rendimento
1286 = 50·(1 − (1 + y)−3)/y + 1050/(1 + y)3
Risolvi numericamente
y = 50%: €381,48
y = 50%: €381,48
YTC = 50%
Risposta
YTC = 50%
Il rendimento a scadenza è del 3,003%. Chi investe in un’obbligazione sopra la pari si aspetta che venga richiamata, quindi il rendimento al richiamo, più basso, è quello più realistico.
7.CAPM e WACC
Risposta: re = 10,01 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Pesi
V = €8 000 000, E/V = 0,375, D/V = 0,625
Parte del debito nel WACC
0,625·4,5%·(1 − 0,28) = 2,025%
Costo del capitale proprio
re = (5,78% − 2,025%)/0,375 = 10,01%
Risposta
re = 10,01%
8.CAPM e WACC
Risposta: WACC = 12,04 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Costi-volumi-risultati: ogni unità venduta porta un margine di contribuzione, prezzo meno costo variabile unitario. Utile = Q·(p − v) − F, dove F è il costo fisso. Al punto di pareggio l'utile è zero, quindi Q = F/(p − v).
Costi-volumi-risultati: ogni unità venduta porta un margine di contribuzione, prezzo meno costo variabile unitario. Utile = Q·(p − v) − F, dove F è il costo fisso. Al punto di pareggio l'utile è zero, quindi Q = F/(p − v).