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1Formule e metodi
Valore temporale del denaro
Valore futuro
FV = PV·(1 + i)n
Valore attuale
PV = FV/(1 + i)n
Più periodi all’anno
i = r/m, N = m·n
Rendita, valore attuale
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Rendita, valore futuro
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Metodo
Disegna una linea temporale con ogni flusso di cassa e la sua scadenza.
Abbina il tasso al periodo: un tasso mensile per pagamenti mensili.
Usa FV = PV·(1 + i)ⁿ per importi singoli e le formule delle rendite per pagamenti costanti.
Controlla il segno e l’ordine di grandezza della risposta.
VAN e TIR
Valore attuale netto
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Flussi uguali
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Tasso interno di rendimento
il r per cui NPV = 0
Decisione
accetta se NPV > 0 (o IRR > rendimento richiesto)
Metodo
Elenca tutti i flussi di cassa con il loro anno; l’investimento all’anno 0 è negativo.
Sconta ogni flusso di cassa: CFt/(1 + r)t.
Sommali per ottenere il VAN. Positivo significa che il progetto rende più di r.
Per il TIR, trova per tentativi o per interpolazione il tasso che annulla il VAN.
Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Prezzo dell’obbligazione
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Cedole semestrali
C/2, y/2 e 2n periodi
Rendimento corrente
C/P
Prezzo e rendimento
rendimento su → prezzo giù
Metodo
Trova la cedola per periodo e il rendimento per periodo.
Prezzo = valore attuale delle cedole (una rendita) + valore attuale del valore nominale.
Per cedole semestrali usa metà cedola, metà rendimento e il doppio dei periodi.
Verifica: se il rendimento è superiore al tasso cedolare, il prezzo è inferiore al valore nominale.
CAPM e WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Valore dell’impresa
V = E + D
Analisi del punto di pareggio
Margine di contribuzione
CM = p − v
Quantità di pareggio
QBE = FC/(p − v)
Utile obiettivo
Q = (FC + profit)/(p − v)
Utile
π = (p − v)·Q − FC
Margine di sicurezza
(Q − QBE)/Q
2Esercizi
1.Valore temporale del denaroMedia
Investi €10 000 al 5% annuo con capitalizzazione continua. Trova il valore FV dopo 18 anni.
PV = €10 000r = 5%t = 18
FV = €
2.Valore temporale del denaroDifficile
Un prestito di €15 000 viene rimborsato con rate mensili costanti in 5 anni. Il tasso d'interesse è del 3 % annuo, capitalizzato mensilmente. Trova la rata mensile A.
P = €15 0003% / 12N = 60
A = €
3.VAN e TIRMedia
Un progetto costa €50 000 oggi e rende €16 500, €12 000, €22 500, €14 000 alla fine degli anni da 1 a 4. Il costo del capitale è il 5%. Supponi che i flussi di cassa arrivino in modo uniforme durante ogni anno. Trova il periodo di recupero attualizzato DPB in anni.
Il progetto A costa €10 000 e rende €5 500, €4 000, €2 500 alla fine degli anni da 1 a 3. Il progetto B costa €15 000 e rende €4 000, €6 000, €8 500. Trova il tasso di indifferenza (crossover) r* al quale entrambi i progetti hanno lo stesso VAN, in percentuale.
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 paga una cedola annua del 4% in due rate semestrali e scade tra 8 anni. Il rendimento a scadenza è del 7% annuo. Trova il prezzo P dell’obbligazione.
F = €1 000cedola = 4%YTM = 7%n = 8
P = €
6.Prezzo e rendimento delle obbligazioniDifficile
Un’obbligazione con 12 anni alla scadenza (valore nominale €1 000, cedola annua 8%) viene venduta a €1 122. L’emittente può rimborsarla anticipatamente tra 4 anni a un prezzo di richiamo di €1 080. Trova il rendimento al richiamo YTC in percentuale.
F = €1 000cedola = 8%P = €1 122prezzo di richiamo = €1 080richiamo tra 4 anni
YTC = %
7.CAPM e WACCMedia
Un’azienda ha capitale proprio per €10 000 000 e debito per €2 000 000. Il suo WACC è del 11,36%, il costo del debito al lordo delle imposte è del 4% e l’aliquota fiscale è del 21%. Trova il costo del capitale proprio re.
Un’azienda ha 2 000 000 azioni da €55,00 ciascuna e 5 000 obbligazioni quotate €1 020 ciascuna. Il costo del debito al lordo delle imposte è del 6% e l’aliquota fiscale è del 25%. Il beta dell’azione è 1,5, il tasso privo di rischio è del 3% e il rendimento di mercato è del 8%. Trova il WACC.
β = 1,5rf = 3%rm = 8%rd = 6%T = 25%
WACC = %
9.Analisi del punto di pareggioMedia
Un prodotto si vende a €9 con un costo variabile di €4 per unità. I costi fissi sono €2 500 al mese e l’utile è tassato al 20%. Quante unità Q si devono vendere al mese per guadagnare €1 500 al netto delle imposte?
p = €9v = €4F = €2 500T = 20%utile al netto delle imposte = €1 500
Q = unità
10.Analisi del punto di pareggioDifficile
Un prodotto si vende a €30 l'unità, con un costo variabile di €25 per unità e costi fissi di €2 500 all'anno. Le vendite a budget sono 750 unità. Trova il margine di sicurezza MS in percentuale delle vendite a budget.
F = €2 500p = €30v = €25budget = 750
MS = %
3Soluzioni
1.Valore temporale del denaro
Risposta: FV = 24596 €
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Esponente
r·t = 0,05·18 = 0,9
e0,9 = 2,46
Valore futuro
FV = 10 000·2,46 = €24 596,03
Risposta
FV = €24 596,03
2.Valore temporale del denaro
Risposta: A = 269,5 €
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Tasso mensile e numero di rate
i = 0,03/12 = 0,0025
N = 12·5 = 60
Rata
Il valore attuale di N pagamenti uguali A è A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Ponilo uguale al prestito e ricava A.
(1 + i)−N = 0,8609
A = 15 000·0,0025/(1 − 0,8609) = €269,53
Risposta
A = €269,53
3.VAN e TIR
Risposta: DPB = 3,344 anni
Periodo di recupero (payback): il tempo necessario perché i flussi di cassa cumulati ripaghino l’investimento iniziale. Si assume che la liquidità entri in modo uniforme durante ogni anno, quindi l’ultima parte è una frazione d’anno. Il payback semplice ignora il valore temporale del denaro; il payback attualizzato usa invece i flussi di cassa attualizzati.
Flussi di cassa attualizzati e cumulati
anno 1: 16 500/1,05 = 15 714,29 → Σ = 15 714,29
anno 2: 12 000/1,103 = 10 884,35 → Σ = 26 598,64
anno 3: 22 500/1,158 = 19 436,35 → Σ = 46 034,99
anno 4: 14 000/1,216 = 11 517,83 → Σ = 57 552,82
Frazione dell’ultimo anno
DPB = 3 + 3 965,01/11 517,83 = 3,344
Risposta
DPB = 3,344 anni
Il payback attualizzato è sempre più lungo del payback semplice (2,956 anni).
4.VAN e TIR
Risposta: r* = 8,594 %
Tasso di indifferenza (crossover): il tasso di sconto al quale due progetti hanno lo stesso VAN. È il TIR della differenza dei loro flussi di cassa (B − A). Al di sotto, il progetto con flussi più tardivi e più grandi ha il VAN maggiore; al di sopra prevale l’altro.
Differenza dei flussi di cassa
ΔCF0 = −15 000 − (−10 000) = −5 000
ΔCF1 = 4 000 − 5 500 = −1 500
ΔCF2 = 6 000 − 4 000 = 2 000
ΔCF3 = 8 500 − 2 500 = 6 000
TIR della differenza
NPVΔ(8%) = 88,78
NPVΔ(9%) = −59,69
r* = 8,594%
Risposta
r* = 8,594%
Verifica: al 8,594% entrambi i VAN valgono €408,94.
5.Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Risposta: P = 818,6 €
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Per periodo
C = €20,00, i = 0,035, N = 16
Valore attuale delle cedole
€20,00·(1 − 0,5767)/0,035 = €241,88
Valore attuale del valore nominale
€1 000·0,5767 = €576,71
Prezzo
P = €818,59
Risposta
P = €818,59
Il rendimento è superiore al tasso cedolare, quindi l’obbligazione quota sotto la pari (a sconto).
6.Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Risposta: YTC = 6,278 %
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Equazione del rendimento
1122 = 80·(1 − (1 + y)−4)/y + 1080/(1 + y)4
Risolvi numericamente
y = 6%: €1 132,67
y = 7%: €1 094,90
YTC = 6,278%
Risposta
YTC = 6,278%
Il rendimento a scadenza è del 6,504%. Chi investe in un’obbligazione sopra la pari si aspetta che venga richiamata, quindi il rendimento al richiamo, più basso, è quello più realistico.
7.CAPM e WACC
Risposta: re = 13 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Pesi
V = €12 000 000, E/V = 0,8333, D/V = 0,1667
Parte del debito nel WACC
0,1667·4%·(1 − 0,21) = 0,5267%
Costo del capitale proprio
re = (11,36% − 0,5267%)/0,8333 = 13%
Risposta
re = 13%
8.CAPM e WACC
Risposta: WACC = 10,23 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Costi-volumi-risultati: ogni unità venduta porta un margine di contribuzione, prezzo meno costo variabile unitario. Utile = Q·(p − v) − F, dove F è il costo fisso. Al punto di pareggio l'utile è zero, quindi Q = F/(p − v).
Utile al lordo delle imposte necessario
1 500/(1 − 0,2) = €1 875
Unità necessarie
Q = (2 500 + 1 875)/5 = 875
Risposta
Q = 875 unità
10.Analisi del punto di pareggio
Risposta: MS = 33,33 %
Costi-volumi-risultati: ogni unità venduta porta un margine di contribuzione, prezzo meno costo variabile unitario. Utile = Q·(p − v) − F, dove F è il costo fisso. Al punto di pareggio l'utile è zero, quindi Q = F/(p − v).