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1Formule e metodi
Valore temporale del denaro
Valore futuro
FV = PV·(1 + i)n
Valore attuale
PV = FV/(1 + i)n
Più periodi all’anno
i = r/m, N = m·n
Rendita, valore attuale
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Rendita, valore futuro
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Metodo
Disegna una linea temporale con ogni flusso di cassa e la sua scadenza.
Abbina il tasso al periodo: un tasso mensile per pagamenti mensili.
Usa FV = PV·(1 + i)ⁿ per importi singoli e le formule delle rendite per pagamenti costanti.
Controlla il segno e l’ordine di grandezza della risposta.
VAN e TIR
Valore attuale netto
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Flussi uguali
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Tasso interno di rendimento
il r per cui NPV = 0
Decisione
accetta se NPV > 0 (o IRR > rendimento richiesto)
Metodo
Elenca tutti i flussi di cassa con il loro anno; l’investimento all’anno 0 è negativo.
Sconta ogni flusso di cassa: CFt/(1 + r)t.
Sommali per ottenere il VAN. Positivo significa che il progetto rende più di r.
Per il TIR, trova per tentativi o per interpolazione il tasso che annulla il VAN.
Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Prezzo dell’obbligazione
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Cedole semestrali
C/2, y/2 e 2n periodi
Rendimento corrente
C/P
Prezzo e rendimento
rendimento su → prezzo giù
Metodo
Trova la cedola per periodo e il rendimento per periodo.
Prezzo = valore attuale delle cedole (una rendita) + valore attuale del valore nominale.
Per cedole semestrali usa metà cedola, metà rendimento e il doppio dei periodi.
Verifica: se il rendimento è superiore al tasso cedolare, il prezzo è inferiore al valore nominale.
CAPM e WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Valore dell’impresa
V = E + D
Analisi del punto di pareggio
Margine di contribuzione
CM = p − v
Quantità di pareggio
QBE = FC/(p − v)
Utile obiettivo
Q = (FC + profit)/(p − v)
Utile
π = (p − v)·Q − FC
Margine di sicurezza
(Q − QBE)/Q
2Esercizi
1.Valore temporale del denaroMedia
Una carta di credito applica un tasso nominale annuo del 16%, capitalizzato giornaliera. Trova il tasso annuo effettivo EAR in percentuale.
r = 16%m = 365
EAR = %
2.Valore temporale del denaroDifficile
Risparmi €250 alla fine di ogni mese per 25 anni. Il conto rende il 6 % annuo, capitalizzato mensilmente. Quanto hai risparmiato alla fine? Trova FV.
A = €2506% / 12N = 300
FV = €
3.VAN e TIRMedia
Un investimento di €20 000 genera questi flussi alla fine degli anni da 1 a 3: €10 000, €8 000, €7 000. Il costo del capitale è del 5 %. Trova il valore attuale netto NPV.
Un progetto costa €10 000 e restituisce €4 000, €5 500, €5 500 alla fine degli anni da 1 a 3. Trova il suo tasso interno di rendimento IRR in percentuale.
CF0 = −10 000CF1 = 4 000CF2 = 5 500CF3 = 5 500
IRR = %
5.Prezzo e rendimento delle obbligazioniMedia
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 paga una cedola annua del 4,5% in due rate semestrali e scade tra 4 anni. Il rendimento a scadenza è del 6% annuo. Trova il prezzo P dell’obbligazione.
F = €1 000cedola = 4,5%YTM = 6%n = 4
P = €
6.Prezzo e rendimento delle obbligazioniDifficile
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 e cedola annua del 7% scade tra 7 anni e quota €950. Trova il suo rendimento a scadenza YTM in percentuale.
F = €1 000cedola = 7%n = 7P = €950
YTM = %
7.CAPM e WACCMedia
Un’azienda ha capitale proprio per €10 000 000 e debito per €6 000 000. Il costo del capitale proprio è del 14%, il costo del debito al lordo delle imposte è del 3% e l’aliquota fiscale è del 30%. Trova il WACC.
Le azioni di un’azienda hanno un beta di 1,5 con l’attuale rapporto debito/capitale proprio di 0,4. L’azienda prevede di portare il rapporto debito/capitale proprio a 1,25. L’aliquota fiscale è del 25%, il tasso privo di rischio del 3,5% e il premio per il rischio di mercato del 6%. Trova il costo del capitale proprio re dopo la modifica.
Un prodotto si vende a €20 l'unità con un costo variabile di €15 per unità. I costi fissi sono €20 000 al mese. Quante unità Q vanno vendute al mese per ottenere un utile di €6 000?
F = €20 000p = €20v = €15utile = €6 000
Q = unità
10.Analisi del punto di pareggioDifficile
Un’azienda vende due prodotti. Il prodotto A si vende a €16 con un costo variabile di €10; il prodotto B si vende a €40 con un costo variabile di €25. Si vendono in un mix fisso di 2 unità di A ogni 1 di B. I costi fissi sono €5 400 al mese. Trova il numero totale di unità Q (A e B insieme) necessario per il pareggio.
pA = €16, vA = €10pB = €40, vB = €25A : B = 2 : 1F = €5 400
Q = unità
3Soluzioni
1.Valore temporale del denaro
Risposta: EAR = 17,35 %
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Tasso per periodo
r/m = 0,16/365 = 0,0004384
Capitalizza su un anno
EAR = (1 + 0,0004384)365 − 1 = 1,173 − 1 = 17,35%
Risposta
EAR = 17,35%
Il tasso annuo effettivo è sempre superiore al tasso nominale quando gli interessi vengono capitalizzati più di una volta all’anno.
2.Valore temporale del denaro
Risposta: FV = 173248 €
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Valore attuale di ogni flusso
CF0 = −20 000
CF1/(1 + 0,05)1 = 10 000/1,05 = 9 523,81
CF2/(1 + 0,05)2 = 8 000/1,103 = 7 256,24
CF3/(1 + 0,05)3 = 7 000/1,158 = 6 046,86
Sommali
NPV = €2 826,91
Risposta
NPV = €2 826,91
Il VAN è positivo, quindi il progetto rende più del rendimento richiesto.
4.VAN e TIR
Risposta: IRR = 22,02 %
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Delimitare il TIR
Il VAN scende quando il tasso sale, quindi il TIR sta tra un tasso con VAN positivo e uno con VAN negativo.
NPV(20%) = 335,65
NPV(25%) = −464,00
Restringere
L'interpolazione lineare dà una prima stima; ripeterla (o usare la funzione TIR di una calcolatrice) dà il tasso esatto.
IRR ≈ 20 + 5·335,65/(335,65 − (−464,00)) = 22,1%
esatto: NPV(22,02%) = 0 → IRR = 22,02%
Risposta
IRR = 22,02%
5.Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Risposta: P = 947,4 €
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Per periodo
C = €22,50, i = 0,03, N = 8
Valore attuale delle cedole
€22,50·(1 − 0,7894)/0,03 = €157,94
Valore attuale del valore nominale
€1 000·0,7894 = €789,41
Prezzo
P = €947,35
Risposta
P = €947,35
Il rendimento è superiore al tasso cedolare, quindi l’obbligazione quota sotto la pari (a sconto).
6.Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Risposta: YTM = 7,959 %
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Equazione del rendimento
€950 = €70·(1 − (1 + y)⁻⁷)/y + €1 000/(1 + y)⁷
Risolvi numericamente
P(7%) = €1 000,00, P(8%) = €947,94
YTM = 7,959%
Risposta
YTM = 7,959%
7.CAPM e WACC
Risposta: WACC = 9,537 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Pesi
V = €16 000 000, E/V = 0,625, D/V = 0,375
WACC
WACC = 0,625·14% + 0,375·3%·(1 − 0,3) = 9,537%
Risposta
WACC = 9,537%
8.CAPM e WACC
Risposta: re = 16,91 %
Beta levered (Hamada): il debito rende il capitale proprio più rischioso. βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E), dove βU è il beta dell’attività senza debito. Per trasferire un beta a un’altra struttura del capitale, prima rendilo unlevered e poi ricalcolalo levered al nuovo D/E.
Rendi il beta unlevered
βU = 1,5/(1 + 0,75·0,4) = 1,154
Ricalcola il beta levered al nuovo D/E
βL = 1,154·(1 + 0,75·1,25) = 2,236
Costo del capitale proprio (CAPM)
re = 3,5% + 2,236·6% = 16,91%
Risposta
re = 16,91%
9.Analisi del punto di pareggio
Risposta: Q = 5200 unità
Costi-volumi-risultati: ogni unità venduta porta un margine di contribuzione, prezzo meno costo variabile unitario. Utile = Q·(p − v) − F, dove F è il costo fisso. Al punto di pareggio l'utile è zero, quindi Q = F/(p − v).
Pareggio con un mix di vendita: quando i prodotti si vendono in un rapporto fisso, usa il margine di contribuzione medio ponderato: pondera il p − v di ogni prodotto con la sua quota di unità. Unità di pareggio = F/(margine di contribuzione ponderato), poi ripartite di nuovo secondo il rapporto del mix.