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1Formule e metodi
Valore temporale del denaro
Valore futuro
FV = PV·(1 + i)n
Valore attuale
PV = FV/(1 + i)n
Più periodi all’anno
i = r/m, N = m·n
Rendita, valore attuale
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Rendita, valore futuro
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Metodo
Disegna una linea temporale con ogni flusso di cassa e la sua scadenza.
Abbina il tasso al periodo: un tasso mensile per pagamenti mensili.
Usa FV = PV·(1 + i)ⁿ per importi singoli e le formule delle rendite per pagamenti costanti.
Controlla il segno e l’ordine di grandezza della risposta.
VAN e TIR
Valore attuale netto
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Flussi uguali
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Tasso interno di rendimento
il r per cui NPV = 0
Decisione
accetta se NPV > 0 (o IRR > rendimento richiesto)
Metodo
Elenca tutti i flussi di cassa con il loro anno; l’investimento all’anno 0 è negativo.
Sconta ogni flusso di cassa: CFt/(1 + r)t.
Sommali per ottenere il VAN. Positivo significa che il progetto rende più di r.
Per il TIR, trova per tentativi o per interpolazione il tasso che annulla il VAN.
Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Prezzo dell’obbligazione
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Cedole semestrali
C/2, y/2 e 2n periodi
Rendimento corrente
C/P
Prezzo e rendimento
rendimento su → prezzo giù
Metodo
Trova la cedola per periodo e il rendimento per periodo.
Prezzo = valore attuale delle cedole (una rendita) + valore attuale del valore nominale.
Per cedole semestrali usa metà cedola, metà rendimento e il doppio dei periodi.
Verifica: se il rendimento è superiore al tasso cedolare, il prezzo è inferiore al valore nominale.
CAPM e WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Valore dell’impresa
V = E + D
Analisi del punto di pareggio
Margine di contribuzione
CM = p − v
Quantità di pareggio
QBE = FC/(p − v)
Utile obiettivo
Q = (FC + profit)/(p − v)
Utile
π = (p − v)·Q − FC
Margine di sicurezza
(Q − QBE)/Q
2Esercizi
1.Valore temporale del denaroMedia
Si prevede che un immobile renda un affitto netto di €6 000 il prossimo anno. Si prevede che l’affitto cresca del 2,5% annuo per sempre. Il rendimento richiesto è il 5,5% annuo. Trova il valore PV dell’immobile oggi.
C1 = €6 000g = 2,5%r = 5,5%
PV = €
2.Valore temporale del denaroDifficile
Un mutuo di €300 000 viene rimborsato con rate mensili costanti in 30 anni al 5,4% annuo, capitalizzato mensilmente. Quanto resta da pagare subito dopo la rata alla fine dell’anno 13? Trova il debito residuo B.
P = €300 0005,4% / 12N = 360k = 156
B = €
3.VAN e TIRMedia
Un investimento di €20 000 genera questi flussi alla fine degli anni da 1 a 3: €7 000, €8 000, €7 000. Il costo del capitale è del 8 %. Trova il valore attuale netto NPV.
Un progetto costa €40 000 e restituisce €24 000, €17 000, €27 500 alla fine degli anni da 1 a 3. Trova il suo tasso interno di rendimento IRR in percentuale.
CF0 = −40 000CF1 = 24 000CF2 = 17 000CF3 = 27 500
IRR = %
5.Prezzo e rendimento delle obbligazioniMedia
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 scade tra 13 anni e paga cedole annuali. Viene venduta a €953 quando il rendimento a scadenza è del 5%. Trova il tasso cedolare c in percentuale.
F = €1 000n = 13P = €953YTM = 5%
c = %
6.Prezzo e rendimento delle obbligazioniDifficile
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 e cedola annua del 7% scade tra 10 anni e quota €1 115. Trova il suo rendimento a scadenza YTM in percentuale.
F = €1 000cedola = 7%n = 10P = €1 115
YTM = %
7.CAPM e WACCMedia
Un’azienda ha capitale proprio per €5 000 000 e debito per €3 000 000. Il costo del capitale proprio è del 13%, il costo del debito al lordo delle imposte è del 3% e l’aliquota fiscale è del 30%. Trova il WACC.
Le azioni di un’azienda hanno un beta di 1,1 con l’attuale rapporto debito/capitale proprio di 0,4. L’azienda prevede di portare il rapporto debito/capitale proprio a 0,6. L’aliquota fiscale è del 25%, il tasso privo di rischio del 1,5% e il premio per il rischio di mercato del 4%. Trova il costo del capitale proprio re dopo la modifica.
Un prodotto si vende a €27 con un costo variabile di €15 per unità. I costi fissi sono €14 400 al mese e l’utile è tassato al 25%. Quante unità Q si devono vendere al mese per guadagnare €4 500 al netto delle imposte?
p = €27v = €15F = €14 400T = 25%utile al netto delle imposte = €4 500
Q = unità
10.Analisi del punto di pareggioDifficile
Un’azienda vende 1 500 unità al mese a €16 l’una, con un costo variabile di €12 per unità e costi fissi di €4 000 al mese. Il costo variabile aumenta di €1 per unità e il prezzo resta invariato. Quante unità Q si devono ora vendere al mese per mantenere lo stesso utile?
Q = 1 500p = €16v = €12 → €13F = €4 000
Q = unità
3Soluzioni
1.Valore temporale del denaro
Risposta: PV = 200000 €
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Ciò che resta da pagare deve essere estinto esattamente dalle rate rimanenti.
N − k = 360 − 156 = 204
B = 1685·(1 − (1 + 0,0045)−204)/0,0045 = €224 559,89
Risposta
B = €224 559,89
3.VAN e TIR
Risposta: NPV = −1103 €
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Valore attuale di ogni flusso
CF0 = −20 000
CF1/(1 + 0,08)1 = 7 000/1,08 = 6 481,48
CF2/(1 + 0,08)2 = 8 000/1,166 = 6 858,71
CF3/(1 + 0,08)3 = 7 000/1,26 = 5 556,83
Sommali
NPV = €−1 102,98
Risposta
NPV = €−1 102,98
Il VAN è negativo, quindi il progetto rende meno del rendimento richiesto.
4.VAN e TIR
Risposta: IRR = 31,81 %
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Delimitare il TIR
Il VAN scende quando il tasso sale, quindi il TIR sta tra un tasso con VAN positivo e uno con VAN negativo.
NPV(30%) = 1 037,78
NPV(35%) = −1 717,22
Restringere
L'interpolazione lineare dà una prima stima; ripeterla (o usare la funzione TIR di una calcolatrice) dà il tasso esatto.
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Valore attuale del valore nominale
1000·(1 + 0,05)−13 = €530,32
Cedola
C = (953 − 530,32)/9,394 = €45,00
Tasso cedolare
c = 45/1000 = 4,5%
Risposta
c = 4,5%
6.Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Risposta: YTM = 5,476 %
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Pesi
V = €8 000 000, E/V = 0,625, D/V = 0,375
WACC
WACC = 0,625·13% + 0,375·3%·(1 − 0,3) = 8,912%
Risposta
WACC = 8,912%
8.CAPM e WACC
Risposta: re = 6,408 %
Beta levered (Hamada): il debito rende il capitale proprio più rischioso. βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E), dove βU è il beta dell’attività senza debito. Per trasferire un beta a un’altra struttura del capitale, prima rendilo unlevered e poi ricalcolalo levered al nuovo D/E.
Rendi il beta unlevered
βU = 1,1/(1 + 0,75·0,4) = 0,8462
Ricalcola il beta levered al nuovo D/E
βL = 0,8462·(1 + 0,75·0,6) = 1,227
Costo del capitale proprio (CAPM)
re = 1,5% + 1,227·4% = 6,408%
Risposta
re = 6,408%
9.Analisi del punto di pareggio
Risposta: Q = 1700 unità
Costi-volumi-risultati: ogni unità venduta porta un margine di contribuzione, prezzo meno costo variabile unitario. Utile = Q·(p − v) − F, dove F è il costo fisso. Al punto di pareggio l'utile è zero, quindi Q = F/(p − v).
Utile al lordo delle imposte necessario
4 500/(1 − 0,25) = €6 000
Unità necessarie
Q = (14 400 + 6 000)/12 = 1 700
Risposta
Q = 1 700 unità
10.Analisi del punto di pareggio
Risposta: Q = 2000 unità
Costi-volumi-risultati: ogni unità venduta porta un margine di contribuzione, prezzo meno costo variabile unitario. Utile = Q·(p − v) − F, dove F è il costo fisso. Al punto di pareggio l'utile è zero, quindi Q = F/(p − v).