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1Formule e metodi
Valore temporale del denaro
Valore futuro
FV = PV·(1 + i)n
Valore attuale
PV = FV/(1 + i)n
Più periodi all’anno
i = r/m, N = m·n
Rendita, valore attuale
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Rendita, valore futuro
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Metodo
Disegna una linea temporale con ogni flusso di cassa e la sua scadenza.
Abbina il tasso al periodo: un tasso mensile per pagamenti mensili.
Usa FV = PV·(1 + i)ⁿ per importi singoli e le formule delle rendite per pagamenti costanti.
Controlla il segno e l’ordine di grandezza della risposta.
VAN e TIR
Valore attuale netto
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Flussi uguali
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Tasso interno di rendimento
il r per cui NPV = 0
Decisione
accetta se NPV > 0 (o IRR > rendimento richiesto)
Metodo
Elenca tutti i flussi di cassa con il loro anno; l’investimento all’anno 0 è negativo.
Sconta ogni flusso di cassa: CFt/(1 + r)t.
Sommali per ottenere il VAN. Positivo significa che il progetto rende più di r.
Per il TIR, trova per tentativi o per interpolazione il tasso che annulla il VAN.
Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Prezzo dell’obbligazione
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Cedole semestrali
C/2, y/2 e 2n periodi
Rendimento corrente
C/P
Prezzo e rendimento
rendimento su → prezzo giù
Metodo
Trova la cedola per periodo e il rendimento per periodo.
Prezzo = valore attuale delle cedole (una rendita) + valore attuale del valore nominale.
Per cedole semestrali usa metà cedola, metà rendimento e il doppio dei periodi.
Verifica: se il rendimento è superiore al tasso cedolare, il prezzo è inferiore al valore nominale.
CAPM e WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Valore dell’impresa
V = E + D
Analisi del punto di pareggio
Margine di contribuzione
CM = p − v
Quantità di pareggio
QBE = FC/(p − v)
Utile obiettivo
Q = (FC + profit)/(p − v)
Utile
π = (p − v)·Q − FC
Margine di sicurezza
(Q − QBE)/Q
2Esercizi
1.Valore temporale del denaroMedia
Investi €3 000 a un tasso nominale del 4,8 % annuo, capitalizzato mensilmente. Trova il valore FV dell'investimento dopo 7 anni.
PV = €3 0004,8% / 12n = 7
FV = €
2.Valore temporale del denaroDifficile
Prendi in prestito €25 000 al 4,8% annuo, capitalizzato mensilmente, e rimborsi €475 alla fine di ogni mese. Quanti mesi servono per estinguere il prestito (l’ultima rata può essere più bassa)? Indica il numero di rate N.
P = €25 000A = €4754,8% / 12
N = rate
3.VAN e TIRMedia
Un progetto costa €20 000 oggi e rende €7 000 alla fine di ogni anno per 4 anni. Il costo del capitale è il 10%. Supponi che i flussi di cassa arrivino in modo uniforme durante ogni anno. Trova il periodo di recupero attualizzato DPB in anni.
Un progetto costa €10 000 e restituisce €5 000, €4 000, €5 000 alla fine degli anni da 1 a 3. Trova il suo tasso interno di rendimento IRR in percentuale.
CF0 = −10 000CF1 = 5 000CF2 = 4 000CF3 = 5 000
IRR = %
5.Prezzo e rendimento delle obbligazioniMedia
Acquisti un’obbligazione con 7 anni alla scadenza (valore nominale €1 000, cedola annua 6%) quando il suo rendimento a scadenza è del 4%. Un anno dopo, subito dopo aver incassato la prima cedola, la vendi quando il rendimento a scadenza è del 4,5%. Trova il tuo rendimento del periodo di detenzione HPR in percentuale.
F = €1 000cedola = 6%n = 7y0 = 4%y1 = 4,5%
HPR = %
6.Prezzo e rendimento delle obbligazioniDifficile
Un’obbligazione è quotata €940 con un rendimento a scadenza del 5% (capitalizzazione annuale) e una duration di Macaulay di 8,4 anni. Usa la duration modificata per stimare il nuovo prezzo P se il rendimento diminuisce di 100 punti base.
P0 = €940y = 5%D = 8,4Δy = −100 bp
P = €
7.CAPM e WACCMedia
Un’azienda ha capitale proprio per €12 000 000 e debito per €3 000 000. Il costo del capitale proprio è del 14%, il costo del debito al lordo delle imposte è del 4,5% e l’aliquota fiscale è del 21%. Trova il WACC.
Un’azienda ha 4 000 000 azioni da €44,00 ciascuna e 10 000 obbligazioni quotate €1 020 ciascuna. Il costo del debito al lordo delle imposte è del 6% e l’aliquota fiscale è del 21%. Il beta dell’azione è 0,9, il tasso privo di rischio è del 3,5% e il rendimento di mercato è del 7,5%. Trova il WACC.
β = 0,9rf = 3,5%rm = 7,5%rd = 6%T = 21%
WACC = %
9.Analisi del punto di pareggioMedia
Un prodotto si vende a €42 l'unità con un costo variabile di €30 per unità. I costi fissi sono €14 400 al mese. Quante unità Q vanno vendute al mese per ottenere un utile di €6 000?
F = €14 400p = €42v = €30utile = €6 000
Q = unità
10.Analisi del punto di pareggioDifficile
Un’azienda vende due prodotti. Il prodotto A si vende a €15 con un costo variabile di €12; il prodotto B si vende a €27 con un costo variabile di €15. Si vendono in un mix fisso di 2 unità di A ogni 1 di B. I costi fissi sono €5 400 al mese. Trova il numero totale di unità Q (A e B insieme) necessario per il pareggio.
pA = €15, vA = €12pB = €27, vB = €15A : B = 2 : 1F = €5 400
Q = unità
3Soluzioni
1.Valore temporale del denaro
Risposta: FV = 4195 €
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Riordina la formula della rendita
i = 0,004
(1 + i)−N = 1 − 25 000·0,004/475 = 0,7895
Risolvi con i logaritmi
N = −ln(0,7895)/ln(1,004) = 59,22
Arrotonda a rate intere
59 rate intere lasciano un piccolo debito residuo, che viene estinto dall’ultima rata, più bassa.
N = 60
Risposta
N = 60 rate
3.VAN e TIR
Risposta: DPB = 3,542 anni
Periodo di recupero (payback): il tempo necessario perché i flussi di cassa cumulati ripaghino l’investimento iniziale. Si assume che la liquidità entri in modo uniforme durante ogni anno, quindi l’ultima parte è una frazione d’anno. Il payback semplice ignora il valore temporale del denaro; il payback attualizzato usa invece i flussi di cassa attualizzati.
Flussi di cassa attualizzati e cumulati
anno 1: 7 000/1,1 = 6 363,64 → Σ = 6 363,64
anno 2: 7 000/1,21 = 5 785,12 → Σ = 12 148,76
anno 3: 7 000/1,331 = 5 259,20 → Σ = 17 407,96
anno 4: 7 000/1,464 = 4 781,09 → Σ = 22 189,06
Frazione dell’ultimo anno
DPB = 3 + 2 592,04/4 781,09 = 3,542
Risposta
DPB = 3,542 anni
Il payback attualizzato è sempre più lungo del payback semplice (2,857 anni).
4.VAN e TIR
Risposta: IRR = 18,96 %
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Delimitare il TIR
Il VAN scende quando il tasso sale, quindi il TIR sta tra un tasso con VAN positivo e uno con VAN negativo.
NPV(15%) = 659,98
NPV(20%) = −162,04
Restringere
L'interpolazione lineare dà una prima stima; ripeterla (o usare la funzione TIR di una calcolatrice) dà il tasso esatto.
IRR ≈ 15 + 5·659,98/(659,98 − (−162,04)) = 19,01%
esatto: NPV(18,96%) = 0 → IRR = 18,96%
Risposta
IRR = 18,96%
5.Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Risposta: HPR = 1,547 %
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Duration: la duration di Macaulay è il tempo medio ponderato in cui un’obbligazione paga i suoi flussi di cassa, con i valori attuali dei flussi come pesi: D = Σ t·PVₜ/P. La duration modificata D/(1 + y) stima la variazione percentuale del prezzo per una piccola variazione del rendimento: %ΔP ≈ −Dmod·Δy.
Duration modificata
Dmod = 8,4/1,05 = 8
Variazione stimata del prezzo
%ΔP ≈ −8·(−0,01) = 8%
P ≈ 940·(1 + 0,08) = €1 015,20
Risposta
P = €1 015,20
La duration è una stima lineare; per grandi variazioni del rendimento la convessità rende il prezzo effettivo un po’ più alto.
7.CAPM e WACC
Risposta: WACC = 11,91 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Pesi
V = €15 000 000, E/V = 0,8, D/V = 0,2
WACC
WACC = 0,8·14% + 0,2·4,5%·(1 − 0,21) = 11,91%
Risposta
WACC = 11,91%
8.CAPM e WACC
Risposta: WACC = 6,971 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Costi-volumi-risultati: ogni unità venduta porta un margine di contribuzione, prezzo meno costo variabile unitario. Utile = Q·(p − v) − F, dove F è il costo fisso. Al punto di pareggio l'utile è zero, quindi Q = F/(p − v).
Pareggio con un mix di vendita: quando i prodotti si vendono in un rapporto fisso, usa il margine di contribuzione medio ponderato: pondera il p − v di ogni prodotto con la sua quota di unità. Unità di pareggio = F/(margine di contribuzione ponderato), poi ripartite di nuovo secondo il rapporto del mix.