Nella finestra di stampa scegli “Salva come PDF” per conservarne una copia sul tuo dispositivo.
1Formule e metodi
Valore temporale del denaro
Valore futuro
FV = PV·(1 + i)n
Valore attuale
PV = FV/(1 + i)n
Più periodi all’anno
i = r/m, N = m·n
Rendita, valore attuale
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Rendita, valore futuro
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Metodo
Disegna una linea temporale con ogni flusso di cassa e la sua scadenza.
Abbina il tasso al periodo: un tasso mensile per pagamenti mensili.
Usa FV = PV·(1 + i)ⁿ per importi singoli e le formule delle rendite per pagamenti costanti.
Controlla il segno e l’ordine di grandezza della risposta.
VAN e TIR
Valore attuale netto
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Flussi uguali
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Tasso interno di rendimento
il r per cui NPV = 0
Decisione
accetta se NPV > 0 (o IRR > rendimento richiesto)
Metodo
Elenca tutti i flussi di cassa con il loro anno; l’investimento all’anno 0 è negativo.
Sconta ogni flusso di cassa: CFt/(1 + r)t.
Sommali per ottenere il VAN. Positivo significa che il progetto rende più di r.
Per il TIR, trova per tentativi o per interpolazione il tasso che annulla il VAN.
Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Prezzo dell’obbligazione
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Cedole semestrali
C/2, y/2 e 2n periodi
Rendimento corrente
C/P
Prezzo e rendimento
rendimento su → prezzo giù
Metodo
Trova la cedola per periodo e il rendimento per periodo.
Prezzo = valore attuale delle cedole (una rendita) + valore attuale del valore nominale.
Per cedole semestrali usa metà cedola, metà rendimento e il doppio dei periodi.
Verifica: se il rendimento è superiore al tasso cedolare, il prezzo è inferiore al valore nominale.
CAPM e WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Valore dell’impresa
V = E + D
Analisi del punto di pareggio
Margine di contribuzione
CM = p − v
Quantità di pareggio
QBE = FC/(p − v)
Utile obiettivo
Q = (FC + profit)/(p − v)
Utile
π = (p − v)·Q − FC
Margine di sicurezza
(Q − QBE)/Q
2Esercizi
1.Valore temporale del denaroMedia
Investi €5 000 a un tasso nominale del 3 % annuo, capitalizzato mensilmente. Trova il valore FV dell'investimento dopo 8 anni.
PV = €5 0003% / 12n = 8
FV = €
2.Valore temporale del denaroDifficile
Un mutuo di €200 000 viene rimborsato con rate mensili costanti in 25 anni al 2,4% annuo, capitalizzato mensilmente. Quanto resta da pagare subito dopo la rata alla fine dell’anno 17? Trova il debito residuo B.
P = €200 0002,4% / 12N = 300k = 204
B = €
3.VAN e TIRMedia
Un investimento di €30 000 genera questi flussi alla fine degli anni da 1 a 4: €8 000, €15 000, €8 000, €8 000. Il costo del capitale è del 5 %. Trova il valore attuale netto NPV.
Un progetto costa €20 000 e rende €8 000, €7 500, €7 000, €9 500 alla fine degli anni da 1 a 4. I flussi di cassa possono essere reinvestiti al costo del capitale del 8%. Trova il tasso interno di rendimento modificato MIRR in percentuale.
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 scade tra 8 anni e paga cedole annuali. Viene venduta a €1 241 quando il rendimento a scadenza è del 3,5%. Trova il tasso cedolare c in percentuale.
F = €1 000n = 8P = €1 241YTM = 3,5%
c = %
6.Prezzo e rendimento delle obbligazioniDifficile
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 e cedola annua del 4% scade tra 9 anni e quota €930. Trova il suo rendimento a scadenza YTM in percentuale.
F = €1 000cedola = 4%n = 9P = €930
YTM = %
7.CAPM e WACCMedia
Un’azione con un beta di 1,4 ha un rendimento richiesto del 13,8%. Il tasso privo di rischio è del 4%. Quale rendimento atteso del mercato rm implica il CAPM?
β = 1,4re = 13,8%rf = 4%
rm = %
8.CAPM e WACCDifficile
Un’azienda ha 2 500 000 azioni da €22,50 ciascuna e 5 000 obbligazioni quotate €980 ciascuna. Il costo del debito al lordo delle imposte è del 6% e l’aliquota fiscale è del 30%. Il beta dell’azione è 0,8, il tasso privo di rischio è del 2% e il rendimento di mercato è del 9%. Trova il WACC.
β = 0,8rf = 2%rm = 9%rd = 6%T = 30%
WACC = %
9.Analisi del punto di pareggioMedia
Un prodotto si vende a €26 l'unità con un costo variabile di €18 per unità. I costi fissi sono €32 000 al mese. Quante unità Q vanno vendute al mese per ottenere un utile di €2 000?
F = €32 000p = €26v = €18utile = €2 000
Q = unità
10.Analisi del punto di pareggioDifficile
Un’azienda vende due prodotti. Il prodotto A si vende a €12 con un costo variabile di €8; il prodotto B si vende a €20 con un costo variabile di €10. Si vendono in un mix fisso di 2 unità di A ogni 3 di B. I costi fissi sono €15 200 al mese. Trova il numero totale di unità Q (A e B insieme) necessario per il pareggio.
pA = €12, vA = €8pB = €20, vB = €10A : B = 2 : 3F = €15 200
Q = unità
3Soluzioni
1.Valore temporale del denaro
Risposta: FV = 6354 €
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Rata mensile
i = 0,002, N = 300
A = 200 000·0,002/(1 − (1 + 0,002)−300) = €887,19
Valore attuale delle rate rimanenti
Ciò che resta da pagare deve essere estinto esattamente dalle rate rimanenti.
N − k = 300 − 204 = 96
B = 887,2·(1 − (1 + 0,002)−96)/0,002 = €77 423,19
Risposta
B = €77 423,19
3.VAN e TIR
Risposta: NPV = 4717 €
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Valore attuale di ogni flusso
CF0 = −30 000
CF1/(1 + 0,05)1 = 8 000/1,05 = 7 619,05
CF2/(1 + 0,05)2 = 15 000/1,103 = 13 605,44
CF3/(1 + 0,05)3 = 8 000/1,158 = 6 910,70
CF4/(1 + 0,05)4 = 8 000/1,216 = 6 581,62
Sommali
NPV = €4 716,81
Risposta
NPV = €4 716,81
Il VAN è positivo, quindi il progetto rende più del rendimento richiesto.
4.VAN e TIR
Risposta: MIRR = 15,74 %
TIR modificato: capitalizza ogni entrata fino alla fine del progetto al tasso di reinvestimento (di solito il costo del capitale) per ottenere il valore finale TV. Il MIRR è il tasso che trasforma l’investimento iniziale in TV: MIRR = (TV/C₀)^(1/n) − 1.
Valore finale delle entrate
8 000·1,083 = 10 077,70
7 500·1,082 = 8 748,00
7 000·1,081 = 7 560,00
9 500·1,080 = 9 500,00
TV = 35 885,70
MIRR
MIRR = (35 885,70/20 000)1/4 − 1 = 15,74%
Risposta
MIRR = 15,74%
5.Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Risposta: c = 7,006 %
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Valore attuale del valore nominale
1000·(1 + 0,035)−8 = €759,41
Cedola
C = (1241 − 759,41)/6,874 = €70,06
Tasso cedolare
c = 70,06/1000 = 7,006%
Risposta
c = 7,006%
6.Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Risposta: YTM = 4,984 %
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Equazione del rendimento
€930 = €40·(1 − (1 + y)⁻⁹)/y + €1 000/(1 + y)⁹
Risolvi numericamente
P(4%) = €1 000,00, P(5%) = €928,92
YTM = 4,984%
Risposta
YTM = 4,984%
7.CAPM e WACC
Risposta: rm = 11 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Premio per il rischio di mercato
rm − rf = (13,8% − 4%)/1,4 = 7%
Rendimento di mercato
rm = 4% + 7% = 11%
Risposta
rm = 11%
8.CAPM e WACC
Risposta: WACC = 7,328 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Costi-volumi-risultati: ogni unità venduta porta un margine di contribuzione, prezzo meno costo variabile unitario. Utile = Q·(p − v) − F, dove F è il costo fisso. Al punto di pareggio l'utile è zero, quindi Q = F/(p − v).
Pareggio con un mix di vendita: quando i prodotti si vendono in un rapporto fisso, usa il margine di contribuzione medio ponderato: pondera il p − v di ogni prodotto con la sua quota di unità. Unità di pareggio = F/(margine di contribuzione ponderato), poi ripartite di nuovo secondo il rapporto del mix.