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1Formule e metodi
Valore temporale del denaro
Valore futuro
FV = PV·(1 + i)n
Valore attuale
PV = FV/(1 + i)n
Più periodi all’anno
i = r/m, N = m·n
Rendita, valore attuale
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Rendita, valore futuro
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Metodo
Disegna una linea temporale con ogni flusso di cassa e la sua scadenza.
Abbina il tasso al periodo: un tasso mensile per pagamenti mensili.
Usa FV = PV·(1 + i)ⁿ per importi singoli e le formule delle rendite per pagamenti costanti.
Controlla il segno e l’ordine di grandezza della risposta.
VAN e TIR
Valore attuale netto
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Flussi uguali
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Tasso interno di rendimento
il r per cui NPV = 0
Decisione
accetta se NPV > 0 (o IRR > rendimento richiesto)
Metodo
Elenca tutti i flussi di cassa con il loro anno; l’investimento all’anno 0 è negativo.
Sconta ogni flusso di cassa: CFt/(1 + r)t.
Sommali per ottenere il VAN. Positivo significa che il progetto rende più di r.
Per il TIR, trova per tentativi o per interpolazione il tasso che annulla il VAN.
Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Prezzo dell’obbligazione
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Cedole semestrali
C/2, y/2 e 2n periodi
Rendimento corrente
C/P
Prezzo e rendimento
rendimento su → prezzo giù
Metodo
Trova la cedola per periodo e il rendimento per periodo.
Prezzo = valore attuale delle cedole (una rendita) + valore attuale del valore nominale.
Per cedole semestrali usa metà cedola, metà rendimento e il doppio dei periodi.
Verifica: se il rendimento è superiore al tasso cedolare, il prezzo è inferiore al valore nominale.
CAPM e WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Valore dell’impresa
V = E + D
Analisi del punto di pareggio
Margine di contribuzione
CM = p − v
Quantità di pareggio
QBE = FC/(p − v)
Utile obiettivo
Q = (FC + profit)/(p − v)
Utile
π = (p − v)·Q − FC
Margine di sicurezza
(Q − QBE)/Q
2Esercizi
1.Valore temporale del denaroMedia
Una carta di credito applica un tasso nominale annuo del 15%, capitalizzato trimestralmente. Trova il tasso annuo effettivo EAR in percentuale.
r = 15%m = 4
EAR = %
2.Valore temporale del denaroDifficile
Vuoi avere €10 000 tra 13 anni. Risparmi la stessa somma alla fine di ogni mese su un conto che rende il 7,2% annuo, capitalizzato mensilmente. Trova il versamento mensile A.
FV = €10 0007,2% / 12N = 156
A = €
3.VAN e TIRMedia
Una macchina costa €20 000 oggi, dura 5 anni e costa €5 000 all’anno di esercizio (pagati alla fine di ogni anno). Il costo del capitale è il 8%. Trova il suo costo annuo equivalente EAC.
C0 = €20 000M = €5 000n = 5r = 8%
EAC = €
4.VAN e TIRDifficile
Un progetto costa €40 000 e restituisce €24 500, €30 000, €23 000 alla fine degli anni da 1 a 3. Trova il suo tasso interno di rendimento IRR in percentuale.
CF0 = −40 000CF1 = 24 500CF2 = 30 000CF3 = 23 000
IRR = %
5.Prezzo e rendimento delle obbligazioniMedia
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 paga una cedola annua del 7% in due rate semestrali e scade tra 5 anni. Il rendimento a scadenza è del 9% annuo. Trova il prezzo P dell’obbligazione.
F = €1 000cedola = 7%YTM = 9%n = 5
P = €
6.Prezzo e rendimento delle obbligazioniDifficile
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 e cedola annua del 8% scade tra 7 anni e quota €950. Trova il suo rendimento a scadenza YTM in percentuale.
F = €1 000cedola = 8%n = 7P = €950
YTM = %
7.CAPM e WACCMedia
Un’azienda ha capitale proprio per €4 000 000 e debito per €1 000 000. Il suo WACC è del 11,94%, il costo del debito al lordo delle imposte è del 5% e l’aliquota fiscale è del 25,8%. Trova il costo del capitale proprio re.
Un’azienda ha 2 000 000 azioni da €26,00 ciascuna e 20 000 obbligazioni quotate €1 050 ciascuna. Il costo del debito al lordo delle imposte è del 7% e l’aliquota fiscale è del 25%. Il beta dell’azione è 1,1, il tasso privo di rischio è del 1,5% e il rendimento di mercato è del 7%. Trova il WACC.
β = 1,1rf = 1,5%rm = 7%rd = 7%T = 25%
WACC = %
9.Analisi del punto di pareggioMedia
Un prodotto si vende a €7 l'unità con un costo variabile di €4 per unità. I costi fissi sono €12 000 al mese. Quante unità Q vanno vendute al mese per ottenere un utile di €6 000?
F = €12 000p = €7v = €4utile = €6 000
Q = unità
10.Analisi del punto di pareggioDifficile
Un’azienda vende 1 500 unità al mese a €27 l’una, con un costo variabile di €12 per unità e costi fissi di €15 000 al mese. Il costo variabile aumenta di €5 per unità e il prezzo resta invariato. Quante unità Q si devono ora vendere al mese per mantenere lo stesso utile?
Q = 1 500p = €27v = €12 → €17F = €15 000
Q = unità
3Soluzioni
1.Valore temporale del denaro
Risposta: EAR = 15,87 %
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Tasso per periodo
r/m = 0,15/4 = 0,0375
Capitalizza su un anno
EAR = (1 + 0,0375)4 − 1 = 1,159 − 1 = 15,87%
Risposta
EAR = 15,87%
Il tasso annuo effettivo è sempre superiore al tasso nominale quando gli interessi vengono capitalizzati più di una volta all’anno.
2.Valore temporale del denaro
Risposta: A = 38,89 €
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Costo annuo equivalente: distribuisci il valore attuale di tutti i costi sulla vita utile come un importo annuo costante (una rendita): EAC = PV·r/(1 − (1 + r)⁻ⁿ). Permette di confrontare macchine con vite diverse.
Fattore di rendita
(1 − 1,08−5)/0,08 = 3,993
Prezzo d’acquisto annualizzato
20 000/3,993 = 5 009,13
EAC
EAC = 5 009,13 + 5 000 = €10 009,13
Risposta
EAC = €10 009,13
4.VAN e TIR
Risposta: IRR = 42,33 %
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Delimitare il TIR
Il VAN scende quando il tasso sale, quindi il TIR sta tra un tasso con VAN positivo e uno con VAN negativo.
NPV(40%) = 1 188,05
NPV(45%) = −1 290,34
Restringere
L'interpolazione lineare dà una prima stima; ripeterla (o usare la funzione TIR di una calcolatrice) dà il tasso esatto.
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Per periodo
C = €35,00, i = 0,045, N = 10
Valore attuale delle cedole
€35,00·(1 − 0,6439)/0,045 = €276,95
Valore attuale del valore nominale
€1 000·0,6439 = €643,93
Prezzo
P = €920,87
Risposta
P = €920,87
Il rendimento è superiore al tasso cedolare, quindi l’obbligazione quota sotto la pari (a sconto).
6.Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Risposta: YTM = 8,993 %
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Equazione del rendimento
€950 = €80·(1 − (1 + y)⁻⁷)/y + €1 000/(1 + y)⁷
Risolvi numericamente
P(8%) = €1 000,00, P(9%) = €949,67
YTM = 8,993%
Risposta
YTM = 8,993%
7.CAPM e WACC
Risposta: re = 14 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Pesi
V = €5 000 000, E/V = 0,8, D/V = 0,2
Parte del debito nel WACC
0,2·5%·(1 − 0,258) = 0,742%
Costo del capitale proprio
re = (11,94% − 0,742%)/0,8 = 14%
Risposta
re = 14%
8.CAPM e WACC
Risposta: WACC = 6,888 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Costi-volumi-risultati: ogni unità venduta porta un margine di contribuzione, prezzo meno costo variabile unitario. Utile = Q·(p − v) − F, dove F è il costo fisso. Al punto di pareggio l'utile è zero, quindi Q = F/(p − v).
Costi-volumi-risultati: ogni unità venduta porta un margine di contribuzione, prezzo meno costo variabile unitario. Utile = Q·(p − v) − F, dove F è il costo fisso. Al punto di pareggio l'utile è zero, quindi Q = F/(p − v).