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1Formule e metodi
Valore temporale del denaro
Valore futuro
FV = PV·(1 + i)n
Valore attuale
PV = FV/(1 + i)n
Più periodi all’anno
i = r/m, N = m·n
Rendita, valore attuale
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Rendita, valore futuro
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Metodo
Disegna una linea temporale con ogni flusso di cassa e la sua scadenza.
Abbina il tasso al periodo: un tasso mensile per pagamenti mensili.
Usa FV = PV·(1 + i)ⁿ per importi singoli e le formule delle rendite per pagamenti costanti.
Controlla il segno e l’ordine di grandezza della risposta.
VAN e TIR
Valore attuale netto
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Flussi uguali
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Tasso interno di rendimento
il r per cui NPV = 0
Decisione
accetta se NPV > 0 (o IRR > rendimento richiesto)
Metodo
Elenca tutti i flussi di cassa con il loro anno; l’investimento all’anno 0 è negativo.
Sconta ogni flusso di cassa: CFt/(1 + r)t.
Sommali per ottenere il VAN. Positivo significa che il progetto rende più di r.
Per il TIR, trova per tentativi o per interpolazione il tasso che annulla il VAN.
Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Prezzo dell’obbligazione
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Cedole semestrali
C/2, y/2 e 2n periodi
Rendimento corrente
C/P
Prezzo e rendimento
rendimento su → prezzo giù
Metodo
Trova la cedola per periodo e il rendimento per periodo.
Prezzo = valore attuale delle cedole (una rendita) + valore attuale del valore nominale.
Per cedole semestrali usa metà cedola, metà rendimento e il doppio dei periodi.
Verifica: se il rendimento è superiore al tasso cedolare, il prezzo è inferiore al valore nominale.
CAPM e WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Valore dell’impresa
V = E + D
Analisi del punto di pareggio
Margine di contribuzione
CM = p − v
Quantità di pareggio
QBE = FC/(p − v)
Utile obiettivo
Q = (FC + profit)/(p − v)
Utile
π = (p − v)·Q − FC
Margine di sicurezza
(Q − QBE)/Q
2Esercizi
1.Valore temporale del denaroMedia
Ti servono €5 000 tra 7 anni. Un conto rende il 2 % annuo, capitalizzato trimestralmente. Quanto devi versare oggi? Trova il valore attuale PV.
FV = €5 0002% / 4n = 7
PV = €
2.Valore temporale del denaroDifficile
Versi €1 000 all’inizio di ogni anno per 11 anni, con il primo versamento oggi. Il conto rende il 7% annuo. Quanto c’è sul conto alla fine dell’anno 11? Trova FV.
A = €1 000i = 7%n = 11
FV = €
3.VAN e TIRMedia
Un progetto costa €50 000 oggi e rende €22 000, €13 500, €13 000, €16 500, €22 000, €22 000 alla fine degli anni da 1 a 6. Il costo del capitale è il 5%. Supponi che i flussi di cassa arrivino in modo uniforme durante ogni anno. Trova il periodo di recupero attualizzato DPB in anni.
Un investimento di €50 000 rende €6 500 alla fine di ogni anno per 9 anni. Trova il suo tasso interno di rendimento IRR in percentuale.
C0 = €50 000CF = €6 500n = 9
IRR = %
5.Prezzo e rendimento delle obbligazioniMedia
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 scade tra 10 anni e paga cedole annuali. Viene venduta a €743 quando il rendimento a scadenza è del 9%. Trova il tasso cedolare c in percentuale.
F = €1 000n = 10P = €743YTM = 9%
c = %
6.Prezzo e rendimento delle obbligazioniDifficile
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 paga una cedola annua del 2% in due rate semestrali e scade tra 10 anni. Viene venduta a €592. Trova il suo rendimento a scadenza YTM come tasso annuo (il doppio del rendimento semestrale), in percentuale.
F = €1 000cedola = 2% (2×)n = 10P = €592
YTM = %
7.CAPM e WACCMedia
Un’azienda è finanziata con azioni ordinarie per €10 000 000, azioni privilegiate per €1 500 000 e debito per €5 000 000. Il costo del capitale proprio è del 13%, il costo delle azioni privilegiate del 7,5% e il costo del debito al lordo delle imposte del 4,5%. L’aliquota fiscale è del 25,8%. Trova il WACC.
Un’azienda ha 1 000 000 azioni da €37,00 ciascuna e 40 000 obbligazioni quotate €1 000 ciascuna. Il costo del debito al lordo delle imposte è del 7% e l’aliquota fiscale è del 21%. Il beta dell’azione è 1,8, il tasso privo di rischio è del 3% e il rendimento di mercato è del 8,5%. Trova il WACC.
β = 1,8rf = 3%rm = 8,5%rd = 7%T = 21%
WACC = %
9.Analisi del punto di pareggioMedia
Un prodotto si vende a €17 con un costo variabile di €12 per unità. I costi fissi sono €4 000 al mese e l’utile è tassato al 20%. Quante unità Q si devono vendere al mese per guadagnare €1 000 al netto delle imposte?
p = €17v = €12F = €4 000T = 20%utile al netto delle imposte = €1 000
Q = unità
10.Analisi del punto di pareggioDifficile
Un’azienda vende 4 000 unità a €24 l’una, con un costo variabile di €12 per unità e costi fissi di €30 000. Di quale percentuale %ΔΠ varia l’utile operativo se il volume delle vendite aumenta del 5%?
Q = 4 000p = €24v = €12F = €30 000%ΔQ = +5%
%ΔΠ = %
3Soluzioni
1.Valore temporale del denaro
Risposta: PV = 4348 €
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Tasso e numero di periodi
i = 0,02/4 = 0,005
N = 4·7 = 28
Valore attuale
PV = FV/(1 + i)N = 5 000/1,15 = €4 348,31
Risposta
PV = €4 348,31
2.Valore temporale del denaro
Risposta: FV = 16888 €
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Fattore della rendita posticipata
((1 + 0,07)11 − 1)/0,07 = 15,78
Rendita anticipata
Ogni versamento resta investito un anno in più.
FV = 1 000·15,78·1,07 = €16 888,45
Risposta
FV = €16 888,45
3.VAN e TIR
Risposta: DPB = 3,411 anni
Periodo di recupero (payback): il tempo necessario perché i flussi di cassa cumulati ripaghino l’investimento iniziale. Si assume che la liquidità entri in modo uniforme durante ogni anno, quindi l’ultima parte è una frazione d’anno. Il payback semplice ignora il valore temporale del denaro; il payback attualizzato usa invece i flussi di cassa attualizzati.
Flussi di cassa attualizzati e cumulati
anno 1: 22 000/1,05 = 20 952,38 → Σ = 20 952,38
anno 2: 13 500/1,103 = 12 244,90 → Σ = 33 197,28
anno 3: 13 000/1,158 = 11 229,89 → Σ = 44 427,17
anno 4: 16 500/1,216 = 13 574,59 → Σ = 58 001,76
Frazione dell’ultimo anno
DPB = 3 + 5 572,83/13 574,59 = 3,411
Risposta
DPB = 3,411 anni
Il payback attualizzato è sempre più lungo del payback semplice (3,091 anni).
4.VAN e TIR
Risposta: IRR = 3,261 %
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Fattore di rendita richiesto
(1 − (1 + i)−9)/i = 50 000/6 500 = 7,692
Ricava il tasso
Il fattore di rendita diminuisce al crescere del tasso; individua un intervallo per il tasso e restringilo.
i = 3%: 7,786
i = 4%: 7,435
IRR = 3,261%
Risposta
IRR = 3,261%
5.Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Risposta: c = 4,995 %
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Valore attuale del valore nominale
1000·(1 + 0,09)−10 = €422,41
Cedola
C = (743 − 422,41)/6,418 = €49,95
Tasso cedolare
c = 49,95/1000 = 4,995%
Risposta
c = 4,995%
6.Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Risposta: YTM = 8,006 %
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Per periodo
C = €10,00, N = 20
Risolvi numericamente
i = 4,003% per semestre
YTM
YTM = 2·4,003% = 8,006%
Risposta
YTM = 8,006%
7.CAPM e WACC
Risposta: WACC = 9,572 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Costi-volumi-risultati: ogni unità venduta porta un margine di contribuzione, prezzo meno costo variabile unitario. Utile = Q·(p − v) − F, dove F è il costo fisso. Al punto di pareggio l'utile è zero, quindi Q = F/(p − v).
Utile al lordo delle imposte necessario
1 000/(1 − 0,2) = €1 250
Unità necessarie
Q = (4 000 + 1 250)/5 = 1 050
Risposta
Q = 1 050 unità
10.Analisi del punto di pareggio
Risposta: %ΔΠ = 13,33 %
Leva operativa: i costi fissi fanno reagire l’utile più intensamente delle vendite. Il grado di leva operativa DOL = margine di contribuzione/utile operativo indica che una variazione dell’1% delle vendite fa variare l’utile del DOL %. È molto alto appena sopra il pareggio e diminuisce al crescere delle vendite.