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1Formule e metodi
Valore temporale del denaro
Valore futuro
FV = PV·(1 + i)n
Valore attuale
PV = FV/(1 + i)n
Più periodi all’anno
i = r/m, N = m·n
Rendita, valore attuale
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Rendita, valore futuro
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Metodo
Disegna una linea temporale con ogni flusso di cassa e la sua scadenza.
Abbina il tasso al periodo: un tasso mensile per pagamenti mensili.
Usa FV = PV·(1 + i)ⁿ per importi singoli e le formule delle rendite per pagamenti costanti.
Controlla il segno e l’ordine di grandezza della risposta.
VAN e TIR
Valore attuale netto
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Flussi uguali
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Tasso interno di rendimento
il r per cui NPV = 0
Decisione
accetta se NPV > 0 (o IRR > rendimento richiesto)
Metodo
Elenca tutti i flussi di cassa con il loro anno; l’investimento all’anno 0 è negativo.
Sconta ogni flusso di cassa: CFt/(1 + r)t.
Sommali per ottenere il VAN. Positivo significa che il progetto rende più di r.
Per il TIR, trova per tentativi o per interpolazione il tasso che annulla il VAN.
Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Prezzo dell’obbligazione
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Cedole semestrali
C/2, y/2 e 2n periodi
Rendimento corrente
C/P
Prezzo e rendimento
rendimento su → prezzo giù
Metodo
Trova la cedola per periodo e il rendimento per periodo.
Prezzo = valore attuale delle cedole (una rendita) + valore attuale del valore nominale.
Per cedole semestrali usa metà cedola, metà rendimento e il doppio dei periodi.
Verifica: se il rendimento è superiore al tasso cedolare, il prezzo è inferiore al valore nominale.
CAPM e WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Valore dell’impresa
V = E + D
Analisi del punto di pareggio
Margine di contribuzione
CM = p − v
Quantità di pareggio
QBE = FC/(p − v)
Utile obiettivo
Q = (FC + profit)/(p − v)
Utile
π = (p − v)·Q − FC
Margine di sicurezza
(Q − QBE)/Q
2Esercizi
1.Valore temporale del denaroMedia
Una carta di credito applica un tasso nominale annuo del 20%, capitalizzato trimestralmente. Trova il tasso annuo effettivo EAR in percentuale.
r = 20%m = 4
EAR = %
2.Valore temporale del denaroDifficile
Un prestito di €200 000 viene rimborsato con rate mensili costanti in 25 anni. Il tasso d'interesse è del 6 % annuo, capitalizzato mensilmente. Trova la rata mensile A.
P = €200 0006% / 12N = 300
A = €
3.VAN e TIRMedia
Un progetto costa €400 000 oggi. Genera €22 000 alla fine del primo anno, e il flusso di cassa cresce poi del 4% annuo per sempre. Il costo del capitale è il 11%. Trova il valore attuale netto NPV.
C0 = €400 000CF1 = €22 000g = 4%r = 11%
NPV = €
4.VAN e TIRDifficile
Un progetto costa €20 000 e rende €8 500, €10 500, €6 500, €8 500 alla fine degli anni da 1 a 4. I flussi di cassa possono essere reinvestiti al costo del capitale del 6%. Trova il tasso interno di rendimento modificato MIRR in percentuale.
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 paga una cedola annua del 8% in due rate semestrali e scade tra 6 anni. Il rendimento a scadenza è del 5,5% annuo. Trova il prezzo P dell’obbligazione.
F = €1 000cedola = 8%YTM = 5,5%n = 6
P = €
6.Prezzo e rendimento delle obbligazioniDifficile
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 paga una cedola annua di 8% e scade tra 4 anni. Il rendimento a scadenza è del 5,5%. Trova la duration di Macaulay D in anni.
F = €1 000cedola = 8%n = 4YTM = 5,5%
D = anni
7.CAPM e WACCMedia
Un’azienda ha capitale proprio per €6 000 000 e debito per €5 000 000. Il costo del capitale proprio è del 10%, il costo del debito al lordo delle imposte è del 7% e l’aliquota fiscale è del 21%. Trova il WACC.
Un’azienda ha capitale proprio con un valore di mercato di €10 000 000 e un costo del capitale proprio del 13%. Il suo debito è costituito da 2 000 obbligazioni (valore nominale €1 000, cedola annua 7%, 11 anni alla scadenza) quotate €1 038 ciascuna. L’aliquota fiscale è del 30%. Trova il WACC, usando il rendimento a scadenza delle obbligazioni come costo del debito al lordo delle imposte.
Un prodotto si vende a €28 l'unità con un costo variabile di €20 per unità. I costi fissi sono €40 000 al mese. Quante unità Q vanno vendute al mese per ottenere un utile di €12 000?
F = €40 000p = €28v = €20utile = €12 000
Q = unità
10.Analisi del punto di pareggioDifficile
Un’azienda vende 1 250 unità a €21 l’una, con un costo variabile di €18 per unità e costi fissi di €3 000. Di quale percentuale %ΔΠ varia l’utile operativo se il volume delle vendite aumenta del 8%?
Q = 1 250p = €21v = €18F = €3 000%ΔQ = +8%
%ΔΠ = %
3Soluzioni
1.Valore temporale del denaro
Risposta: EAR = 21,55 %
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Tasso per periodo
r/m = 0,2/4 = 0,05
Capitalizza su un anno
EAR = (1 + 0,05)4 − 1 = 1,216 − 1 = 21,55%
Risposta
EAR = 21,55%
Il tasso annuo effettivo è sempre superiore al tasso nominale quando gli interessi vengono capitalizzati più di una volta all’anno.
2.Valore temporale del denaro
Risposta: A = 1289 €
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Tasso mensile e numero di rate
i = 0,06/12 = 0,005
N = 12·25 = 300
Rata
Il valore attuale di N pagamenti uguali A è A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Ponilo uguale al prestito e ricava A.
(1 + i)−N = 0,224
A = 200 000·0,005/(1 − 0,224) = €1 288,60
Risposta
A = €1 288,60
3.VAN e TIR
Risposta: NPV = −85714 €
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Valore dei flussi di cassa
PV = 22 000/(0,11 − 0,04) = 314 285,71
NPV
NPV = 314 285,71 − 400 000 = −€85 714,29
Risposta
NPV = −€85 714,29
Il VAN è negativo, quindi il progetto rende meno del rendimento richiesto.
4.VAN e TIR
Risposta: MIRR = 16,87 %
TIR modificato: capitalizza ogni entrata fino alla fine del progetto al tasso di reinvestimento (di solito il costo del capitale) per ottenere il valore finale TV. Il MIRR è il tasso che trasforma l’investimento iniziale in TV: MIRR = (TV/C₀)^(1/n) − 1.
Valore finale delle entrate
8 500·1,063 = 10 123,64
10 500·1,062 = 11 797,80
6 500·1,061 = 6 890,00
8 500·1,060 = 8 500,00
TV = 37 311,44
MIRR
MIRR = (37 311,44/20 000)1/4 − 1 = 16,87%
Risposta
MIRR = 16,87%
5.Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Risposta: P = 1126 €
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Per periodo
C = €40,00, i = 0,0275, N = 12
Valore attuale delle cedole
€40,00·(1 − 0,7221)/0,0275 = €404,17
Valore attuale del valore nominale
€1 000·0,7221 = €722,13
Prezzo
P = €1 126,30
Risposta
P = €1 126,30
Il rendimento è inferiore al tasso cedolare, quindi l’obbligazione quota sopra la pari (a premio).
6.Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Risposta: D = 3,596 anni
Duration: la duration di Macaulay è il tempo medio ponderato in cui un’obbligazione paga i suoi flussi di cassa, con i valori attuali dei flussi come pesi: D = Σ t·PVₜ/P. La duration modificata D/(1 + y) stima la variazione percentuale del prezzo per una piccola variazione del rendimento: %ΔP ≈ −Dmod·Δy.
Valore attuale di ogni flusso
t = 1: 80/1,055 = 75,83, t·PV = 75,83
t = 2: 80/1,113 = 71,88, t·PV = 143,75
t = 3: 80/1,174 = 68,13, t·PV = 204,39
t = 4: 1080/1,239 = 871,79, t·PV = 3 487,18
Duration
P = 1 087,63
D = 3 911,15/1 087,63 = 3,596
Risposta
D = 3,596 anni
7.CAPM e WACC
Risposta: WACC = 7,968 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Pesi
V = €11 000 000, E/V = 0,5455, D/V = 0,4545
WACC
WACC = 0,5455·10% + 0,4545·7%·(1 − 0,21) = 7,968%
Risposta
WACC = 7,968%
8.CAPM e WACC
Risposta: WACC = 11,55 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Costi-volumi-risultati: ogni unità venduta porta un margine di contribuzione, prezzo meno costo variabile unitario. Utile = Q·(p − v) − F, dove F è il costo fisso. Al punto di pareggio l'utile è zero, quindi Q = F/(p − v).
Leva operativa: i costi fissi fanno reagire l’utile più intensamente delle vendite. Il grado di leva operativa DOL = margine di contribuzione/utile operativo indica che una variazione dell’1% delle vendite fa variare l’utile del DOL %. È molto alto appena sopra il pareggio e diminuisce al crescere delle vendite.