Nella finestra di stampa scegli “Salva come PDF” per conservarne una copia sul tuo dispositivo.
1Formule e metodi
Valore temporale del denaro
Valore futuro
FV = PV·(1 + i)n
Valore attuale
PV = FV/(1 + i)n
Più periodi all’anno
i = r/m, N = m·n
Rendita, valore attuale
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Rendita, valore futuro
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Metodo
Disegna una linea temporale con ogni flusso di cassa e la sua scadenza.
Abbina il tasso al periodo: un tasso mensile per pagamenti mensili.
Usa FV = PV·(1 + i)ⁿ per importi singoli e le formule delle rendite per pagamenti costanti.
Controlla il segno e l’ordine di grandezza della risposta.
VAN e TIR
Valore attuale netto
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Flussi uguali
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Tasso interno di rendimento
il r per cui NPV = 0
Decisione
accetta se NPV > 0 (o IRR > rendimento richiesto)
Metodo
Elenca tutti i flussi di cassa con il loro anno; l’investimento all’anno 0 è negativo.
Sconta ogni flusso di cassa: CFt/(1 + r)t.
Sommali per ottenere il VAN. Positivo significa che il progetto rende più di r.
Per il TIR, trova per tentativi o per interpolazione il tasso che annulla il VAN.
Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Prezzo dell’obbligazione
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Cedole semestrali
C/2, y/2 e 2n periodi
Rendimento corrente
C/P
Prezzo e rendimento
rendimento su → prezzo giù
Metodo
Trova la cedola per periodo e il rendimento per periodo.
Prezzo = valore attuale delle cedole (una rendita) + valore attuale del valore nominale.
Per cedole semestrali usa metà cedola, metà rendimento e il doppio dei periodi.
Verifica: se il rendimento è superiore al tasso cedolare, il prezzo è inferiore al valore nominale.
CAPM e WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Valore dell’impresa
V = E + D
Analisi del punto di pareggio
Margine di contribuzione
CM = p − v
Quantità di pareggio
QBE = FC/(p − v)
Utile obiettivo
Q = (FC + profit)/(p − v)
Utile
π = (p − v)·Q − FC
Margine di sicurezza
(Q − QBE)/Q
2Esercizi
1.Valore temporale del denaroMedia
Ti servono €20 000 tra 2 anni. Un conto rende il 4 % annuo, capitalizzato mensilmente. Quanto devi versare oggi? Trova il valore attuale PV.
FV = €20 0004% / 12n = 2
PV = €
2.Valore temporale del denaroDifficile
Vuoi avere €30 000 tra 8 anni. Risparmi la stessa somma alla fine di ogni mese su un conto che rende il 2,4% annuo, capitalizzato mensilmente. Trova il versamento mensile A.
FV = €30 0002,4% / 12N = 96
A = €
3.VAN e TIRMedia
Un progetto costa €60 000 oggi e rende €19 500 alla fine di ogni anno per 5 anni. Il costo del capitale è il 12%. Supponi che i flussi di cassa arrivino in modo uniforme durante ogni anno. Trova il periodo di recupero attualizzato DPB in anni.
Un investimento di €50 000 rende €9 500 alla fine di ogni anno per 8 anni. Trova il suo tasso interno di rendimento IRR in percentuale.
C0 = €50 000CF = €9 500n = 8
IRR = %
5.Prezzo e rendimento delle obbligazioniMedia
Acquisti un’obbligazione con 7 anni alla scadenza (valore nominale €1 000, cedola annua 2%) quando il suo rendimento a scadenza è del 3,5%. Un anno dopo, subito dopo aver incassato la prima cedola, la vendi quando il rendimento a scadenza è del 5%. Trova il tuo rendimento del periodo di detenzione HPR in percentuale.
F = €1 000cedola = 2%n = 7y0 = 3,5%y1 = 5%
HPR = %
6.Prezzo e rendimento delle obbligazioniDifficile
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 e cedola annua del 4% scade tra 4 anni e quota €915. Trova il suo rendimento a scadenza YTM in percentuale.
F = €1 000cedola = 4%n = 4P = €915
YTM = %
7.CAPM e WACCMedia
Un’azienda ha capitale proprio per €3 000 000 e debito per €5 000 000. Il costo del capitale proprio è del 12%, il costo del debito al lordo delle imposte è del 4% e l’aliquota fiscale è del 25%. Trova il WACC.
Le azioni di un’azienda hanno un beta di 1,3 con l’attuale rapporto debito/capitale proprio di 0,4. L’azienda prevede di portare il rapporto debito/capitale proprio a 1,25. L’aliquota fiscale è del 25%, il tasso privo di rischio del 2,5% e il premio per il rischio di mercato del 5,5%. Trova il costo del capitale proprio re dopo la modifica.
Un prodotto può essere fabbricato in due modi. Il metodo A ha costi fissi di €30 000 all’anno e un costo variabile di €20 per unità. Il metodo B, più automatizzato, ha costi fissi di €42 000 all’anno e un costo variabile di €14 per unità. A quale volume annuo Q i due metodi costano uguale?
FA = €30 000vA = €20FB = €42 000vB = €14
Q = unità
10.Analisi del punto di pareggioDifficile
Un’azienda vende 3 130 unità al mese a €36 l’una, con un costo variabile di €30 per unità e costi fissi di €15 000 al mese. Il costo variabile aumenta di €2 per unità e il prezzo resta invariato. Quante unità Q si devono ora vendere al mese per mantenere lo stesso utile?
Q = 3 130p = €36v = €30 → €32F = €15 000
Q = unità
3Soluzioni
1.Valore temporale del denaro
Risposta: PV = 18465 €
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Tasso e numero di periodi
i = 0,04/12 = 0,003333
N = 12·2 = 24
Valore attuale
PV = FV/(1 + i)N = 20 000/1,083 = €18 464,78
Risposta
PV = €18 464,78
2.Valore temporale del denaro
Risposta: A = 283,8 €
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Periodo di recupero (payback): il tempo necessario perché i flussi di cassa cumulati ripaghino l’investimento iniziale. Si assume che la liquidità entri in modo uniforme durante ogni anno, quindi l’ultima parte è una frazione d’anno. Il payback semplice ignora il valore temporale del denaro; il payback attualizzato usa invece i flussi di cassa attualizzati.
Flussi di cassa attualizzati e cumulati
anno 1: 19 500/1,12 = 17 410,71 → Σ = 17 410,71
anno 2: 19 500/1,254 = 15 545,28 → Σ = 32 955,99
anno 3: 19 500/1,405 = 13 879,71 → Σ = 46 835,71
anno 4: 19 500/1,574 = 12 392,60 → Σ = 59 228,31
anno 5: 19 500/1,762 = 11 064,82 → Σ = 70 293,14
Frazione dell’ultimo anno
DPB = 4 + 771,69/11 064,82 = 4,07
Risposta
DPB = 4,07 anni
Il payback attualizzato è sempre più lungo del payback semplice (3,077 anni).
4.VAN e TIR
Risposta: IRR = 10,37 %
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Fattore di rendita richiesto
(1 − (1 + i)−8)/i = 50 000/9 500 = 5,263
Ricava il tasso
Il fattore di rendita diminuisce al crescere del tasso; individua un intervallo per il tasso e restringilo.
i = 10%: 5,335
i = 11%: 5,146
IRR = 10,37%
Risposta
IRR = 10,37%
5.Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Risposta: HPR = −4,465 %
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Equazione del rendimento
€915 = €40·(1 − (1 + y)⁻⁴)/y + €1 000/(1 + y)⁴
Risolvi numericamente
P(6%) = €930,70, P(7%) = €898,38
YTM = 6,48%
Risposta
YTM = 6,48%
7.CAPM e WACC
Risposta: WACC = 6,375 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Pesi
V = €8 000 000, E/V = 0,375, D/V = 0,625
WACC
WACC = 0,375·12% + 0,625·4%·(1 − 0,25) = 6,375%
Risposta
WACC = 6,375%
8.CAPM e WACC
Risposta: re = 13,16 %
Beta levered (Hamada): il debito rende il capitale proprio più rischioso. βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E), dove βU è il beta dell’attività senza debito. Per trasferire un beta a un’altra struttura del capitale, prima rendilo unlevered e poi ricalcolalo levered al nuovo D/E.
Rendi il beta unlevered
βU = 1,3/(1 + 0,75·0,4) = 1
Ricalcola il beta levered al nuovo D/E
βL = 1·(1 + 0,75·1,25) = 1,938
Costo del capitale proprio (CAPM)
re = 2,5% + 1,938·5,5% = 13,16%
Risposta
re = 13,16%
9.Analisi del punto di pareggio
Risposta: Q = 2000 unità
Costi-volumi-risultati: ogni unità venduta porta un margine di contribuzione, prezzo meno costo variabile unitario. Utile = Q·(p − v) − F, dove F è il costo fisso. Al punto di pareggio l'utile è zero, quindi Q = F/(p − v).
Costi totali uguali
30 000 + 20Q = 42 000 + 14Q
Ricava Q
Q = (42 000 − 30 000)/(20 − 14) = 2 000
Risposta
Q = 2 000 unità
Al di sotto di questo volume è più economico il metodo A; al di sopra è più economico il metodo automatizzato B.
10.Analisi del punto di pareggio
Risposta: Q = 4695 unità
Costi-volumi-risultati: ogni unità venduta porta un margine di contribuzione, prezzo meno costo variabile unitario. Utile = Q·(p − v) − F, dove F è il costo fisso. Al punto di pareggio l'utile è zero, quindi Q = F/(p − v).