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1Formule e metodi
Valore temporale del denaro
Valore futuro
FV = PV·(1 + i)n
Valore attuale
PV = FV/(1 + i)n
Più periodi all’anno
i = r/m, N = m·n
Rendita, valore attuale
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Rendita, valore futuro
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Metodo
Disegna una linea temporale con ogni flusso di cassa e la sua scadenza.
Abbina il tasso al periodo: un tasso mensile per pagamenti mensili.
Usa FV = PV·(1 + i)ⁿ per importi singoli e le formule delle rendite per pagamenti costanti.
Controlla il segno e l’ordine di grandezza della risposta.
VAN e TIR
Valore attuale netto
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Flussi uguali
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Tasso interno di rendimento
il r per cui NPV = 0
Decisione
accetta se NPV > 0 (o IRR > rendimento richiesto)
Metodo
Elenca tutti i flussi di cassa con il loro anno; l’investimento all’anno 0 è negativo.
Sconta ogni flusso di cassa: CFt/(1 + r)t.
Sommali per ottenere il VAN. Positivo significa che il progetto rende più di r.
Per il TIR, trova per tentativi o per interpolazione il tasso che annulla il VAN.
Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Prezzo dell’obbligazione
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Cedole semestrali
C/2, y/2 e 2n periodi
Rendimento corrente
C/P
Prezzo e rendimento
rendimento su → prezzo giù
Metodo
Trova la cedola per periodo e il rendimento per periodo.
Prezzo = valore attuale delle cedole (una rendita) + valore attuale del valore nominale.
Per cedole semestrali usa metà cedola, metà rendimento e il doppio dei periodi.
Verifica: se il rendimento è superiore al tasso cedolare, il prezzo è inferiore al valore nominale.
CAPM e WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Valore dell’impresa
V = E + D
Analisi del punto di pareggio
Margine di contribuzione
CM = p − v
Quantità di pareggio
QBE = FC/(p − v)
Utile obiettivo
Q = (FC + profit)/(p − v)
Utile
π = (p − v)·Q − FC
Margine di sicurezza
(Q − QBE)/Q
2Esercizi
1.Valore temporale del denaroMedia
Investi €20 000 a un tasso nominale del 4 % annuo, capitalizzato trimestralmente. Trova il valore FV dell'investimento dopo 4 anni.
PV = €20 0004% / 4n = 4
FV = €
2.Valore temporale del denaroDifficile
Risparmi €150 alla fine di ogni mese per 17 anni. Il conto rende il 5,4 % annuo, capitalizzato mensilmente. Quanto hai risparmiato alla fine? Trova FV.
A = €1505,4% / 12N = 204
FV = €
3.VAN e TIRMedia
Un investimento di €30 000 genera questi flussi alla fine degli anni da 1 a 4: €14 000, €8 000, €13 000, €8 000. Il costo del capitale è del 5 %. Trova il valore attuale netto NPV.
Un progetto costa €50 000 e restituisce €23 000, €36 500 alla fine degli anni da 1 a 2. Trova il suo tasso interno di rendimento IRR in percentuale.
CF0 = −50 000CF1 = 23 000CF2 = 36 500
IRR = %
5.Prezzo e rendimento delle obbligazioniMedia
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 paga una cedola annua del 4% in due rate semestrali e scade tra 6 anni. Il rendimento a scadenza è del 6% annuo. Trova il prezzo P dell’obbligazione.
F = €1 000cedola = 4%YTM = 6%n = 6
P = €
6.Prezzo e rendimento delle obbligazioniDifficile
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 e cedola annua del 3% scade tra 7 anni e quota €940. Trova il suo rendimento a scadenza YTM in percentuale.
F = €1 000cedola = 3%n = 7P = €940
YTM = %
7.CAPM e WACCMedia
Un’azienda ha un rapporto debito/capitale proprio (a valori di mercato) di 0,4. Il suo costo del capitale proprio è del 9%, il costo del debito al lordo delle imposte è del 5% e l’aliquota fiscale è del 30%. Trova il WACC.
D/E = 0,4re = 9%rd = 5%T = 30%
WACC = %
8.CAPM e WACCDifficile
Un’azienda ha capitale proprio con un valore di mercato di €6 000 000 e un costo del capitale proprio del 10%. Il suo debito è costituito da 2 000 obbligazioni (valore nominale €1 000, cedola annua 4%, 7 anni alla scadenza) quotate €1 062 ciascuna. L’aliquota fiscale è del 20%. Trova il WACC, usando il rendimento a scadenza delle obbligazioni come costo del debito al lordo delle imposte.
Un prodotto si vende a €33 l'unità con un costo variabile di €18 per unità. I costi fissi sono €15 000 al mese. Quante unità Q vanno vendute al mese per ottenere un utile di €6 000?
F = €15 000p = €33v = €18utile = €6 000
Q = unità
10.Analisi del punto di pareggioDifficile
Un’azienda vende 1 500 unità a €47 l’una, con un costo variabile di €45 per unità e costi fissi di €2 400. Di quale percentuale %ΔΠ varia l’utile operativo se il volume delle vendite aumenta del 12%?
Q = 1 500p = €47v = €45F = €2 400%ΔQ = +12%
%ΔΠ = %
3Soluzioni
1.Valore temporale del denaro
Risposta: FV = 23452 €
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Valore attuale di ogni flusso
CF0 = −30 000
CF1/(1 + 0,05)1 = 14 000/1,05 = 13 333,33
CF2/(1 + 0,05)2 = 8 000/1,103 = 7 256,24
CF3/(1 + 0,05)3 = 13 000/1,158 = 11 229,89
CF4/(1 + 0,05)4 = 8 000/1,216 = 6 581,62
Sommali
NPV = €8 401,08
Risposta
NPV = €8 401,08
Il VAN è positivo, quindi il progetto rende più del rendimento richiesto.
4.VAN e TIR
Risposta: IRR = 11,48 %
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Delimitare il TIR
Il VAN scende quando il tasso sale, quindi il TIR sta tra un tasso con VAN positivo e uno con VAN negativo.
NPV(10%) = 1 074,38
NPV(15%) = −2 400,76
Restringere
L'interpolazione lineare dà una prima stima; ripeterla (o usare la funzione TIR di una calcolatrice) dà il tasso esatto.
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Per periodo
C = €20,00, i = 0,03, N = 12
Valore attuale delle cedole
€20,00·(1 − 0,7014)/0,03 = €199,08
Valore attuale del valore nominale
€1 000·0,7014 = €701,38
Prezzo
P = €900,46
Risposta
P = €900,46
Il rendimento è superiore al tasso cedolare, quindi l’obbligazione quota sotto la pari (a sconto).
6.Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Risposta: YTM = 4 %
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Equazione del rendimento
€940 = €30·(1 − (1 + y)⁻⁷)/y + €1 000/(1 + y)⁷
Risolvi numericamente
P(3%) = €1 000,00, P(4%) = €939,98
YTM = 4%
Risposta
YTM = 4%
7.CAPM e WACC
Risposta: WACC = 7,429 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Pesi da D/E
E/V = 1/(1 + 0,4) = 0,7143
D/V = 0,4/(1 + 0,4) = 0,2857
WACC
WACC = 0,7143·9% + 0,2857·5%·(1 − 0,3) = 7,429%
Risposta
WACC = 7,429%
8.CAPM e WACC
Risposta: WACC = 8,014 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Costi-volumi-risultati: ogni unità venduta porta un margine di contribuzione, prezzo meno costo variabile unitario. Utile = Q·(p − v) − F, dove F è il costo fisso. Al punto di pareggio l'utile è zero, quindi Q = F/(p − v).
Leva operativa: i costi fissi fanno reagire l’utile più intensamente delle vendite. Il grado di leva operativa DOL = margine di contribuzione/utile operativo indica che una variazione dell’1% delle vendite fa variare l’utile del DOL %. È molto alto appena sopra il pareggio e diminuisce al crescere delle vendite.