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1Formule e metodi
Valore temporale del denaro
Valore futuro
FV = PV·(1 + i)n
Valore attuale
PV = FV/(1 + i)n
Più periodi all’anno
i = r/m, N = m·n
Rendita, valore attuale
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Rendita, valore futuro
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Metodo
Disegna una linea temporale con ogni flusso di cassa e la sua scadenza.
Abbina il tasso al periodo: un tasso mensile per pagamenti mensili.
Usa FV = PV·(1 + i)ⁿ per importi singoli e le formule delle rendite per pagamenti costanti.
Controlla il segno e l’ordine di grandezza della risposta.
VAN e TIR
Valore attuale netto
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Flussi uguali
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Tasso interno di rendimento
il r per cui NPV = 0
Decisione
accetta se NPV > 0 (o IRR > rendimento richiesto)
Metodo
Elenca tutti i flussi di cassa con il loro anno; l’investimento all’anno 0 è negativo.
Sconta ogni flusso di cassa: CFt/(1 + r)t.
Sommali per ottenere il VAN. Positivo significa che il progetto rende più di r.
Per il TIR, trova per tentativi o per interpolazione il tasso che annulla il VAN.
Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Prezzo dell’obbligazione
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Cedole semestrali
C/2, y/2 e 2n periodi
Rendimento corrente
C/P
Prezzo e rendimento
rendimento su → prezzo giù
Metodo
Trova la cedola per periodo e il rendimento per periodo.
Prezzo = valore attuale delle cedole (una rendita) + valore attuale del valore nominale.
Per cedole semestrali usa metà cedola, metà rendimento e il doppio dei periodi.
Verifica: se il rendimento è superiore al tasso cedolare, il prezzo è inferiore al valore nominale.
CAPM e WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Valore dell’impresa
V = E + D
Analisi del punto di pareggio
Margine di contribuzione
CM = p − v
Quantità di pareggio
QBE = FC/(p − v)
Utile obiettivo
Q = (FC + profit)/(p − v)
Utile
π = (p − v)·Q − FC
Margine di sicurezza
(Q − QBE)/Q
2Esercizi
1.Valore temporale del denaroMedia
Investi €1 000 a un tasso nominale del 6 % annuo, capitalizzato trimestralmente. Trova il valore FV dell'investimento dopo 10 anni.
PV = €1 0006% / 4n = 10
FV = €
2.Valore temporale del denaroDifficile
Risparmi €50 alla fine di ogni mese per 21 anni. Il conto rende il 2,4 % annuo, capitalizzato mensilmente. Quanto hai risparmiato alla fine? Trova FV.
A = €502,4% / 12N = 252
FV = €
3.VAN e TIRMedia
Un investimento di €45 000 genera questi flussi alla fine degli anni da 1 a 4: €22 000, €11 000, €16 000, €13 000. Il costo del capitale è del 8 %. Trova il valore attuale netto NPV.
Un progetto costa €50 000 oggi. Il suo flusso di cassa è €9 000 alla fine dell’anno 1 e cresce del 5% annuo fino all’ultimo flusso alla fine dell’anno 5. Il costo del capitale è il 8%. Trova il valore attuale netto NPV.
C0 = €50 000CF1 = €9 000g = 5%n = 5r = 8%
NPV = €
5.Prezzo e rendimento delle obbligazioniMedia
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 paga una cedola annua del 3% in due rate semestrali e scade tra 7 anni. Il rendimento a scadenza è del 4% annuo. Trova il prezzo P dell’obbligazione.
F = €1 000cedola = 3%YTM = 4%n = 7
P = €
6.Prezzo e rendimento delle obbligazioniDifficile
Un’obbligazione con 13 anni alla scadenza (valore nominale €1 000, cedola annua 7%) viene venduta a €1 242. L’emittente può rimborsarla anticipatamente tra 4 anni a un prezzo di richiamo di €1 070. Trova il rendimento al richiamo YTC in percentuale.
F = €1 000cedola = 7%P = €1 242prezzo di richiamo = €1 070richiamo tra 4 anni
YTC = %
7.CAPM e WACCMedia
Un’azienda è finanziata con azioni ordinarie per €8 000 000, azioni privilegiate per €1 500 000 e debito per €4 000 000. Il costo del capitale proprio è del 11%, il costo delle azioni privilegiate del 6% e il costo del debito al lordo delle imposte del 6%. L’aliquota fiscale è del 28%. Trova il WACC.
L’attività di un’azienda ha un beta unlevered (delle attività) di 1,1. Prevede un rapporto debito/capitale proprio di 0,4. L’aliquota fiscale è del 21%, il tasso privo di rischio è del 2,5% e il premio per il rischio di mercato è del 5%. Trova il costo del capitale proprio re con la nuova struttura del capitale.
βU = 1,1D/E = 0,4T = 21%rf = 2,5%rm − rf = 5%
re = %
9.Analisi del punto di pareggioMedia
Un prodotto si vende a €25 l'unità con un costo variabile di €20 per unità. I costi fissi sono €20 000 al mese. Quante unità Q vanno vendute al mese per ottenere un utile di €20 000?
F = €20 000p = €25v = €20utile = €20 000
Q = unità
10.Analisi del punto di pareggioDifficile
Un’azienda vende 4 000 unità al mese a €12 l’una, con un costo variabile di €8 per unità e costi fissi di €8 000 al mese. Il costo variabile aumenta di €2 per unità e il prezzo resta invariato. Quante unità Q si devono ora vendere al mese per mantenere lo stesso utile?
Q = 4 000p = €12v = €8 → €10F = €8 000
Q = unità
3Soluzioni
1.Valore temporale del denaro
Risposta: FV = 1814 €
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Valore attuale di ogni flusso
CF0 = −45 000
CF1/(1 + 0,08)1 = 22 000/1,08 = 20 370,37
CF2/(1 + 0,08)2 = 11 000/1,166 = 9 430,73
CF3/(1 + 0,08)3 = 16 000/1,26 = 12 701,32
CF4/(1 + 0,08)4 = 13 000/1,36 = 9 555,39
Sommali
NPV = €7 057,80
Risposta
NPV = €7 057,80
Il VAN è positivo, quindi il progetto rende più del rendimento richiesto.
4.VAN e TIR
Risposta: NPV = −10585 €
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Valore attuale della rendita crescente
((1,05)/(1,08))5 = 0,8686
PV = 9 000/(0,08 − 0,05)·(1 − 0,8686) = 39 415,26
NPV
NPV = 39 415,26 − 50 000 = −€10 584,74
Risposta
NPV = −€10 584,74
Il VAN è negativo, quindi il progetto rende meno del rendimento richiesto.
5.Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Risposta: P = 939,5 €
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Per periodo
C = €15,00, i = 0,02, N = 14
Valore attuale delle cedole
€15,00·(1 − 0,7579)/0,02 = €181,59
Valore attuale del valore nominale
€1 000·0,7579 = €757,88
Prezzo
P = €939,47
Risposta
P = €939,47
Il rendimento è superiore al tasso cedolare, quindi l’obbligazione quota sotto la pari (a sconto).
6.Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Risposta: YTC = 2,291 %
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Equazione del rendimento
1242 = 70·(1 − (1 + y)−4)/y + 1070/(1 + y)4
Risolvi numericamente
y = 2%: €1 255,06
y = 3%: €1 210,88
YTC = 2,291%
Risposta
YTC = 2,291%
Il rendimento a scadenza è del 4,501%. Chi investe in un’obbligazione sopra la pari si aspetta che venga richiamata, quindi il rendimento al richiamo, più basso, è quello più realistico.
7.CAPM e WACC
Risposta: WACC = 8,465 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Beta levered (Hamada): il debito rende il capitale proprio più rischioso. βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E), dove βU è il beta dell’attività senza debito. Per trasferire un beta a un’altra struttura del capitale, prima rendilo unlevered e poi ricalcolalo levered al nuovo D/E.
Beta levered
βL = 1,1·(1 + 0,79·0,4) = 1,448
Costo del capitale proprio (CAPM)
re = 2,5% + 1,448·5% = 9,738%
Risposta
re = 9,738%
9.Analisi del punto di pareggio
Risposta: Q = 8000 unità
Costi-volumi-risultati: ogni unità venduta porta un margine di contribuzione, prezzo meno costo variabile unitario. Utile = Q·(p − v) − F, dove F è il costo fisso. Al punto di pareggio l'utile è zero, quindi Q = F/(p − v).
Costi-volumi-risultati: ogni unità venduta porta un margine di contribuzione, prezzo meno costo variabile unitario. Utile = Q·(p − v) − F, dove F è il costo fisso. Al punto di pareggio l'utile è zero, quindi Q = F/(p − v).