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1Formule e metodi
Valore temporale del denaro
Valore futuro
FV = PV·(1 + i)n
Valore attuale
PV = FV/(1 + i)n
Più periodi all’anno
i = r/m, N = m·n
Rendita, valore attuale
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Rendita, valore futuro
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Metodo
Disegna una linea temporale con ogni flusso di cassa e la sua scadenza.
Abbina il tasso al periodo: un tasso mensile per pagamenti mensili.
Usa FV = PV·(1 + i)ⁿ per importi singoli e le formule delle rendite per pagamenti costanti.
Controlla il segno e l’ordine di grandezza della risposta.
VAN e TIR
Valore attuale netto
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Flussi uguali
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Tasso interno di rendimento
il r per cui NPV = 0
Decisione
accetta se NPV > 0 (o IRR > rendimento richiesto)
Metodo
Elenca tutti i flussi di cassa con il loro anno; l’investimento all’anno 0 è negativo.
Sconta ogni flusso di cassa: CFt/(1 + r)t.
Sommali per ottenere il VAN. Positivo significa che il progetto rende più di r.
Per il TIR, trova per tentativi o per interpolazione il tasso che annulla il VAN.
Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Prezzo dell’obbligazione
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Cedole semestrali
C/2, y/2 e 2n periodi
Rendimento corrente
C/P
Prezzo e rendimento
rendimento su → prezzo giù
Metodo
Trova la cedola per periodo e il rendimento per periodo.
Prezzo = valore attuale delle cedole (una rendita) + valore attuale del valore nominale.
Per cedole semestrali usa metà cedola, metà rendimento e il doppio dei periodi.
Verifica: se il rendimento è superiore al tasso cedolare, il prezzo è inferiore al valore nominale.
CAPM e WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Valore dell’impresa
V = E + D
Analisi del punto di pareggio
Margine di contribuzione
CM = p − v
Quantità di pareggio
QBE = FC/(p − v)
Utile obiettivo
Q = (FC + profit)/(p − v)
Utile
π = (p − v)·Q − FC
Margine di sicurezza
(Q − QBE)/Q
2Esercizi
1.Valore temporale del denaroMedia
Ti servono €5 000 tra 6 anni. Un conto rende il 3,6 % annuo, capitalizzato trimestralmente. Quanto devi versare oggi? Trova il valore attuale PV.
FV = €5 0003,6% / 4n = 6
PV = €
2.Valore temporale del denaroDifficile
Un prestito di €200 000 viene rimborsato con rate mensili costanti in 15 anni al 6% annuo, capitalizzato mensilmente. Quanti interessi I si pagano in totale sull’intera durata del prestito?
P = €200 0006% / 12N = 180
I = €
3.VAN e TIRMedia
Un investimento di €45 000 genera questi flussi alla fine degli anni da 1 a 3: €21 000, €10 000, €22 000. Il costo del capitale è del 12 %. Trova il valore attuale netto NPV.
Un investimento di €50 000 rende €11 000 alla fine di ogni anno per 5 anni. Trova il suo tasso interno di rendimento IRR in percentuale.
C0 = €50 000CF = €11 000n = 5
IRR = %
5.Prezzo e rendimento delle obbligazioniMedia
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 scade tra 11 anni e paga cedole annuali. Viene venduta a €1 202 quando il rendimento a scadenza è del 5,5%. Trova il tasso cedolare c in percentuale.
F = €1 000n = 11P = €1 202YTM = 5,5%
c = %
6.Prezzo e rendimento delle obbligazioniDifficile
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 e cedola annua del 6% scade tra 7 anni e quota €895. Trova il suo rendimento a scadenza YTM in percentuale.
F = €1 000cedola = 6%n = 7P = €895
YTM = %
7.CAPM e WACCMedia
Un’azienda è finanziata con azioni ordinarie per €4 000 000, azioni privilegiate per €1 000 000 e debito per €6 000 000. Il costo del capitale proprio è del 11%, il costo delle azioni privilegiate del 7,5% e il costo del debito al lordo delle imposte del 4,5%. L’aliquota fiscale è del 20%. Trova il WACC.
L’attività di un’azienda ha un beta unlevered (delle attività) di 1,1. Prevede un rapporto debito/capitale proprio di 1. L’aliquota fiscale è del 21%, il tasso privo di rischio è del 4% e il premio per il rischio di mercato è del 4%. Trova il costo del capitale proprio re con la nuova struttura del capitale.
βU = 1,1D/E = 1T = 21%rf = 4%rm − rf = 4%
re = %
9.Analisi del punto di pareggioMedia
Un prodotto può essere fabbricato in due modi. Il metodo A ha costi fissi di €15 000 all’anno e un costo variabile di €12 per unità. Il metodo B, più automatizzato, ha costi fissi di €40 000 all’anno e un costo variabile di €7 per unità. A quale volume annuo Q i due metodi costano uguale?
FA = €15 000vA = €12FB = €40 000vB = €7
Q = unità
10.Analisi del punto di pareggioDifficile
Un prodotto si vende a €29 l'unità, con un costo variabile di €25 per unità e costi fissi di €16 000 all'anno. Le vendite a budget sono 4 600 unità. Trova il margine di sicurezza MS in percentuale delle vendite a budget.
F = €16 000p = €29v = €25budget = 4 600
MS = %
3Soluzioni
1.Valore temporale del denaro
Risposta: PV = 4033 €
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Tasso e numero di periodi
i = 0,036000000000000004/4 = 0,009
N = 4·6 = 24
Valore attuale
PV = FV/(1 + i)N = 5 000/1,24 = €4 032,57
Risposta
PV = €4 032,57
2.Valore temporale del denaro
Risposta: I = 103788 €
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Valore attuale di ogni flusso
CF0 = −45 000
CF1/(1 + 0,12)1 = 21 000/1,12 = 18 750,00
CF2/(1 + 0,12)2 = 10 000/1,254 = 7 971,94
CF3/(1 + 0,12)3 = 22 000/1,405 = 15 659,17
Sommali
NPV = €−2 618,90
Risposta
NPV = €−2 618,90
Il VAN è negativo, quindi il progetto rende meno del rendimento richiesto.
4.VAN e TIR
Risposta: IRR = 3,263 %
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Fattore di rendita richiesto
(1 − (1 + i)−5)/i = 50 000/11 000 = 4,545
Ricava il tasso
Il fattore di rendita diminuisce al crescere del tasso; individua un intervallo per il tasso e restringilo.
i = 3%: 4,58
i = 4%: 4,452
IRR = 3,263%
Risposta
IRR = 3,263%
5.Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Risposta: c = 7,996 %
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Valore attuale del valore nominale
1000·(1 + 0,055)−11 = €554,91
Cedola
C = (1202 − 554,91)/8,093 = €79,96
Tasso cedolare
c = 79,96/1000 = 7,996%
Risposta
c = 7,996%
6.Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Risposta: YTM = 8,018 %
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Equazione del rendimento
€895 = €60·(1 − (1 + y)⁻⁷)/y + €1 000/(1 + y)⁷
Risolvi numericamente
P(8%) = €895,87, P(9%) = €849,01
YTM = 8,018%
Risposta
YTM = 8,018%
7.CAPM e WACC
Risposta: WACC = 6,645 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Beta levered (Hamada): il debito rende il capitale proprio più rischioso. βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E), dove βU è il beta dell’attività senza debito. Per trasferire un beta a un’altra struttura del capitale, prima rendilo unlevered e poi ricalcolalo levered al nuovo D/E.
Beta levered
βL = 1,1·(1 + 0,79·1) = 1,969
Costo del capitale proprio (CAPM)
re = 4% + 1,969·4% = 11,88%
Risposta
re = 11,88%
9.Analisi del punto di pareggio
Risposta: Q = 5000 unità
Costi-volumi-risultati: ogni unità venduta porta un margine di contribuzione, prezzo meno costo variabile unitario. Utile = Q·(p − v) − F, dove F è il costo fisso. Al punto di pareggio l'utile è zero, quindi Q = F/(p − v).
Costi totali uguali
15 000 + 12Q = 40 000 + 7Q
Ricava Q
Q = (40 000 − 15 000)/(12 − 7) = 5 000
Risposta
Q = 5 000 unità
Al di sotto di questo volume è più economico il metodo A; al di sopra è più economico il metodo automatizzato B.
10.Analisi del punto di pareggio
Risposta: MS = 13,04 %
Costi-volumi-risultati: ogni unità venduta porta un margine di contribuzione, prezzo meno costo variabile unitario. Utile = Q·(p − v) − F, dove F è il costo fisso. Al punto di pareggio l'utile è zero, quindi Q = F/(p − v).