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1Formule e metodi
Valore temporale del denaro
Valore futuro
FV = PV·(1 + i)n
Valore attuale
PV = FV/(1 + i)n
Più periodi all’anno
i = r/m, N = m·n
Rendita, valore attuale
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Rendita, valore futuro
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Metodo
Disegna una linea temporale con ogni flusso di cassa e la sua scadenza.
Abbina il tasso al periodo: un tasso mensile per pagamenti mensili.
Usa FV = PV·(1 + i)ⁿ per importi singoli e le formule delle rendite per pagamenti costanti.
Controlla il segno e l’ordine di grandezza della risposta.
VAN e TIR
Valore attuale netto
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Flussi uguali
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Tasso interno di rendimento
il r per cui NPV = 0
Decisione
accetta se NPV > 0 (o IRR > rendimento richiesto)
Metodo
Elenca tutti i flussi di cassa con il loro anno; l’investimento all’anno 0 è negativo.
Sconta ogni flusso di cassa: CFt/(1 + r)t.
Sommali per ottenere il VAN. Positivo significa che il progetto rende più di r.
Per il TIR, trova per tentativi o per interpolazione il tasso che annulla il VAN.
Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Prezzo dell’obbligazione
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Cedole semestrali
C/2, y/2 e 2n periodi
Rendimento corrente
C/P
Prezzo e rendimento
rendimento su → prezzo giù
Metodo
Trova la cedola per periodo e il rendimento per periodo.
Prezzo = valore attuale delle cedole (una rendita) + valore attuale del valore nominale.
Per cedole semestrali usa metà cedola, metà rendimento e il doppio dei periodi.
Verifica: se il rendimento è superiore al tasso cedolare, il prezzo è inferiore al valore nominale.
CAPM e WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Valore dell’impresa
V = E + D
Analisi del punto di pareggio
Margine di contribuzione
CM = p − v
Quantità di pareggio
QBE = FC/(p − v)
Utile obiettivo
Q = (FC + profit)/(p − v)
Utile
π = (p − v)·Q − FC
Margine di sicurezza
(Q − QBE)/Q
2Esercizi
1.Valore temporale del denaroMedia
Investi €10 000 al 2% annuo con capitalizzazione continua. Trova il valore FV dopo 14 anni.
PV = €10 000r = 2%t = 14
FV = €
2.Valore temporale del denaroDifficile
Risparmi €100 alla fine di ogni mese per 16 anni. Il conto rende il 3,6 % annuo, capitalizzato mensilmente. Quanto hai risparmiato alla fine? Trova FV.
A = €1003,6% / 12N = 192
FV = €
3.VAN e TIRMedia
Una macchina costa €40 000 oggi. Genera €9 500 alla fine di ogni anno per 5 anni e poi può essere venduta a €8 000. Il costo del capitale è il 6%. Trova il valore attuale netto NPV.
C0 = €40 000CF = €9 500S = €8 000n = 5r = 6%
NPV = €
4.VAN e TIRDifficile
Un progetto costa €80 000 oggi. Il suo flusso di cassa è €12 500 alla fine dell’anno 1 e cresce del 5% annuo fino all’ultimo flusso alla fine dell’anno 7. Il costo del capitale è il 12%. Trova il valore attuale netto NPV.
C0 = €80 000CF1 = €12 500g = 5%n = 7r = 12%
NPV = €
5.Prezzo e rendimento delle obbligazioniMedia
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 paga una cedola annua di 7% e scade tra 9 anni. Il suo rendimento a scadenza passa dal 3,5% al 5%. Di quanto ΔP varia il prezzo dell’obbligazione?
F = €1 000cedola = 7%n = 9y1 = 3,5%y2 = 5%
ΔP = €
6.Prezzo e rendimento delle obbligazioniDifficile
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 e cedola annua del 7% scade tra 3 anni e quota €1 025. Trova il suo rendimento a scadenza YTM in percentuale.
F = €1 000cedola = 7%n = 3P = €1 025
YTM = %
7.CAPM e WACCMedia
Un’azienda ha capitale proprio per €3 000 000 e debito per €3 000 000. Il costo del capitale proprio è del 11%, il costo del debito al lordo delle imposte è del 7% e l’aliquota fiscale è del 28%. Trova il WACC.
Un’azienda ha 2 500 000 azioni da €46,00 ciascuna e 5 000 obbligazioni quotate €1 050 ciascuna. Il costo del debito al lordo delle imposte è del 3,5% e l’aliquota fiscale è del 20%. Il beta dell’azione è 1,8, il tasso privo di rischio è del 3% e il rendimento di mercato è del 10%. Trova il WACC.
β = 1,8rf = 3%rm = 10%rd = 3,5%T = 20%
WACC = %
9.Analisi del punto di pareggioMedia
Un prodotto si vende a €24 l'unità con un costo variabile di €18 per unità. I costi fissi sono €30 000 al mese. Quante unità Q vanno vendute al mese per ottenere un utile di €12 000?
F = €30 000p = €24v = €18utile = €12 000
Q = unità
10.Analisi del punto di pareggioDifficile
Un’azienda vende 7 500 unità a €35 l’una, con un costo variabile di €25 per unità e costi fissi di €50 000. Di quale percentuale %ΔΠ varia l’utile operativo se il volume delle vendite diminuisce del 15%?
Q = 7 500p = €35v = €25F = €50 000%ΔQ = −15%
%ΔΠ = %
3Soluzioni
1.Valore temporale del denaro
Risposta: FV = 13231 €
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Esponente
r·t = 0,02·14 = 0,28
e0,28 = 1,323
Valore futuro
FV = 10 000·1,323 = €13 231,30
Risposta
FV = €13 231,30
2.Valore temporale del denaro
Risposta: FV = 25913 €
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Valore attuale dei flussi di cassa annui
9 500·4,212 = 40 017,46
Valore attuale del valore residuo
8 000/1,338 = 5 978,07
NPV
NPV = −40 000 + 40 017,46 + 5 978,07 = €5 995,52
Risposta
NPV = €5 995,52
4.VAN e TIR
Risposta: NPV = −15089 €
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Il VAN è negativo, quindi il progetto rende meno del rendimento richiesto.
5.Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Risposta: ΔP = −124,1 €
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Equazione del rendimento
€1 025 = €70·(1 − (1 + y)⁻³)/y + €1 000/(1 + y)³
Risolvi numericamente
P(6%) = €1 026,73, P(7%) = €1 000,00
YTM = 6,064%
Risposta
YTM = 6,064%
7.CAPM e WACC
Risposta: WACC = 8,02 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Pesi
V = €6 000 000, E/V = 0,5, D/V = 0,5
WACC
WACC = 0,5·11% + 0,5·7%·(1 − 0,28) = 8,02%
Risposta
WACC = 8,02%
8.CAPM e WACC
Risposta: WACC = 15,04 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Costi-volumi-risultati: ogni unità venduta porta un margine di contribuzione, prezzo meno costo variabile unitario. Utile = Q·(p − v) − F, dove F è il costo fisso. Al punto di pareggio l'utile è zero, quindi Q = F/(p − v).
Leva operativa: i costi fissi fanno reagire l’utile più intensamente delle vendite. Il grado di leva operativa DOL = margine di contribuzione/utile operativo indica che una variazione dell’1% delle vendite fa variare l’utile del DOL %. È molto alto appena sopra il pareggio e diminuisce al crescere delle vendite.