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1Formule e metodi
Valore temporale del denaro
Valore futuro
FV = PV·(1 + i)n
Valore attuale
PV = FV/(1 + i)n
Più periodi all’anno
i = r/m, N = m·n
Rendita, valore attuale
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Rendita, valore futuro
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Metodo
Disegna una linea temporale con ogni flusso di cassa e la sua scadenza.
Abbina il tasso al periodo: un tasso mensile per pagamenti mensili.
Usa FV = PV·(1 + i)ⁿ per importi singoli e le formule delle rendite per pagamenti costanti.
Controlla il segno e l’ordine di grandezza della risposta.
VAN e TIR
Valore attuale netto
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Flussi uguali
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Tasso interno di rendimento
il r per cui NPV = 0
Decisione
accetta se NPV > 0 (o IRR > rendimento richiesto)
Metodo
Elenca tutti i flussi di cassa con il loro anno; l’investimento all’anno 0 è negativo.
Sconta ogni flusso di cassa: CFt/(1 + r)t.
Sommali per ottenere il VAN. Positivo significa che il progetto rende più di r.
Per il TIR, trova per tentativi o per interpolazione il tasso che annulla il VAN.
Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Prezzo dell’obbligazione
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Cedole semestrali
C/2, y/2 e 2n periodi
Rendimento corrente
C/P
Prezzo e rendimento
rendimento su → prezzo giù
Metodo
Trova la cedola per periodo e il rendimento per periodo.
Prezzo = valore attuale delle cedole (una rendita) + valore attuale del valore nominale.
Per cedole semestrali usa metà cedola, metà rendimento e il doppio dei periodi.
Verifica: se il rendimento è superiore al tasso cedolare, il prezzo è inferiore al valore nominale.
CAPM e WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Valore dell’impresa
V = E + D
Analisi del punto di pareggio
Margine di contribuzione
CM = p − v
Quantità di pareggio
QBE = FC/(p − v)
Utile obiettivo
Q = (FC + profit)/(p − v)
Utile
π = (p − v)·Q − FC
Margine di sicurezza
(Q − QBE)/Q
2Esercizi
1.Valore temporale del denaroMedia
Ti servono €50 000 tra 3 anni. Un conto rende il 6 % annuo, capitalizzato mensilmente. Quanto devi versare oggi? Trova il valore attuale PV.
FV = €50 0006% / 12n = 3
PV = €
2.Valore temporale del denaroDifficile
Un prestito di €20 000 viene rimborsato con rate mensili costanti in 7 anni al 2,4% annuo, capitalizzato mensilmente. Quanti interessi I si pagano in totale sull’intera durata del prestito?
P = €20 0002,4% / 12N = 84
I = €
3.VAN e TIRMedia
Un progetto costa €200 000 oggi. Genera €13 000 alla fine del primo anno, e il flusso di cassa cresce poi del 4% annuo per sempre. Il costo del capitale è il 9%. Trova il valore attuale netto NPV.
C0 = €200 000CF1 = €13 000g = 4%r = 9%
NPV = €
4.VAN e TIRDifficile
Un progetto costa €10 000 e restituisce €3 500, €4 500, €4 500 alla fine degli anni da 1 a 3. Trova il suo tasso interno di rendimento IRR in percentuale.
CF0 = −10 000CF1 = 3 500CF2 = 4 500CF3 = 4 500
IRR = %
5.Prezzo e rendimento delle obbligazioniMedia
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 paga una cedola annua di 4,5% e scade tra 15 anni. Il suo rendimento a scadenza passa dal 5% al 4,5%. Di quanto ΔP varia il prezzo dell’obbligazione?
F = €1 000cedola = 4,5%n = 15y1 = 5%y2 = 4,5%
ΔP = €
6.Prezzo e rendimento delle obbligazioniDifficile
Un’obbligazione con 15 anni alla scadenza (valore nominale €1 000, cedola annua 5%) viene venduta a €1 173. L’emittente può rimborsarla anticipatamente tra 6 anni a un prezzo di richiamo di €1 050. Trova il rendimento al richiamo YTC in percentuale.
F = €1 000cedola = 5%P = €1 173prezzo di richiamo = €1 050richiamo tra 6 anni
YTC = %
7.CAPM e WACCMedia
Un’azienda ha capitale proprio per €10 000 000 e debito per €5 000 000. Il costo del capitale proprio è del 12%, il costo del debito al lordo delle imposte è del 3,5% e l’aliquota fiscale è del 28%. Trova il WACC.
Un’azienda ha 2 000 000 azioni da €47,50 ciascuna e 40 000 obbligazioni quotate €1 050 ciascuna. Il costo del debito al lordo delle imposte è del 3% e l’aliquota fiscale è del 25%. Il beta dell’azione è 0,8, il tasso privo di rischio è del 1,5% e il rendimento di mercato è del 6%. Trova il WACC.
β = 0,8rf = 1,5%rm = 6%rd = 3%T = 25%
WACC = %
9.Analisi del punto di pareggioMedia
Un’azienda vende 6 400 unità a €10 l’una. Il costo variabile è €8 per unità e i costi fissi sono €8 000. Trova il grado di leva operativa DOL a questo livello di vendite.
Q = 6 400p = €10v = €8F = €8 000
DOL =
10.Analisi del punto di pareggioDifficile
Un prodotto si vende a €33 l'unità, con un costo variabile di €30 per unità e costi fissi di €7 500 all'anno. Le vendite a budget sono 4 000 unità. Trova il margine di sicurezza MS in percentuale delle vendite a budget.
F = €7 500p = €33v = €30budget = 4 000
MS = %
3Soluzioni
1.Valore temporale del denaro
Risposta: PV = 41782 €
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Tasso e numero di periodi
i = 0,06/12 = 0,005
N = 12·3 = 36
Valore attuale
PV = FV/(1 + i)N = 50 000/1,197 = €41 782,25
Risposta
PV = €41 782,25
2.Valore temporale del denaro
Risposta: I = 1747 €
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Rata mensile
i = 0,002, N = 84
A = 20 000·0,002/(1 − (1 + 0,002)−84) = €258,89
Interessi totali
I = N·A − P = 84·258,9 − 20 000 = €1 746,96
Risposta
I = €1 746,96
3.VAN e TIR
Risposta: NPV = 60000 €
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Valore dei flussi di cassa
PV = 13 000/(0,09 − 0,04) = 260 000,00
NPV
NPV = 260 000,00 − 200 000 = €60 000,00
Risposta
NPV = €60 000,00
Il VAN è positivo, quindi il progetto rende più del rendimento richiesto.
4.VAN e TIR
Risposta: IRR = 11,53 %
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Delimitare il TIR
Il VAN scende quando il tasso sale, quindi il TIR sta tra un tasso con VAN positivo e uno con VAN negativo.
NPV(10%) = 281,74
NPV(15%) = −595,05
Restringere
L'interpolazione lineare dà una prima stima; ripeterla (o usare la funzione TIR di una calcolatrice) dà il tasso esatto.
IRR ≈ 10 + 5·281,74/(281,74 − (−595,05)) = 11,61%
esatto: NPV(11,53%) = 0 → IRR = 11,53%
Risposta
IRR = 11,53%
5.Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Risposta: ΔP = 51,9 €
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Equazione del rendimento
1173 = 50·(1 − (1 + y)−6)/y + 1050/(1 + y)6
Risolvi numericamente
y = 2%: €1 212,44
y = 3%: €1 150,22
YTC = 2,626%
Risposta
YTC = 2,626%
Il rendimento a scadenza è del 3,498%. Chi investe in un’obbligazione sopra la pari si aspetta che venga richiamata, quindi il rendimento al richiamo, più basso, è quello più realistico.
7.CAPM e WACC
Risposta: WACC = 8,84 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Leva operativa: i costi fissi fanno reagire l’utile più intensamente delle vendite. Il grado di leva operativa DOL = margine di contribuzione/utile operativo indica che una variazione dell’1% delle vendite fa variare l’utile del DOL %. È molto alto appena sopra il pareggio e diminuisce al crescere delle vendite.
Margine di contribuzione totale
CM = 6 400·(10 − 8) = €12 800
Utile operativo
Π = 12 800 − 8 000 = €4 800
DOL
DOL = 12 800/4 800 = 2,667
Risposta
DOL = 2,667
10.Analisi del punto di pareggio
Risposta: MS = 37,5 %
Costi-volumi-risultati: ogni unità venduta porta un margine di contribuzione, prezzo meno costo variabile unitario. Utile = Q·(p − v) − F, dove F è il costo fisso. Al punto di pareggio l'utile è zero, quindi Q = F/(p − v).