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1Formule e metodi
Valore temporale del denaro
Valore futuro
FV = PV·(1 + i)n
Valore attuale
PV = FV/(1 + i)n
Più periodi all’anno
i = r/m, N = m·n
Rendita, valore attuale
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Rendita, valore futuro
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Metodo
Disegna una linea temporale con ogni flusso di cassa e la sua scadenza.
Abbina il tasso al periodo: un tasso mensile per pagamenti mensili.
Usa FV = PV·(1 + i)ⁿ per importi singoli e le formule delle rendite per pagamenti costanti.
Controlla il segno e l’ordine di grandezza della risposta.
VAN e TIR
Valore attuale netto
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Flussi uguali
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Tasso interno di rendimento
il r per cui NPV = 0
Decisione
accetta se NPV > 0 (o IRR > rendimento richiesto)
Metodo
Elenca tutti i flussi di cassa con il loro anno; l’investimento all’anno 0 è negativo.
Sconta ogni flusso di cassa: CFt/(1 + r)t.
Sommali per ottenere il VAN. Positivo significa che il progetto rende più di r.
Per il TIR, trova per tentativi o per interpolazione il tasso che annulla il VAN.
Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Prezzo dell’obbligazione
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Cedole semestrali
C/2, y/2 e 2n periodi
Rendimento corrente
C/P
Prezzo e rendimento
rendimento su → prezzo giù
Metodo
Trova la cedola per periodo e il rendimento per periodo.
Prezzo = valore attuale delle cedole (una rendita) + valore attuale del valore nominale.
Per cedole semestrali usa metà cedola, metà rendimento e il doppio dei periodi.
Verifica: se il rendimento è superiore al tasso cedolare, il prezzo è inferiore al valore nominale.
CAPM e WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Valore dell’impresa
V = E + D
Analisi del punto di pareggio
Margine di contribuzione
CM = p − v
Quantità di pareggio
QBE = FC/(p − v)
Utile obiettivo
Q = (FC + profit)/(p − v)
Utile
π = (p − v)·Q − FC
Margine di sicurezza
(Q − QBE)/Q
2Esercizi
1.Valore temporale del denaroMedia
Ti servono €20 000 tra 7 anni. Un conto rende il 4 % annuo, capitalizzato mensilmente. Quanto devi versare oggi? Trova il valore attuale PV.
FV = €20 0004% / 12n = 7
PV = €
2.Valore temporale del denaroDifficile
Un mutuo di €150 000 viene rimborsato con rate mensili costanti in 20 anni al 6% annuo, capitalizzato mensilmente. Quanto resta da pagare subito dopo la rata alla fine dell’anno 15? Trova il debito residuo B.
P = €150 0006% / 12N = 240k = 180
B = €
3.VAN e TIRMedia
Una macchina costa €50 000 oggi. Genera €9 000 alla fine di ogni anno per 7 anni e poi può essere venduta a €5 000. Il costo del capitale è il 8%. Trova il valore attuale netto NPV.
C0 = €50 000CF = €9 000S = €5 000n = 7r = 8%
NPV = €
4.VAN e TIRDifficile
Il progetto A costa €30 000 e rende €16 000, €12 000, €7 000 alla fine degli anni da 1 a 3. Il progetto B costa €32 000 e rende €8 000, €13 500, €17 000. Trova il tasso di indifferenza (crossover) r* al quale entrambi i progetti hanno lo stesso VAN, in percentuale.
Acquisti un’obbligazione con 12 anni alla scadenza (valore nominale €1 000, cedola annua 7%) quando il suo rendimento a scadenza è del 3,5%. Un anno dopo, subito dopo aver incassato la prima cedola, la vendi quando il rendimento a scadenza è del 5%. Trova il tuo rendimento del periodo di detenzione HPR in percentuale.
F = €1 000cedola = 7%n = 12y0 = 3,5%y1 = 5%
HPR = %
6.Prezzo e rendimento delle obbligazioniDifficile
Un’obbligazione con 11 anni alla scadenza (valore nominale €1 000, cedola annua 5%) viene venduta a €1 088. L’emittente può rimborsarla anticipatamente tra 4 anni a un prezzo di richiamo di €1 050. Trova il rendimento al richiamo YTC in percentuale.
F = €1 000cedola = 5%P = €1 088prezzo di richiamo = €1 050richiamo tra 4 anni
YTC = %
7.CAPM e WACCMedia
Un’azienda ha capitale proprio per €12 000 000 e debito per €1 000 000. Il costo del capitale proprio è del 11%, il costo del debito al lordo delle imposte è del 3% e l’aliquota fiscale è del 25%. Trova il WACC.
Un’azienda ha capitale proprio con un valore di mercato di €5 000 000 e un costo del capitale proprio del 14%. Il suo debito è costituito da 5 000 obbligazioni (valore nominale €1 000, cedola annua 4%, 10 anni alla scadenza) quotate €1 131 ciascuna. L’aliquota fiscale è del 25,8%. Trova il WACC, usando il rendimento a scadenza delle obbligazioni come costo del debito al lordo delle imposte.
Un’azienda vende 10 000 unità a €38 l’una. Il costo variabile è €18 per unità e i costi fissi sono €100 000. Trova il grado di leva operativa DOL a questo livello di vendite.
Q = 10 000p = €38v = €18F = €100 000
DOL =
10.Analisi del punto di pareggioDifficile
Un prodotto si vende a €23 l'unità, con un costo variabile di €8 per unità e costi fissi di €15 000 all'anno. Le vendite a budget sono 1 150 unità. Trova il margine di sicurezza MS in percentuale delle vendite a budget.
F = €15 000p = €23v = €8budget = 1 150
MS = %
3Soluzioni
1.Valore temporale del denaro
Risposta: PV = 15123 €
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Tasso e numero di periodi
i = 0,04/12 = 0,003333
N = 12·7 = 84
Valore attuale
PV = FV/(1 + i)N = 20 000/1,323 = €15 122,71
Risposta
PV = €15 122,71
2.Valore temporale del denaro
Risposta: B = 55587 €
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Ciò che resta da pagare deve essere estinto esattamente dalle rate rimanenti.
N − k = 240 − 180 = 60
B = 1075·(1 − (1 + 0,005)−60)/0,005 = €55 586,70
Risposta
B = €55 586,70
3.VAN e TIR
Risposta: NPV = −225,2 €
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Valore attuale dei flussi di cassa annui
9 000·5,206 = 46 857,33
Valore attuale del valore residuo
5 000/1,714 = 2 917,45
NPV
NPV = −50 000 + 46 857,33 + 2 917,45 = −€225,22
Risposta
NPV = −€225,22
4.VAN e TIR
Risposta: r* = 6,981 %
Tasso di indifferenza (crossover): il tasso di sconto al quale due progetti hanno lo stesso VAN. È il TIR della differenza dei loro flussi di cassa (B − A). Al di sotto, il progetto con flussi più tardivi e più grandi ha il VAN maggiore; al di sopra prevale l’altro.
Differenza dei flussi di cassa
ΔCF0 = −32 000 − (−30 000) = −2 000
ΔCF1 = 8 000 − 16 000 = −8 000
ΔCF2 = 13 500 − 12 000 = 1 500
ΔCF3 = 17 000 − 7 000 = 10 000
TIR della differenza
NPVΔ(6%) = 184,02
NPVΔ(7%) = −3,50
r* = 6,981%
Risposta
r* = 6,981%
Verifica: al 6,981% entrambi i VAN valgono €1 158,07.
5.Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Risposta: HPR = −7,629 %
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Equazione del rendimento
1088 = 50·(1 − (1 + y)−4)/y + 1050/(1 + y)4
Risolvi numericamente
y = 3%: €1 118,77
y = 4%: €1 079,04
YTC = 3,77%
Risposta
YTC = 3,77%
Il rendimento a scadenza è del 3,996%. Chi investe in un’obbligazione sopra la pari si aspetta che venga richiamata, quindi il rendimento al richiamo, più basso, è quello più realistico.
7.CAPM e WACC
Risposta: WACC = 10,33 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Leva operativa: i costi fissi fanno reagire l’utile più intensamente delle vendite. Il grado di leva operativa DOL = margine di contribuzione/utile operativo indica che una variazione dell’1% delle vendite fa variare l’utile del DOL %. È molto alto appena sopra il pareggio e diminuisce al crescere delle vendite.
Margine di contribuzione totale
CM = 10 000·(38 − 18) = €200 000
Utile operativo
Π = 200 000 − 100 000 = €100 000
DOL
DOL = 200 000/100 000 = 2
Risposta
DOL = 2
10.Analisi del punto di pareggio
Risposta: MS = 13,04 %
Costi-volumi-risultati: ogni unità venduta porta un margine di contribuzione, prezzo meno costo variabile unitario. Utile = Q·(p − v) − F, dove F è il costo fisso. Al punto di pareggio l'utile è zero, quindi Q = F/(p − v).