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1Formule e metodi
Valore temporale del denaro
Valore futuro
FV = PV·(1 + i)n
Valore attuale
PV = FV/(1 + i)n
Più periodi all’anno
i = r/m, N = m·n
Rendita, valore attuale
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Rendita, valore futuro
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Metodo
Disegna una linea temporale con ogni flusso di cassa e la sua scadenza.
Abbina il tasso al periodo: un tasso mensile per pagamenti mensili.
Usa FV = PV·(1 + i)ⁿ per importi singoli e le formule delle rendite per pagamenti costanti.
Controlla il segno e l’ordine di grandezza della risposta.
VAN e TIR
Valore attuale netto
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Flussi uguali
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Tasso interno di rendimento
il r per cui NPV = 0
Decisione
accetta se NPV > 0 (o IRR > rendimento richiesto)
Metodo
Elenca tutti i flussi di cassa con il loro anno; l’investimento all’anno 0 è negativo.
Sconta ogni flusso di cassa: CFt/(1 + r)t.
Sommali per ottenere il VAN. Positivo significa che il progetto rende più di r.
Per il TIR, trova per tentativi o per interpolazione il tasso che annulla il VAN.
Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Prezzo dell’obbligazione
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Cedole semestrali
C/2, y/2 e 2n periodi
Rendimento corrente
C/P
Prezzo e rendimento
rendimento su → prezzo giù
Metodo
Trova la cedola per periodo e il rendimento per periodo.
Prezzo = valore attuale delle cedole (una rendita) + valore attuale del valore nominale.
Per cedole semestrali usa metà cedola, metà rendimento e il doppio dei periodi.
Verifica: se il rendimento è superiore al tasso cedolare, il prezzo è inferiore al valore nominale.
CAPM e WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Valore dell’impresa
V = E + D
Analisi del punto di pareggio
Margine di contribuzione
CM = p − v
Quantità di pareggio
QBE = FC/(p − v)
Utile obiettivo
Q = (FC + profit)/(p − v)
Utile
π = (p − v)·Q − FC
Margine di sicurezza
(Q − QBE)/Q
2Esercizi
1.Valore temporale del denaroMedia
Una rendita paga €8 000 alla fine di ogni anno per 13 anni. Il tasso di interesse è il 5% annuo. Trova il valore attuale PV della rendita.
A = €8 000i = 5%n = 13
PV = €
2.Valore temporale del denaroDifficile
Prendi in prestito €15 000 al 4,2% annuo, capitalizzato mensilmente, e rimborsi €450 alla fine di ogni mese. Quanti mesi servono per estinguere il prestito (l’ultima rata può essere più bassa)? Indica il numero di rate N.
P = €15 000A = €4504,2% / 12
N = rate
3.VAN e TIRMedia
Una macchina costa €100 000 oggi. Genera €20 500 alla fine di ogni anno per 7 anni e poi può essere venduta a €10 000. Il costo del capitale è il 8%. Trova il valore attuale netto NPV.
C0 = €100 000CF = €20 500S = €10 000n = 7r = 8%
NPV = €
4.VAN e TIRDifficile
Un progetto costa €20 000 e restituisce €11 000, €11 500 alla fine degli anni da 1 a 2. Trova il suo tasso interno di rendimento IRR in percentuale.
CF0 = −20 000CF1 = 11 000CF2 = 11 500
IRR = %
5.Prezzo e rendimento delle obbligazioniMedia
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 scade tra 11 anni e paga cedole annuali. Viene venduta a €1 121 quando il rendimento a scadenza è del 5,5%. Trova il tasso cedolare c in percentuale.
F = €1 000n = 11P = €1 121YTM = 5,5%
c = %
6.Prezzo e rendimento delle obbligazioniDifficile
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 paga una cedola annua del 4,5% in due rate semestrali e scade tra 11 anni. Viene venduta a €1 191. Trova il suo rendimento a scadenza YTM come tasso annuo (il doppio del rendimento semestrale), in percentuale.
F = €1 000cedola = 4,5% (2×)n = 11P = €1 191
YTM = %
7.CAPM e WACCMedia
Un’azienda ha capitale proprio per €3 000 000 e debito per €2 000 000. Il costo del capitale proprio è del 12%, il costo del debito al lordo delle imposte è del 7% e l’aliquota fiscale è del 25%. Trova il WACC.
Un’azienda ha 2 000 000 azioni da €29,00 ciascuna e 20 000 obbligazioni quotate €1 000 ciascuna. Il costo del debito al lordo delle imposte è del 5% e l’aliquota fiscale è del 25,8%. Il beta dell’azione è 0,8, il tasso privo di rischio è del 1,5% e il rendimento di mercato è del 6,5%. Trova il WACC.
β = 0,8rf = 1,5%rm = 6,5%rd = 5%T = 25,8%
WACC = %
9.Analisi del punto di pareggioMedia
Un prodotto può essere fabbricato in due modi. Il metodo A ha costi fissi di €30 000 all’anno e un costo variabile di €8 per unità. Il metodo B, più automatizzato, ha costi fissi di €34 000 all’anno e un costo variabile di €4 per unità. A quale volume annuo Q i due metodi costano uguale?
FA = €30 000vA = €8FB = €34 000vB = €4
Q = unità
10.Analisi del punto di pareggioDifficile
Un’azienda vende 2 000 unità a €57 l’una, con un costo variabile di €45 per unità e costi fissi di €9 600. Di quale percentuale %ΔΠ varia l’utile operativo se il volume delle vendite diminuisce del 12%?
Q = 2 000p = €57v = €45F = €9 600%ΔQ = −12%
%ΔΠ = %
3Soluzioni
1.Valore temporale del denaro
Risposta: PV = 75149 €
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Fattore di rendita
(1 − (1 + i)−n)/i = (1 − 0,5303)/0,05 = 9,394
Valore attuale
PV = 8 000·9,394 = €75 148,58
Risposta
PV = €75 148,58
2.Valore temporale del denaro
Risposta: N = 36 rate
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Riordina la formula della rendita
i = 0,0035
(1 + i)−N = 1 − 15 000·0,0035/450 = 0,8833
Risolvi con i logaritmi
N = −ln(0,8833)/ln(1,004) = 35,51
Arrotonda a rate intere
35 rate intere lasciano un piccolo debito residuo, che viene estinto dall’ultima rata, più bassa.
N = 36
Risposta
N = 36 rate
3.VAN e TIR
Risposta: NPV = 12565 €
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Delimitare il TIR
Il VAN scende quando il tasso sale, quindi il TIR sta tra un tasso con VAN positivo e uno con VAN negativo.
NPV(5%) = 907,03
NPV(10%) = −495,87
Restringere
L'interpolazione lineare dà una prima stima; ripeterla (o usare la funzione TIR di una calcolatrice) dà il tasso esatto.
IRR ≈ 5 + 5·907,03/(907,03 − (−495,87)) = 8,233%
esatto: NPV(8,161%) = 0 → IRR = 8,161%
Risposta
IRR = 8,161%
5.Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Risposta: c = 6,995 %
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Valore attuale del valore nominale
1000·(1 + 0,055)−11 = €554,91
Cedola
C = (1121 − 554,91)/8,093 = €69,95
Tasso cedolare
c = 69,95/1000 = 6,995%
Risposta
c = 6,995%
6.Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Risposta: YTM = 2,503 %
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Per periodo
C = €22,50, N = 22
Risolvi numericamente
i = 1,251% per semestre
YTM
YTM = 2·1,251% = 2,503%
Risposta
YTM = 2,503%
7.CAPM e WACC
Risposta: WACC = 9,3 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Pesi
V = €5 000 000, E/V = 0,6, D/V = 0,4
WACC
WACC = 0,6·12% + 0,4·7%·(1 − 0,25) = 9,3%
Risposta
WACC = 9,3%
8.CAPM e WACC
Risposta: WACC = 5,041 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Costi-volumi-risultati: ogni unità venduta porta un margine di contribuzione, prezzo meno costo variabile unitario. Utile = Q·(p − v) − F, dove F è il costo fisso. Al punto di pareggio l'utile è zero, quindi Q = F/(p − v).
Costi totali uguali
30 000 + 8Q = 34 000 + 4Q
Ricava Q
Q = (34 000 − 30 000)/(8 − 4) = 1 000
Risposta
Q = 1 000 unità
Al di sotto di questo volume è più economico il metodo A; al di sopra è più economico il metodo automatizzato B.
10.Analisi del punto di pareggio
Risposta: %ΔΠ = −20 %
Leva operativa: i costi fissi fanno reagire l’utile più intensamente delle vendite. Il grado di leva operativa DOL = margine di contribuzione/utile operativo indica che una variazione dell’1% delle vendite fa variare l’utile del DOL %. È molto alto appena sopra il pareggio e diminuisce al crescere delle vendite.