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1Formule e metodi
Valore temporale del denaro
Valore futuro
FV = PV·(1 + i)n
Valore attuale
PV = FV/(1 + i)n
Più periodi all’anno
i = r/m, N = m·n
Rendita, valore attuale
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Rendita, valore futuro
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Metodo
Disegna una linea temporale con ogni flusso di cassa e la sua scadenza.
Abbina il tasso al periodo: un tasso mensile per pagamenti mensili.
Usa FV = PV·(1 + i)ⁿ per importi singoli e le formule delle rendite per pagamenti costanti.
Controlla il segno e l’ordine di grandezza della risposta.
VAN e TIR
Valore attuale netto
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Flussi uguali
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Tasso interno di rendimento
il r per cui NPV = 0
Decisione
accetta se NPV > 0 (o IRR > rendimento richiesto)
Metodo
Elenca tutti i flussi di cassa con il loro anno; l’investimento all’anno 0 è negativo.
Sconta ogni flusso di cassa: CFt/(1 + r)t.
Sommali per ottenere il VAN. Positivo significa che il progetto rende più di r.
Per il TIR, trova per tentativi o per interpolazione il tasso che annulla il VAN.
Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Prezzo dell’obbligazione
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Cedole semestrali
C/2, y/2 e 2n periodi
Rendimento corrente
C/P
Prezzo e rendimento
rendimento su → prezzo giù
Metodo
Trova la cedola per periodo e il rendimento per periodo.
Prezzo = valore attuale delle cedole (una rendita) + valore attuale del valore nominale.
Per cedole semestrali usa metà cedola, metà rendimento e il doppio dei periodi.
Verifica: se il rendimento è superiore al tasso cedolare, il prezzo è inferiore al valore nominale.
CAPM e WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Valore dell’impresa
V = E + D
Analisi del punto di pareggio
Margine di contribuzione
CM = p − v
Quantità di pareggio
QBE = FC/(p − v)
Utile obiettivo
Q = (FC + profit)/(p − v)
Utile
π = (p − v)·Q − FC
Margine di sicurezza
(Q − QBE)/Q
2Esercizi
1.Valore temporale del denaroMedia
Si prevede che un immobile renda un affitto netto di €2 000 il prossimo anno. Si prevede che l’affitto cresca del 2% annuo per sempre. Il rendimento richiesto è il 6% annuo. Trova il valore PV dell’immobile oggi.
C1 = €2 000g = 2%r = 6%
PV = €
2.Valore temporale del denaroDifficile
Un mutuo di €300 000 viene rimborsato con rate mensili costanti in 25 anni al 3,6% annuo, capitalizzato mensilmente. Quanto resta da pagare subito dopo la rata alla fine dell’anno 8? Trova il debito residuo B.
P = €300 0003,6% / 12N = 300k = 96
B = €
3.VAN e TIRMedia
Un progetto costa €50 000 oggi e rende €11 500, €18 500, €20 000, €10 500 alla fine degli anni da 1 a 4. Il costo del capitale è il 6%. Supponi che i flussi di cassa arrivino in modo uniforme durante ogni anno. Trova il periodo di recupero attualizzato DPB in anni.
Un progetto costa €20 000 e restituisce €15 000, €11 500 alla fine degli anni da 1 a 2. Trova il suo tasso interno di rendimento IRR in percentuale.
CF0 = −20 000CF1 = 15 000CF2 = 11 500
IRR = %
5.Prezzo e rendimento delle obbligazioniMedia
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 paga una cedola annua del 8% in due rate semestrali e scade tra 3 anni. Il rendimento a scadenza è del 3,5% annuo. Trova il prezzo P dell’obbligazione.
F = €1 000cedola = 8%YTM = 3,5%n = 3
P = €
6.Prezzo e rendimento delle obbligazioniDifficile
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 e cedola annua del 5% scade tra 9 anni e quota €1 155. Trova il suo rendimento a scadenza YTM in percentuale.
F = €1 000cedola = 5%n = 9P = €1 155
YTM = %
7.CAPM e WACCMedia
Un’azione con un beta di 2 ha un rendimento richiesto del 15%. Il tasso privo di rischio è del 3%. Quale rendimento atteso del mercato rm implica il CAPM?
β = 2re = 15%rf = 3%
rm = %
8.CAPM e WACCDifficile
Un’azienda ha capitale proprio con un valore di mercato di €15 000 000 e un costo del capitale proprio del 14%. Il suo debito è costituito da 4 000 obbligazioni (valore nominale €1 000, cedola annua 7%, 4 anni alla scadenza) quotate €967 ciascuna. L’aliquota fiscale è del 30%. Trova il WACC, usando il rendimento a scadenza delle obbligazioni come costo del debito al lordo delle imposte.
Un’azienda vende 750 unità a €10 l’una. Il costo variabile è €8 per unità e i costi fissi sono €1 000. Trova il grado di leva operativa DOL a questo livello di vendite.
Q = 750p = €10v = €8F = €1 000
DOL =
10.Analisi del punto di pareggioDifficile
Un’azienda vende due prodotti. Il prodotto A si vende a €16 con un costo variabile di €10; il prodotto B si vende a €25 con un costo variabile di €10. Si vendono in un mix fisso di 4 unità di A ogni 1 di B. I costi fissi sono €23 400 al mese. Trova il numero totale di unità Q (A e B insieme) necessario per il pareggio.
pA = €16, vA = €10pB = €25, vB = €10A : B = 4 : 1F = €23 400
Q = unità
3Soluzioni
1.Valore temporale del denaro
Risposta: PV = 50000 €
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Ciò che resta da pagare deve essere estinto esattamente dalle rate rimanenti.
N − k = 300 − 96 = 204
B = 1518·(1 − (1 + 0,003)−204)/0,003 = €231 363,52
Risposta
B = €231 363,52
3.VAN e TIR
Risposta: DPB = 3,709 anni
Periodo di recupero (payback): il tempo necessario perché i flussi di cassa cumulati ripaghino l’investimento iniziale. Si assume che la liquidità entri in modo uniforme durante ogni anno, quindi l’ultima parte è una frazione d’anno. Il payback semplice ignora il valore temporale del denaro; il payback attualizzato usa invece i flussi di cassa attualizzati.
Flussi di cassa attualizzati e cumulati
anno 1: 11 500/1,06 = 10 849,06 → Σ = 10 849,06
anno 2: 18 500/1,124 = 16 464,93 → Σ = 27 313,99
anno 3: 20 000/1,191 = 16 792,39 → Σ = 44 106,38
anno 4: 10 500/1,262 = 8 316,98 → Σ = 52 423,36
Frazione dell’ultimo anno
DPB = 3 + 5 893,62/8 316,98 = 3,709
Risposta
DPB = 3,709 anni
Il payback attualizzato è sempre più lungo del payback semplice (3 anni).
4.VAN e TIR
Risposta: IRR = 22,09 %
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Delimitare il TIR
Il VAN scende quando il tasso sale, quindi il TIR sta tra un tasso con VAN positivo e uno con VAN negativo.
NPV(20%) = 486,11
NPV(25%) = −640,00
Restringere
L'interpolazione lineare dà una prima stima; ripeterla (o usare la funzione TIR di una calcolatrice) dà il tasso esatto.
IRR ≈ 20 + 5·486,11/(486,11 − (−640,00)) = 22,16%
esatto: NPV(22,09%) = 0 → IRR = 22,09%
Risposta
IRR = 22,09%
5.Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Risposta: P = 1127 €
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Per periodo
C = €40,00, i = 0,0175, N = 6
Valore attuale delle cedole
€40,00·(1 − 0,9011)/0,0175 = €225,96
Valore attuale del valore nominale
€1 000·0,9011 = €901,14
Prezzo
P = €1 127,10
Risposta
P = €1 127,10
Il rendimento è inferiore al tasso cedolare, quindi l’obbligazione quota sopra la pari (a premio).
6.Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Risposta: YTM = 3,008 %
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Equazione del rendimento
€1 155 = €50·(1 − (1 + y)⁻⁹)/y + €1 000/(1 + y)⁹
Risolvi numericamente
P(3%) = €1 155,72, P(4%) = €1 074,35
YTM = 3,008%
Risposta
YTM = 3,008%
7.CAPM e WACC
Risposta: rm = 9 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Premio per il rischio di mercato
rm − rf = (15% − 3%)/2 = 6%
Rendimento di mercato
rm = 3% + 6% = 9%
Risposta
rm = 9%
8.CAPM e WACC
Risposta: WACC = 12,28 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Leva operativa: i costi fissi fanno reagire l’utile più intensamente delle vendite. Il grado di leva operativa DOL = margine di contribuzione/utile operativo indica che una variazione dell’1% delle vendite fa variare l’utile del DOL %. È molto alto appena sopra il pareggio e diminuisce al crescere delle vendite.
Margine di contribuzione totale
CM = 750·(10 − 8) = €1 500
Utile operativo
Π = 1 500 − 1 000 = €500
DOL
DOL = 1 500/500 = 3
Risposta
DOL = 3
10.Analisi del punto di pareggio
Risposta: Q = 3000 unità
Pareggio con un mix di vendita: quando i prodotti si vendono in un rapporto fisso, usa il margine di contribuzione medio ponderato: pondera il p − v di ogni prodotto con la sua quota di unità. Unità di pareggio = F/(margine di contribuzione ponderato), poi ripartite di nuovo secondo il rapporto del mix.