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1Formule e metodi
Valore temporale del denaro
Valore futuro
FV = PV·(1 + i)n
Valore attuale
PV = FV/(1 + i)n
Più periodi all’anno
i = r/m, N = m·n
Rendita, valore attuale
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Rendita, valore futuro
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Metodo
Disegna una linea temporale con ogni flusso di cassa e la sua scadenza.
Abbina il tasso al periodo: un tasso mensile per pagamenti mensili.
Usa FV = PV·(1 + i)ⁿ per importi singoli e le formule delle rendite per pagamenti costanti.
Controlla il segno e l’ordine di grandezza della risposta.
VAN e TIR
Valore attuale netto
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Flussi uguali
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Tasso interno di rendimento
il r per cui NPV = 0
Decisione
accetta se NPV > 0 (o IRR > rendimento richiesto)
Metodo
Elenca tutti i flussi di cassa con il loro anno; l’investimento all’anno 0 è negativo.
Sconta ogni flusso di cassa: CFt/(1 + r)t.
Sommali per ottenere il VAN. Positivo significa che il progetto rende più di r.
Per il TIR, trova per tentativi o per interpolazione il tasso che annulla il VAN.
Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Prezzo dell’obbligazione
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Cedole semestrali
C/2, y/2 e 2n periodi
Rendimento corrente
C/P
Prezzo e rendimento
rendimento su → prezzo giù
Metodo
Trova la cedola per periodo e il rendimento per periodo.
Prezzo = valore attuale delle cedole (una rendita) + valore attuale del valore nominale.
Per cedole semestrali usa metà cedola, metà rendimento e il doppio dei periodi.
Verifica: se il rendimento è superiore al tasso cedolare, il prezzo è inferiore al valore nominale.
CAPM e WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Valore dell’impresa
V = E + D
Analisi del punto di pareggio
Margine di contribuzione
CM = p − v
Quantità di pareggio
QBE = FC/(p − v)
Utile obiettivo
Q = (FC + profit)/(p − v)
Utile
π = (p − v)·Q − FC
Margine di sicurezza
(Q − QBE)/Q
2Esercizi
1.Valore temporale del denaroMedia
Si prevede che un immobile renda un affitto netto di €2 000 il prossimo anno. Si prevede che l’affitto cresca del 4% annuo per sempre. Il rendimento richiesto è il 8% annuo. Trova il valore PV dell’immobile oggi.
C1 = €2 000g = 4%r = 8%
PV = €
2.Valore temporale del denaroDifficile
Risparmi €50 alla fine di ogni mese per 11 anni. Il conto rende il 7,2 % annuo, capitalizzato mensilmente. Quanto hai risparmiato alla fine? Trova FV.
A = €507,2% / 12N = 132
FV = €
3.VAN e TIRMedia
Un investimento di €30 000 genera questi flussi alla fine degli anni da 1 a 3: €11 000, €8 000, €6 000. Il costo del capitale è del 9 %. Trova il valore attuale netto NPV.
Un progetto costa €40 000 e rende €16 500, €15 000, €20 500 alla fine degli anni da 1 a 3. I flussi di cassa possono essere reinvestiti al costo del capitale del 8%. Trova il tasso interno di rendimento modificato MIRR in percentuale.
Acquisti un’obbligazione con 8 anni alla scadenza (valore nominale €1 000, cedola annua 4,5%) quando il suo rendimento a scadenza è del 8%. Un anno dopo, subito dopo aver incassato la prima cedola, la vendi quando il rendimento a scadenza è del 8,5%. Trova il tuo rendimento del periodo di detenzione HPR in percentuale.
F = €1 000cedola = 4,5%n = 8y0 = 8%y1 = 8,5%
HPR = %
6.Prezzo e rendimento delle obbligazioniDifficile
Un’obbligazione è quotata €1 070 con un rendimento a scadenza del 7% (capitalizzazione annuale) e una duration di Macaulay di 3,5 anni. Usa la duration modificata per stimare il nuovo prezzo P se il rendimento aumenta di 50 punti base.
P0 = €1 070y = 7%D = 3,5Δy = +50 bp
P = €
7.CAPM e WACCMedia
Un’azienda ha capitale proprio per €2 000 000 e debito per €3 000 000. Il costo del capitale proprio è del 9%, il costo del debito al lordo delle imposte è del 3% e l’aliquota fiscale è del 28%. Trova il WACC.
E = €2 000 000D = €3 000 000re = 9%rd = 3%T = 28%
WACC = %
8.CAPM e WACCDifficile
Un’azienda ha capitale proprio con un valore di mercato di €6 000 000 e un costo del capitale proprio del 13%. Il suo debito è costituito da 4 000 obbligazioni (valore nominale €1 000, cedola annua 7%, 12 anni alla scadenza) quotate €961 ciascuna. L’aliquota fiscale è del 21%. Trova il WACC, usando il rendimento a scadenza delle obbligazioni come costo del debito al lordo delle imposte.
Un prodotto si vende a €9 con un costo variabile di €4 per unità. I costi fissi sono €7 500 al mese e l’utile è tassato al 20%. Quante unità Q si devono vendere al mese per guadagnare €1 500 al netto delle imposte?
p = €9v = €4F = €7 500T = 20%utile al netto delle imposte = €1 500
Q = unità
10.Analisi del punto di pareggioDifficile
Un prodotto si vende a €20 l'unità, con un costo variabile di €15 per unità e costi fissi di €20 000 all'anno. Le vendite a budget sono 6 000 unità. Trova il margine di sicurezza MS in percentuale delle vendite a budget.
F = €20 000p = €20v = €15budget = 6 000
MS = %
3Soluzioni
1.Valore temporale del denaro
Risposta: PV = 50000 €
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Valore attuale di ogni flusso
CF0 = −30 000
CF1/(1 + 0,09)1 = 11 000/1,09 = 10 091,74
CF2/(1 + 0,09)2 = 8 000/1,188 = 6 733,44
CF3/(1 + 0,09)3 = 6 000/1,295 = 4 633,10
Sommali
NPV = €−8 541,72
Risposta
NPV = €−8 541,72
Il VAN è negativo, quindi il progetto rende meno del rendimento richiesto.
4.VAN e TIR
Risposta: MIRR = 11,83 %
TIR modificato: capitalizza ogni entrata fino alla fine del progetto al tasso di reinvestimento (di solito il costo del capitale) per ottenere il valore finale TV. Il MIRR è il tasso che trasforma l’investimento iniziale in TV: MIRR = (TV/C₀)^(1/n) − 1.
Valore finale delle entrate
16 500·1,082 = 19 245,60
15 000·1,081 = 16 200,00
20 500·1,080 = 20 500,00
TV = 55 945,60
MIRR
MIRR = (55 945,60/40 000)1/3 − 1 = 11,83%
Risposta
MIRR = 11,83%
5.Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Risposta: HPR = 5,181 %
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Duration: la duration di Macaulay è il tempo medio ponderato in cui un’obbligazione paga i suoi flussi di cassa, con i valori attuali dei flussi come pesi: D = Σ t·PVₜ/P. La duration modificata D/(1 + y) stima la variazione percentuale del prezzo per una piccola variazione del rendimento: %ΔP ≈ −Dmod·Δy.
Duration modificata
Dmod = 3,5/1,07 = 3,271
Variazione stimata del prezzo
%ΔP ≈ −3,271·(0,005) = −1,636%
P ≈ 1070·(1 − 0,01636) = €1 052,50
Risposta
P = €1 052,50
La duration è una stima lineare; per grandi variazioni del rendimento la convessità rende il prezzo effettivo un po’ più alto.
7.CAPM e WACC
Risposta: WACC = 4,896 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Pesi
V = €5 000 000, E/V = 0,4, D/V = 0,6
WACC
WACC = 0,4·9% + 0,6·3%·(1 − 0,28) = 4,896%
Risposta
WACC = 4,896%
8.CAPM e WACC
Risposta: WACC = 10,24 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Costi-volumi-risultati: ogni unità venduta porta un margine di contribuzione, prezzo meno costo variabile unitario. Utile = Q·(p − v) − F, dove F è il costo fisso. Al punto di pareggio l'utile è zero, quindi Q = F/(p − v).
Utile al lordo delle imposte necessario
1 500/(1 − 0,2) = €1 875
Unità necessarie
Q = (7 500 + 1 875)/5 = 1 875
Risposta
Q = 1 875 unità
10.Analisi del punto di pareggio
Risposta: MS = 33,33 %
Costi-volumi-risultati: ogni unità venduta porta un margine di contribuzione, prezzo meno costo variabile unitario. Utile = Q·(p − v) − F, dove F è il costo fisso. Al punto di pareggio l'utile è zero, quindi Q = F/(p − v).