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1Formule e metodi
Valore temporale del denaro
Valore futuro
FV = PV·(1 + i)n
Valore attuale
PV = FV/(1 + i)n
Più periodi all’anno
i = r/m, N = m·n
Rendita, valore attuale
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Rendita, valore futuro
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Metodo
Disegna una linea temporale con ogni flusso di cassa e la sua scadenza.
Abbina il tasso al periodo: un tasso mensile per pagamenti mensili.
Usa FV = PV·(1 + i)ⁿ per importi singoli e le formule delle rendite per pagamenti costanti.
Controlla il segno e l’ordine di grandezza della risposta.
VAN e TIR
Valore attuale netto
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Flussi uguali
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Tasso interno di rendimento
il r per cui NPV = 0
Decisione
accetta se NPV > 0 (o IRR > rendimento richiesto)
Metodo
Elenca tutti i flussi di cassa con il loro anno; l’investimento all’anno 0 è negativo.
Sconta ogni flusso di cassa: CFt/(1 + r)t.
Sommali per ottenere il VAN. Positivo significa che il progetto rende più di r.
Per il TIR, trova per tentativi o per interpolazione il tasso che annulla il VAN.
Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Prezzo dell’obbligazione
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Cedole semestrali
C/2, y/2 e 2n periodi
Rendimento corrente
C/P
Prezzo e rendimento
rendimento su → prezzo giù
Metodo
Trova la cedola per periodo e il rendimento per periodo.
Prezzo = valore attuale delle cedole (una rendita) + valore attuale del valore nominale.
Per cedole semestrali usa metà cedola, metà rendimento e il doppio dei periodi.
Verifica: se il rendimento è superiore al tasso cedolare, il prezzo è inferiore al valore nominale.
CAPM e WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Valore dell’impresa
V = E + D
Analisi del punto di pareggio
Margine di contribuzione
CM = p − v
Quantità di pareggio
QBE = FC/(p − v)
Utile obiettivo
Q = (FC + profit)/(p − v)
Utile
π = (p − v)·Q − FC
Margine di sicurezza
(Q − QBE)/Q
2Esercizi
1.Valore temporale del denaroMedia
Una rendita paga €3 000 alla fine di ogni anno per 5 anni. Il tasso di interesse è il 3% annuo. Trova il valore attuale PV della rendita.
A = €3 000i = 3%n = 5
PV = €
2.Valore temporale del denaroDifficile
Risparmi €250 alla fine di ogni mese per 25 anni. Il conto rende il 4,2 % annuo, capitalizzato mensilmente. Quanto hai risparmiato alla fine? Trova FV.
A = €2504,2% / 12N = 300
FV = €
3.VAN e TIRMedia
Un investimento di €45 000 genera questi flussi alla fine degli anni da 1 a 3: €15 000, €13 000, €15 000. Il costo del capitale è del 8 %. Trova il valore attuale netto NPV.
Un progetto costa €80 000 oggi. Il suo flusso di cassa è €12 000 alla fine dell’anno 1 e cresce del 2% annuo fino all’ultimo flusso alla fine dell’anno 8. Il costo del capitale è il 10%. Trova il valore attuale netto NPV.
C0 = €80 000CF1 = €12 000g = 2%n = 8r = 10%
NPV = €
5.Prezzo e rendimento delle obbligazioniMedia
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 paga una cedola annua di 2% e scade tra 4 anni. Il suo rendimento a scadenza passa dal 6% al 5%. Di quanto ΔP varia il prezzo dell’obbligazione?
F = €1 000cedola = 2%n = 4y1 = 6%y2 = 5%
ΔP = €
6.Prezzo e rendimento delle obbligazioniDifficile
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 e cedola annua del 8% scade tra 8 anni e quota €870. Trova il suo rendimento a scadenza YTM in percentuale.
F = €1 000cedola = 8%n = 8P = €870
YTM = %
7.CAPM e WACCMedia
Un’azienda ha capitale proprio per €3 000 000 e debito per €5 000 000. Il costo del capitale proprio è del 9%, il costo del debito al lordo delle imposte è del 3,5% e l’aliquota fiscale è del 30%. Trova il WACC.
Un’azienda ha 4 000 000 azioni da €42,50 ciascuna e 20 000 obbligazioni quotate €960 ciascuna. Il costo del debito al lordo delle imposte è del 7% e l’aliquota fiscale è del 25%. Il beta dell’azione è 1,1, il tasso privo di rischio è del 3,5% e il rendimento di mercato è del 10,5%. Trova il WACC.
β = 1,1rf = 3,5%rm = 10,5%rd = 7%T = 25%
WACC = %
9.Analisi del punto di pareggioMedia
Un prodotto si vende a €60 con un costo variabile di €45 per unità. I costi fissi sono €30 000 al mese e l’utile è tassato al 20%. Quante unità Q si devono vendere al mese per guadagnare €9 000 al netto delle imposte?
p = €60v = €45F = €30 000T = 20%utile al netto delle imposte = €9 000
Q = unità
10.Analisi del punto di pareggioDifficile
Un prodotto si vende a €15 l'unità, con un costo variabile di €12 per unità e costi fissi di €4 500 all'anno. Le vendite a budget sono 2 400 unità. Trova il margine di sicurezza MS in percentuale delle vendite a budget.
F = €4 500p = €15v = €12budget = 2 400
MS = %
3Soluzioni
1.Valore temporale del denaro
Risposta: PV = 13739 €
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Fattore di rendita
(1 − (1 + i)−n)/i = (1 − 0,8626)/0,03 = 4,58
Valore attuale
PV = 3 000·4,58 = €13 739,12
Risposta
PV = €13 739,12
2.Valore temporale del denaro
Risposta: FV = 132316 €
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Valore attuale di ogni flusso
CF0 = −45 000
CF1/(1 + 0,08)1 = 15 000/1,08 = 13 888,89
CF2/(1 + 0,08)2 = 13 000/1,166 = 11 145,40
CF3/(1 + 0,08)3 = 15 000/1,26 = 11 907,48
Sommali
NPV = €−8 058,22
Risposta
NPV = €−8 058,22
Il VAN è negativo, quindi il progetto rende meno del rendimento richiesto.
4.VAN e TIR
Risposta: NPV = −11988 €
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Valore attuale della rendita crescente
((1,02)/(1,1))8 = 0,5466
PV = 12 000/(0,1 − 0,02)·(1 − 0,5466) = 68 011,84
NPV
NPV = 68 011,84 − 80 000 = −€11 988,16
Risposta
NPV = −€11 988,16
Il VAN è negativo, quindi il progetto rende meno del rendimento richiesto.
5.Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Risposta: ΔP = 32,23 €
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Equazione del rendimento
€870 = €80·(1 − (1 + y)⁻⁸)/y + €1 000/(1 + y)⁸
Risolvi numericamente
P(10%) = €893,30, P(11%) = €845,62
YTM = 10,48%
Risposta
YTM = 10,48%
7.CAPM e WACC
Risposta: WACC = 4,906 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Pesi
V = €8 000 000, E/V = 0,375, D/V = 0,625
WACC
WACC = 0,375·9% + 0,625·3,5%·(1 − 0,3) = 4,906%
Risposta
WACC = 4,906%
8.CAPM e WACC
Risposta: WACC = 10,6 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Costi-volumi-risultati: ogni unità venduta porta un margine di contribuzione, prezzo meno costo variabile unitario. Utile = Q·(p − v) − F, dove F è il costo fisso. Al punto di pareggio l'utile è zero, quindi Q = F/(p − v).
Utile al lordo delle imposte necessario
9 000/(1 − 0,2) = €11 250
Unità necessarie
Q = (30 000 + 11 250)/15 = 2 750
Risposta
Q = 2 750 unità
10.Analisi del punto di pareggio
Risposta: MS = 37,5 %
Costi-volumi-risultati: ogni unità venduta porta un margine di contribuzione, prezzo meno costo variabile unitario. Utile = Q·(p − v) − F, dove F è il costo fisso. Al punto di pareggio l'utile è zero, quindi Q = F/(p − v).