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1Formule e metodi
Valore temporale del denaro
Valore futuro
FV = PV·(1 + i)n
Valore attuale
PV = FV/(1 + i)n
Più periodi all’anno
i = r/m, N = m·n
Rendita, valore attuale
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Rendita, valore futuro
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Metodo
Disegna una linea temporale con ogni flusso di cassa e la sua scadenza.
Abbina il tasso al periodo: un tasso mensile per pagamenti mensili.
Usa FV = PV·(1 + i)ⁿ per importi singoli e le formule delle rendite per pagamenti costanti.
Controlla il segno e l’ordine di grandezza della risposta.
VAN e TIR
Valore attuale netto
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Flussi uguali
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Tasso interno di rendimento
il r per cui NPV = 0
Decisione
accetta se NPV > 0 (o IRR > rendimento richiesto)
Metodo
Elenca tutti i flussi di cassa con il loro anno; l’investimento all’anno 0 è negativo.
Sconta ogni flusso di cassa: CFt/(1 + r)t.
Sommali per ottenere il VAN. Positivo significa che il progetto rende più di r.
Per il TIR, trova per tentativi o per interpolazione il tasso che annulla il VAN.
Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Prezzo dell’obbligazione
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Cedole semestrali
C/2, y/2 e 2n periodi
Rendimento corrente
C/P
Prezzo e rendimento
rendimento su → prezzo giù
Metodo
Trova la cedola per periodo e il rendimento per periodo.
Prezzo = valore attuale delle cedole (una rendita) + valore attuale del valore nominale.
Per cedole semestrali usa metà cedola, metà rendimento e il doppio dei periodi.
Verifica: se il rendimento è superiore al tasso cedolare, il prezzo è inferiore al valore nominale.
CAPM e WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Valore dell’impresa
V = E + D
Analisi del punto di pareggio
Margine di contribuzione
CM = p − v
Quantità di pareggio
QBE = FC/(p − v)
Utile obiettivo
Q = (FC + profit)/(p − v)
Utile
π = (p − v)·Q − FC
Margine di sicurezza
(Q − QBE)/Q
2Esercizi
1.Valore temporale del denaroMedia
Si prevede che un immobile renda un affitto netto di €5 000 il prossimo anno. Si prevede che l’affitto cresca del 1,5% annuo per sempre. Il rendimento richiesto è il 5,5% annuo. Trova il valore PV dell’immobile oggi.
C1 = €5 000g = 1,5%r = 5,5%
PV = €
2.Valore temporale del denaroDifficile
Risparmi €50 alla fine di ogni mese per 7 anni. Il conto rende il 6 % annuo, capitalizzato mensilmente. Quanto hai risparmiato alla fine? Trova FV.
A = €506% / 12N = 84
FV = €
3.VAN e TIRMedia
Un progetto costa €50 000 oggi e rende €15 000 alla fine di ogni anno per 5 anni. Il costo del capitale è il 10%. Supponi che i flussi di cassa arrivino in modo uniforme durante ogni anno. Trova il periodo di recupero attualizzato DPB in anni.
Un progetto costa €25 000 e restituisce €12 500, €16 000, €16 500 alla fine degli anni da 1 a 3. Trova il suo tasso interno di rendimento IRR in percentuale.
CF0 = −25 000CF1 = 12 500CF2 = 16 000CF3 = 16 500
IRR = %
5.Prezzo e rendimento delle obbligazioniMedia
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 paga una cedola annua di 4% e scade tra 7 anni. Il suo rendimento a scadenza passa dal 7% al 6,5%. Di quanto ΔP varia il prezzo dell’obbligazione?
F = €1 000cedola = 4%n = 7y1 = 7%y2 = 6,5%
ΔP = €
6.Prezzo e rendimento delle obbligazioniDifficile
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 e cedola annua del 8% scade tra 6 anni e quota €915. Trova il suo rendimento a scadenza YTM in percentuale.
F = €1 000cedola = 8%n = 6P = €915
YTM = %
7.CAPM e WACCMedia
Un’azienda ha capitale proprio per €5 000 000 e debito per €5 000 000. Il costo del capitale proprio è del 13%, il costo del debito al lordo delle imposte è del 6% e l’aliquota fiscale è del 20%. Trova il WACC.
Un’azienda ha 1 000 000 azioni quotate €36,00; il valore contabile del suo capitale proprio è €14 400 000. Ha appena pagato un dividendo di €2,30 per azione, e i dividendi crescono del 2% all’anno. Il suo debito ha un valore di mercato di €36 000 000 e un costo al lordo delle imposte del 3%. L’aliquota fiscale è del 25,8%. Trova il WACC, usando il modello di crescita dei dividendi per il costo del capitale proprio.
Un prodotto si vende a €35 l'unità con un costo variabile di €25 per unità. I costi fissi sono €5 000 al mese. Quante unità Q vanno vendute al mese per ottenere un utile di €2 000?
F = €5 000p = €35v = €25utile = €2 000
Q = unità
10.Analisi del punto di pareggioDifficile
Un prodotto si vende a €49 l'unità, con un costo variabile di €45 per unità e costi fissi di €2 000 all'anno. Le vendite a budget sono 800 unità. Trova il margine di sicurezza MS in percentuale delle vendite a budget.
F = €2 000p = €49v = €45budget = 800
MS = %
3Soluzioni
1.Valore temporale del denaro
Risposta: PV = 125000 €
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Periodo di recupero (payback): il tempo necessario perché i flussi di cassa cumulati ripaghino l’investimento iniziale. Si assume che la liquidità entri in modo uniforme durante ogni anno, quindi l’ultima parte è una frazione d’anno. Il payback semplice ignora il valore temporale del denaro; il payback attualizzato usa invece i flussi di cassa attualizzati.
Flussi di cassa attualizzati e cumulati
anno 1: 15 000/1,1 = 13 636,36 → Σ = 13 636,36
anno 2: 15 000/1,21 = 12 396,69 → Σ = 26 033,06
anno 3: 15 000/1,331 = 11 269,72 → Σ = 37 302,78
anno 4: 15 000/1,464 = 10 245,20 → Σ = 47 547,98
anno 5: 15 000/1,611 = 9 313,82 → Σ = 56 861,80
Frazione dell’ultimo anno
DPB = 4 + 2 452,02/9 313,82 = 4,263
Risposta
DPB = 4,263 anni
Il payback attualizzato è sempre più lungo del payback semplice (3,333 anni).
4.VAN e TIR
Risposta: IRR = 34,27 %
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Delimitare il TIR
Il VAN scende quando il tasso sale, quindi il TIR sta tra un tasso con VAN positivo e uno con VAN negativo.
NPV(30%) = 1 593,08
NPV(35%) = −255,30
Restringere
L'interpolazione lineare dà una prima stima; ripeterla (o usare la funzione TIR di una calcolatrice) dà il tasso esatto.
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Equazione del rendimento
€915 = €80·(1 − (1 + y)⁻⁶)/y + €1 000/(1 + y)⁶
Risolvi numericamente
P(9%) = €955,14, P(10%) = €912,89
YTM = 9,949%
Risposta
YTM = 9,949%
7.CAPM e WACC
Risposta: WACC = 8,9 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Pesi
V = €10 000 000, E/V = 0,5, D/V = 0,5
WACC
WACC = 0,5·13% + 0,5·6%·(1 − 0,2) = 8,9%
Risposta
WACC = 8,9%
8.CAPM e WACC
Risposta: WACC = 5,371 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Costo del capitale proprio
D1 = 2,3·1,02 = €2,35
re = 2,346/36 + 0,02 = 8,517%
Valori di mercato
E = 1 000 000·€36,00 = €36 000 000
V = €72 000 000, E/V = 0,5, D/V = 0,5
WACC
WACC = 0,5·8,517% + 0,5·3%·(1 − 0,258) = 5,371%
Risposta
WACC = 5,371%
9.Analisi del punto di pareggio
Risposta: Q = 700 unità
Costi-volumi-risultati: ogni unità venduta porta un margine di contribuzione, prezzo meno costo variabile unitario. Utile = Q·(p − v) − F, dove F è il costo fisso. Al punto di pareggio l'utile è zero, quindi Q = F/(p − v).
Costi-volumi-risultati: ogni unità venduta porta un margine di contribuzione, prezzo meno costo variabile unitario. Utile = Q·(p − v) − F, dove F è il costo fisso. Al punto di pareggio l'utile è zero, quindi Q = F/(p − v).