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1Formule e metodi
Valore temporale del denaro
Valore futuro
FV = PV·(1 + i)n
Valore attuale
PV = FV/(1 + i)n
Più periodi all’anno
i = r/m, N = m·n
Rendita, valore attuale
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Rendita, valore futuro
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Metodo
Disegna una linea temporale con ogni flusso di cassa e la sua scadenza.
Abbina il tasso al periodo: un tasso mensile per pagamenti mensili.
Usa FV = PV·(1 + i)ⁿ per importi singoli e le formule delle rendite per pagamenti costanti.
Controlla il segno e l’ordine di grandezza della risposta.
VAN e TIR
Valore attuale netto
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Flussi uguali
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Tasso interno di rendimento
il r per cui NPV = 0
Decisione
accetta se NPV > 0 (o IRR > rendimento richiesto)
Metodo
Elenca tutti i flussi di cassa con il loro anno; l’investimento all’anno 0 è negativo.
Sconta ogni flusso di cassa: CFt/(1 + r)t.
Sommali per ottenere il VAN. Positivo significa che il progetto rende più di r.
Per il TIR, trova per tentativi o per interpolazione il tasso che annulla il VAN.
Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Prezzo dell’obbligazione
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Cedole semestrali
C/2, y/2 e 2n periodi
Rendimento corrente
C/P
Prezzo e rendimento
rendimento su → prezzo giù
Metodo
Trova la cedola per periodo e il rendimento per periodo.
Prezzo = valore attuale delle cedole (una rendita) + valore attuale del valore nominale.
Per cedole semestrali usa metà cedola, metà rendimento e il doppio dei periodi.
Verifica: se il rendimento è superiore al tasso cedolare, il prezzo è inferiore al valore nominale.
CAPM e WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Valore dell’impresa
V = E + D
Analisi del punto di pareggio
Margine di contribuzione
CM = p − v
Quantità di pareggio
QBE = FC/(p − v)
Utile obiettivo
Q = (FC + profit)/(p − v)
Utile
π = (p − v)·Q − FC
Margine di sicurezza
(Q − QBE)/Q
2Esercizi
1.Valore temporale del denaroMedia
Si prevede che un immobile renda un affitto netto di €8 000 il prossimo anno. Si prevede che l’affitto cresca del 3% annuo per sempre. Il rendimento richiesto è il 6% annuo. Trova il valore PV dell’immobile oggi.
C1 = €8 000g = 3%r = 6%
PV = €
2.Valore temporale del denaroDifficile
Un prestito di €150 000 viene rimborsato con rate mensili costanti in 20 anni. Il tasso d'interesse è del 6 % annuo, capitalizzato mensilmente. Trova la rata mensile A.
P = €150 0006% / 12N = 240
A = €
3.VAN e TIRMedia
Un investimento di €75 000 genera questi flussi alla fine degli anni da 1 a 4: €27 000, €19 000, €27 000, €30 000. Il costo del capitale è del 15 %. Trova il valore attuale netto NPV.
Un progetto costa €40 000 e restituisce €24 500, €25 500 alla fine degli anni da 1 a 2. Trova il suo tasso interno di rendimento IRR in percentuale.
CF0 = −40 000CF1 = 24 500CF2 = 25 500
IRR = %
5.Prezzo e rendimento delle obbligazioniMedia
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 scade tra 9 anni e paga cedole annuali. Viene venduta a €858 quando il rendimento a scadenza è del 5%. Trova il tasso cedolare c in percentuale.
F = €1 000n = 9P = €858YTM = 5%
c = %
6.Prezzo e rendimento delle obbligazioniDifficile
Un’obbligazione con 15 anni alla scadenza (valore nominale €1 000, cedola annua 5%) viene venduta a €1 111. L’emittente può rimborsarla anticipatamente tra 3 anni a un prezzo di richiamo di €1 050. Trova il rendimento al richiamo YTC in percentuale.
F = €1 000cedola = 5%P = €1 111prezzo di richiamo = €1 050richiamo tra 3 anni
YTC = %
7.CAPM e WACCMedia
Un’azienda ha capitale proprio per €4 000 000 e debito per €5 000 000. Il costo del capitale proprio è del 10%, il costo del debito al lordo delle imposte è del 7% e l’aliquota fiscale è del 25%. Trova il WACC.
Un’azienda ha 1 000 000 azioni quotate €29,00; il valore contabile del suo capitale proprio è €11 600 000. Ha appena pagato un dividendo di €1,80 per azione, e i dividendi crescono del 3% all’anno. Il suo debito ha un valore di mercato di €17 400 000 e un costo al lordo delle imposte del 3%. L’aliquota fiscale è del 28%. Trova il WACC, usando il modello di crescita dei dividendi per il costo del capitale proprio.
Un’azienda vende 2 500 unità a €18 l’una. Il costo variabile è €6 per unità e i costi fissi sono €12 000. Trova il grado di leva operativa DOL a questo livello di vendite.
Q = 2 500p = €18v = €6F = €12 000
DOL =
10.Analisi del punto di pareggioDifficile
Un’azienda vende 3 750 unità a €60 l’una, con un costo variabile di €45 per unità e costi fissi di €37 500. Di quale percentuale %ΔΠ varia l’utile operativo se il volume delle vendite aumenta del 15%?
Q = 3 750p = €60v = €45F = €37 500%ΔQ = +15%
%ΔΠ = %
3Soluzioni
1.Valore temporale del denaro
Risposta: PV = 266667 €
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Tasso mensile e numero di rate
i = 0,06/12 = 0,005
N = 12·20 = 240
Rata
Il valore attuale di N pagamenti uguali A è A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Ponilo uguale al prestito e ricava A.
(1 + i)−N = 0,3021
A = 150 000·0,005/(1 − 0,3021) = €1 074,65
Risposta
A = €1 074,65
3.VAN e TIR
Risposta: NPV = −2249 €
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Valore attuale di ogni flusso
CF0 = −75 000
CF1/(1 + 0,15)1 = 27 000/1,15 = 23 478,26
CF2/(1 + 0,15)2 = 19 000/1,322 = 14 366,73
CF3/(1 + 0,15)3 = 27 000/1,521 = 17 752,94
CF4/(1 + 0,15)4 = 30 000/1,749 = 17 152,60
Sommali
NPV = €−2 249,47
Risposta
NPV = €−2 249,47
Il VAN è negativo, quindi il progetto rende meno del rendimento richiesto.
4.VAN e TIR
Risposta: IRR = 16,14 %
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Delimitare il TIR
Il VAN scende quando il tasso sale, quindi il TIR sta tra un tasso con VAN positivo e uno con VAN negativo.
NPV(15%) = 586,01
NPV(20%) = −1 875,00
Restringere
L'interpolazione lineare dà una prima stima; ripeterla (o usare la funzione TIR di una calcolatrice) dà il tasso esatto.
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Valore attuale del valore nominale
1000·(1 + 0,05)−9 = €644,61
Cedola
C = (858 − 644,61)/7,108 = €30,02
Tasso cedolare
c = 30,02/1000 = 3,002%
Risposta
c = 3,002%
6.Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Risposta: YTC = 2,719 %
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Equazione del rendimento
1111 = 50·(1 − (1 + y)−3)/y + 1050/(1 + y)3
Risolvi numericamente
y = 2%: €1 133,63
y = 3%: €1 102,33
YTC = 2,719%
Risposta
YTC = 2,719%
Il rendimento a scadenza è del 4,002%. Chi investe in un’obbligazione sopra la pari si aspetta che venga richiamata, quindi il rendimento al richiamo, più basso, è quello più realistico.
7.CAPM e WACC
Risposta: WACC = 7,361 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Pesi
V = €9 000 000, E/V = 0,4444, D/V = 0,5556
WACC
WACC = 0,4444·10% + 0,5556·7%·(1 − 0,25) = 7,361%
Risposta
WACC = 7,361%
8.CAPM e WACC
Risposta: WACC = 6,681 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Leva operativa: i costi fissi fanno reagire l’utile più intensamente delle vendite. Il grado di leva operativa DOL = margine di contribuzione/utile operativo indica che una variazione dell’1% delle vendite fa variare l’utile del DOL %. È molto alto appena sopra il pareggio e diminuisce al crescere delle vendite.
Margine di contribuzione totale
CM = 2 500·(18 − 6) = €30 000
Utile operativo
Π = 30 000 − 12 000 = €18 000
DOL
DOL = 30 000/18 000 = 1,667
Risposta
DOL = 1,667
10.Analisi del punto di pareggio
Risposta: %ΔΠ = 45 %
Leva operativa: i costi fissi fanno reagire l’utile più intensamente delle vendite. Il grado di leva operativa DOL = margine di contribuzione/utile operativo indica che una variazione dell’1% delle vendite fa variare l’utile del DOL %. È molto alto appena sopra il pareggio e diminuisce al crescere delle vendite.