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1Formule e metodi
Valore temporale del denaro
Valore futuro
FV = PV·(1 + i)n
Valore attuale
PV = FV/(1 + i)n
Più periodi all’anno
i = r/m, N = m·n
Rendita, valore attuale
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Rendita, valore futuro
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Metodo
Disegna una linea temporale con ogni flusso di cassa e la sua scadenza.
Abbina il tasso al periodo: un tasso mensile per pagamenti mensili.
Usa FV = PV·(1 + i)ⁿ per importi singoli e le formule delle rendite per pagamenti costanti.
Controlla il segno e l’ordine di grandezza della risposta.
VAN e TIR
Valore attuale netto
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Flussi uguali
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Tasso interno di rendimento
il r per cui NPV = 0
Decisione
accetta se NPV > 0 (o IRR > rendimento richiesto)
Metodo
Elenca tutti i flussi di cassa con il loro anno; l’investimento all’anno 0 è negativo.
Sconta ogni flusso di cassa: CFt/(1 + r)t.
Sommali per ottenere il VAN. Positivo significa che il progetto rende più di r.
Per il TIR, trova per tentativi o per interpolazione il tasso che annulla il VAN.
Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Prezzo dell’obbligazione
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Cedole semestrali
C/2, y/2 e 2n periodi
Rendimento corrente
C/P
Prezzo e rendimento
rendimento su → prezzo giù
Metodo
Trova la cedola per periodo e il rendimento per periodo.
Prezzo = valore attuale delle cedole (una rendita) + valore attuale del valore nominale.
Per cedole semestrali usa metà cedola, metà rendimento e il doppio dei periodi.
Verifica: se il rendimento è superiore al tasso cedolare, il prezzo è inferiore al valore nominale.
CAPM e WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Valore dell’impresa
V = E + D
Analisi del punto di pareggio
Margine di contribuzione
CM = p − v
Quantità di pareggio
QBE = FC/(p − v)
Utile obiettivo
Q = (FC + profit)/(p − v)
Utile
π = (p − v)·Q − FC
Margine di sicurezza
(Q − QBE)/Q
2Esercizi
1.Valore temporale del denaroMedia
Investi €20 000 a un tasso nominale del 5 % annuo, capitalizzato mensilmente. Trova il valore FV dell'investimento dopo 8 anni.
PV = €20 0005% / 12n = 8
FV = €
2.Valore temporale del denaroDifficile
Versi €2 500 all’inizio di ogni anno per 10 anni, con il primo versamento oggi. Il conto rende il 8% annuo. Quanto c’è sul conto alla fine dell’anno 10? Trova FV.
A = €2 500i = 8%n = 10
FV = €
3.VAN e TIRMedia
Un investimento di €75 000 genera questi flussi alla fine degli anni da 1 a 3: €37 000, €19 000, €32 000. Il costo del capitale è del 9 %. Trova il valore attuale netto NPV.
Un investimento di €10 000 rende €3 000 alla fine di ogni anno per 7 anni. Trova il suo tasso interno di rendimento IRR in percentuale.
C0 = €10 000CF = €3 000n = 7
IRR = %
5.Prezzo e rendimento delle obbligazioniMedia
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 paga una cedola annua del 6% in due rate semestrali e scade tra 11 anni. Il rendimento a scadenza è del 3% annuo. Trova il prezzo P dell’obbligazione.
F = €1 000cedola = 6%YTM = 3%n = 11
P = €
6.Prezzo e rendimento delle obbligazioniDifficile
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 e cedola annua del 8% scade tra 5 anni e quota €905. Trova il suo rendimento a scadenza YTM in percentuale.
F = €1 000cedola = 8%n = 5P = €905
YTM = %
7.CAPM e WACCMedia
Un’azienda ha capitale proprio per €8 000 000 e debito per €6 000 000. Il costo del capitale proprio è del 13%, il costo del debito al lordo delle imposte è del 3,5% e l’aliquota fiscale è del 25,8%. Trova il WACC.
L’attività di un’azienda ha un beta unlevered (delle attività) di 1,1. Prevede un rapporto debito/capitale proprio di 1. L’aliquota fiscale è del 21%, il tasso privo di rischio è del 1% e il premio per il rischio di mercato è del 6,5%. Trova il costo del capitale proprio re con la nuova struttura del capitale.
βU = 1,1D/E = 1T = 21%rf = 1%rm − rf = 6,5%
re = %
9.Analisi del punto di pareggioMedia
Un’azienda vende 1 800 unità a €25 l’una. Il costo variabile è €20 per unità e i costi fissi sono €6 000. Trova il grado di leva operativa DOL a questo livello di vendite.
Q = 1 800p = €25v = €20F = €6 000
DOL =
10.Analisi del punto di pareggioDifficile
Un’azienda vende due prodotti. Il prodotto A si vende a €16 con un costo variabile di €12; il prodotto B si vende a €35 con un costo variabile di €20. Si vendono in un mix fisso di 3 unità di A ogni 1 di B. I costi fissi sono €8 100 al mese. Trova il numero totale di unità Q (A e B insieme) necessario per il pareggio.
pA = €16, vA = €12pB = €35, vB = €20A : B = 3 : 1F = €8 100
Q = unità
3Soluzioni
1.Valore temporale del denaro
Risposta: FV = 29812 €
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Fattore della rendita posticipata
((1 + 0,08)10 − 1)/0,08 = 14,49
Rendita anticipata
Ogni versamento resta investito un anno in più.
FV = 2 500·14,49·1,08 = €39 113,72
Risposta
FV = €39 113,72
3.VAN e TIR
Risposta: NPV = −353,3 €
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Valore attuale di ogni flusso
CF0 = −75 000
CF1/(1 + 0,09)1 = 37 000/1,09 = 33 944,95
CF2/(1 + 0,09)2 = 19 000/1,188 = 15 991,92
CF3/(1 + 0,09)3 = 32 000/1,295 = 24 709,87
Sommali
NPV = €−353,25
Risposta
NPV = €−353,25
Il VAN è negativo, quindi il progetto rende meno del rendimento richiesto.
4.VAN e TIR
Risposta: IRR = 22,93 %
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Fattore di rendita richiesto
(1 − (1 + i)−7)/i = 10 000/3 000 = 3,333
Ricava il tasso
Il fattore di rendita diminuisce al crescere del tasso; individua un intervallo per il tasso e restringilo.
i = 22%: 3,416
i = 23%: 3,327
IRR = 22,93%
Risposta
IRR = 22,93%
5.Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Risposta: P = 1279 €
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Per periodo
C = €30,00, i = 0,015, N = 22
Valore attuale delle cedole
€30,00·(1 − 0,7207)/0,015 = €558,62
Valore attuale del valore nominale
€1 000·0,7207 = €720,69
Prezzo
P = €1 279,31
Risposta
P = €1 279,31
Il rendimento è inferiore al tasso cedolare, quindi l’obbligazione quota sopra la pari (a premio).
6.Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Risposta: YTM = 10,54 %
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Equazione del rendimento
€905 = €80·(1 − (1 + y)⁻⁵)/y + €1 000/(1 + y)⁵
Risolvi numericamente
P(10%) = €924,18, P(11%) = €889,12
YTM = 10,54%
Risposta
YTM = 10,54%
7.CAPM e WACC
Risposta: WACC = 8,542 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Beta levered (Hamada): il debito rende il capitale proprio più rischioso. βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E), dove βU è il beta dell’attività senza debito. Per trasferire un beta a un’altra struttura del capitale, prima rendilo unlevered e poi ricalcolalo levered al nuovo D/E.
Beta levered
βL = 1,1·(1 + 0,79·1) = 1,969
Costo del capitale proprio (CAPM)
re = 1% + 1,969·6,5% = 13,8%
Risposta
re = 13,8%
9.Analisi del punto di pareggio
Risposta: DOL = 3
Leva operativa: i costi fissi fanno reagire l’utile più intensamente delle vendite. Il grado di leva operativa DOL = margine di contribuzione/utile operativo indica che una variazione dell’1% delle vendite fa variare l’utile del DOL %. È molto alto appena sopra il pareggio e diminuisce al crescere delle vendite.
Margine di contribuzione totale
CM = 1 800·(25 − 20) = €9 000
Utile operativo
Π = 9 000 − 6 000 = €3 000
DOL
DOL = 9 000/3 000 = 3
Risposta
DOL = 3
10.Analisi del punto di pareggio
Risposta: Q = 1200 unità
Pareggio con un mix di vendita: quando i prodotti si vendono in un rapporto fisso, usa il margine di contribuzione medio ponderato: pondera il p − v di ogni prodotto con la sua quota di unità. Unità di pareggio = F/(margine di contribuzione ponderato), poi ripartite di nuovo secondo il rapporto del mix.