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1Formule e metodi
Valore temporale del denaro
Valore futuro
FV = PV·(1 + i)n
Valore attuale
PV = FV/(1 + i)n
Più periodi all’anno
i = r/m, N = m·n
Rendita, valore attuale
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Rendita, valore futuro
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Metodo
Disegna una linea temporale con ogni flusso di cassa e la sua scadenza.
Abbina il tasso al periodo: un tasso mensile per pagamenti mensili.
Usa FV = PV·(1 + i)ⁿ per importi singoli e le formule delle rendite per pagamenti costanti.
Controlla il segno e l’ordine di grandezza della risposta.
VAN e TIR
Valore attuale netto
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Flussi uguali
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Tasso interno di rendimento
il r per cui NPV = 0
Decisione
accetta se NPV > 0 (o IRR > rendimento richiesto)
Metodo
Elenca tutti i flussi di cassa con il loro anno; l’investimento all’anno 0 è negativo.
Sconta ogni flusso di cassa: CFt/(1 + r)t.
Sommali per ottenere il VAN. Positivo significa che il progetto rende più di r.
Per il TIR, trova per tentativi o per interpolazione il tasso che annulla il VAN.
Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Prezzo dell’obbligazione
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Cedole semestrali
C/2, y/2 e 2n periodi
Rendimento corrente
C/P
Prezzo e rendimento
rendimento su → prezzo giù
Metodo
Trova la cedola per periodo e il rendimento per periodo.
Prezzo = valore attuale delle cedole (una rendita) + valore attuale del valore nominale.
Per cedole semestrali usa metà cedola, metà rendimento e il doppio dei periodi.
Verifica: se il rendimento è superiore al tasso cedolare, il prezzo è inferiore al valore nominale.
CAPM e WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Valore dell’impresa
V = E + D
Analisi del punto di pareggio
Margine di contribuzione
CM = p − v
Quantità di pareggio
QBE = FC/(p − v)
Utile obiettivo
Q = (FC + profit)/(p − v)
Utile
π = (p − v)·Q − FC
Margine di sicurezza
(Q − QBE)/Q
2Esercizi
1.Valore temporale del denaroMedia
Investi €20 000 a un tasso nominale del 3,6 % annuo, capitalizzato trimestralmente. Trova il valore FV dell'investimento dopo 7 anni.
PV = €20 0003,6% / 4n = 7
FV = €
2.Valore temporale del denaroDifficile
Prendi in prestito €15 000 al 5,4% annuo, capitalizzato mensilmente, e rimborsi €675 alla fine di ogni mese. Quanti mesi servono per estinguere il prestito (l’ultima rata può essere più bassa)? Indica il numero di rate N.
P = €15 000A = €6755,4% / 12
N = rate
3.VAN e TIRMedia
Un investimento di €75 000 genera questi flussi alla fine degli anni da 1 a 3: €37 000, €33 000, €24 000. Il costo del capitale è del 6 %. Trova il valore attuale netto NPV.
Il progetto A costa €40 000 e rende €20 500, €16 500, €9 000 alla fine degli anni da 1 a 3. Il progetto B costa €42 000 e rende €11 000, €16 000, €22 000. Trova il tasso di indifferenza (crossover) r* al quale entrambi i progetti hanno lo stesso VAN, in percentuale.
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 scade tra 4 anni e paga cedole annuali. Viene venduta a €1 073 quando il rendimento a scadenza è del 4%. Trova il tasso cedolare c in percentuale.
F = €1 000n = 4P = €1 073YTM = 4%
c = %
6.Prezzo e rendimento delle obbligazioniDifficile
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 paga una cedola annua di 3% e scade tra 5 anni. Il rendimento a scadenza è del 3,5%. Trova la duration di Macaulay D in anni.
F = €1 000cedola = 3%n = 5YTM = 3,5%
D = anni
7.CAPM e WACCMedia
Un’azienda è finanziata con azioni ordinarie per €8 000 000, azioni privilegiate per €1 500 000 e debito per €5 000 000. Il costo del capitale proprio è del 10%, il costo delle azioni privilegiate del 6,5% e il costo del debito al lordo delle imposte del 4,5%. L’aliquota fiscale è del 30%. Trova il WACC.
Un’azienda ha 2 000 000 azioni da €24,00 ciascuna e 10 000 obbligazioni quotate €980 ciascuna. Il costo del debito al lordo delle imposte è del 4% e l’aliquota fiscale è del 30%. Il beta dell’azione è 1,5, il tasso privo di rischio è del 3% e il rendimento di mercato è del 7%. Trova il WACC.
β = 1,5rf = 3%rm = 7%rd = 4%T = 30%
WACC = %
9.Analisi del punto di pareggioMedia
Un prodotto si vende a €20 l'unità con un costo variabile di €12 per unità. I costi fissi sono €9 600 al mese. Quante unità Q vanno vendute al mese per ottenere un utile di €6 000?
F = €9 600p = €20v = €12utile = €6 000
Q = unità
10.Analisi del punto di pareggioDifficile
Un prodotto si vende a €20 l'unità, con un costo variabile di €18 per unità e costi fissi di €8 000 all'anno. Le vendite a budget sono 4 600 unità. Trova il margine di sicurezza MS in percentuale delle vendite a budget.
F = €8 000p = €20v = €18budget = 4 600
MS = %
3Soluzioni
1.Valore temporale del denaro
Risposta: FV = 25703 €
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Riordina la formula della rendita
i = 0,0045
(1 + i)−N = 1 − 15 000·0,0045/675 = 0,9
Risolvi con i logaritmi
N = −ln(0,9)/ln(1,004) = 23,47
Arrotonda a rate intere
23 rate intere lasciano un piccolo debito residuo, che viene estinto dall’ultima rata, più bassa.
N = 24
Risposta
N = 24 rate
3.VAN e TIR
Risposta: NPV = 9426 €
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Valore attuale di ogni flusso
CF0 = −75 000
CF1/(1 + 0,06)1 = 37 000/1,06 = 34 905,66
CF2/(1 + 0,06)2 = 33 000/1,124 = 29 369,88
CF3/(1 + 0,06)3 = 24 000/1,191 = 20 150,86
Sommali
NPV = €9 426,41
Risposta
NPV = €9 426,41
Il VAN è positivo, quindi il progetto rende più del rendimento richiesto.
4.VAN e TIR
Risposta: r* = 3,832 %
Tasso di indifferenza (crossover): il tasso di sconto al quale due progetti hanno lo stesso VAN. È il TIR della differenza dei loro flussi di cassa (B − A). Al di sotto, il progetto con flussi più tardivi e più grandi ha il VAN maggiore; al di sopra prevale l’altro.
Differenza dei flussi di cassa
ΔCF0 = −42 000 − (−40 000) = −2 000
ΔCF1 = 11 000 − 20 500 = −9 500
ΔCF2 = 16 000 − 16 500 = −500
ΔCF3 = 22 000 − 9 000 = 13 000
TIR della differenza
NPVΔ(3%) = 202,24
NPVΔ(4%) = −39,94
r* = 3,832%
Risposta
r* = 3,832%
Verifica: al 3,832% entrambi i VAN valgono €3 087,97.
5.Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Risposta: c = 6,011 %
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Valore attuale del valore nominale
1000·(1 + 0,04)−4 = €854,80
Cedola
C = (1073 − 854,80)/3,63 = €60,11
Tasso cedolare
c = 60,11/1000 = 6,011%
Risposta
c = 6,011%
6.Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Risposta: D = 4,713 anni
Duration: la duration di Macaulay è il tempo medio ponderato in cui un’obbligazione paga i suoi flussi di cassa, con i valori attuali dei flussi come pesi: D = Σ t·PVₜ/P. La duration modificata D/(1 + y) stima la variazione percentuale del prezzo per una piccola variazione del rendimento: %ΔP ≈ −Dmod·Δy.
Valore attuale di ogni flusso
t = 1: 30/1,035 = 28,99, t·PV = 28,99
t = 2: 30/1,071 = 28,01, t·PV = 56,01
t = 3: 30/1,109 = 27,06, t·PV = 81,17
t = 4: 30/1,148 = 26,14, t·PV = 104,57
t = 5: 1030/1,188 = 867,23, t·PV = 4 336,16
Duration
P = 977,42
D = 4 606,91/977,42 = 4,713
Risposta
D = 4,713 anni
7.CAPM e WACC
Risposta: WACC = 7,276 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Valori di mercato
E = 2 000 000·€24,00 = €48 000 000
D = 10 000·€980 = €9 800 000
Costo del capitale proprio (CAPM)
re = 3% + 1,5·4% = 9%
Pesi
V = €57 800 000, E/V = 0,8304, D/V = 0,1696
WACC
WACC = 0,8304·9% + 0,1696·4%·(1 − 0,3) = 7,949%
Risposta
WACC = 7,949%
9.Analisi del punto di pareggio
Risposta: Q = 1950 unità
Costi-volumi-risultati: ogni unità venduta porta un margine di contribuzione, prezzo meno costo variabile unitario. Utile = Q·(p − v) − F, dove F è il costo fisso. Al punto di pareggio l'utile è zero, quindi Q = F/(p − v).
Costi-volumi-risultati: ogni unità venduta porta un margine di contribuzione, prezzo meno costo variabile unitario. Utile = Q·(p − v) − F, dove F è il costo fisso. Al punto di pareggio l'utile è zero, quindi Q = F/(p − v).