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1Formule e metodi
Valore temporale del denaro
Valore futuro
FV = PV·(1 + i)n
Valore attuale
PV = FV/(1 + i)n
Più periodi all’anno
i = r/m, N = m·n
Rendita, valore attuale
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Rendita, valore futuro
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Metodo
Disegna una linea temporale con ogni flusso di cassa e la sua scadenza.
Abbina il tasso al periodo: un tasso mensile per pagamenti mensili.
Usa FV = PV·(1 + i)ⁿ per importi singoli e le formule delle rendite per pagamenti costanti.
Controlla il segno e l’ordine di grandezza della risposta.
VAN e TIR
Valore attuale netto
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Flussi uguali
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Tasso interno di rendimento
il r per cui NPV = 0
Decisione
accetta se NPV > 0 (o IRR > rendimento richiesto)
Metodo
Elenca tutti i flussi di cassa con il loro anno; l’investimento all’anno 0 è negativo.
Sconta ogni flusso di cassa: CFt/(1 + r)t.
Sommali per ottenere il VAN. Positivo significa che il progetto rende più di r.
Per il TIR, trova per tentativi o per interpolazione il tasso che annulla il VAN.
Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Prezzo dell’obbligazione
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Cedole semestrali
C/2, y/2 e 2n periodi
Rendimento corrente
C/P
Prezzo e rendimento
rendimento su → prezzo giù
Metodo
Trova la cedola per periodo e il rendimento per periodo.
Prezzo = valore attuale delle cedole (una rendita) + valore attuale del valore nominale.
Per cedole semestrali usa metà cedola, metà rendimento e il doppio dei periodi.
Verifica: se il rendimento è superiore al tasso cedolare, il prezzo è inferiore al valore nominale.
CAPM e WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Valore dell’impresa
V = E + D
Analisi del punto di pareggio
Margine di contribuzione
CM = p − v
Quantità di pareggio
QBE = FC/(p − v)
Utile obiettivo
Q = (FC + profit)/(p − v)
Utile
π = (p − v)·Q − FC
Margine di sicurezza
(Q − QBE)/Q
2Esercizi
1.Valore temporale del denaroMedia
Investi €1 000 al 6% annuo con capitalizzazione continua. Trova il valore FV dopo 16 anni.
PV = €1 000r = 6%t = 16
FV = €
2.Valore temporale del denaroDifficile
Prendi in prestito €20 000 al 5,4% annuo, capitalizzato mensilmente, e rimborsi €475 alla fine di ogni mese. Quanti mesi servono per estinguere il prestito (l’ultima rata può essere più bassa)? Indica il numero di rate N.
P = €20 000A = €4755,4% / 12
N = rate
3.VAN e TIRMedia
Una macchina costa €100 000 oggi. Genera €12 500 alla fine di ogni anno per 8 anni e poi può essere venduta a €25 000. Il costo del capitale è il 10%. Trova il valore attuale netto NPV.
C0 = €100 000CF = €12 500S = €25 000n = 8r = 10%
NPV = €
4.VAN e TIRDifficile
Il progetto A costa €30 000 e rende €16 500, €11 000, €7 000 alla fine degli anni da 1 a 3. Il progetto B costa €40 000 e rende €10 000, €16 000, €21 000. Trova il tasso di indifferenza (crossover) r* al quale entrambi i progetti hanno lo stesso VAN, in percentuale.
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 scade tra 12 anni e paga cedole annuali. Viene venduta a €623 quando il rendimento a scadenza è del 8%. Trova il tasso cedolare c in percentuale.
F = €1 000n = 12P = €623YTM = 8%
c = %
6.Prezzo e rendimento delle obbligazioniDifficile
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 e cedola annua del 4% scade tra 9 anni e quota €1 120. Trova il suo rendimento a scadenza YTM in percentuale.
F = €1 000cedola = 4%n = 9P = €1 120
YTM = %
7.CAPM e WACCMedia
Un’azione con un beta di 1,6 ha un rendimento richiesto del 11,5%. Il tasso privo di rischio è del 3,5%. Quale rendimento atteso del mercato rm implica il CAPM?
β = 1,6re = 11,5%rf = 3,5%
rm = %
8.CAPM e WACCDifficile
Un’azienda ha 5 000 000 azioni da €59,00 ciascuna e 40 000 obbligazioni quotate €1 000 ciascuna. Il costo del debito al lordo delle imposte è del 4% e l’aliquota fiscale è del 28%. Il beta dell’azione è 1,1, il tasso privo di rischio è del 2% e il rendimento di mercato è del 6,5%. Trova il WACC.
β = 1,1rf = 2%rm = 6,5%rd = 4%T = 28%
WACC = %
9.Analisi del punto di pareggioMedia
Un prodotto si vende a €35 con un costo variabile di €30 per unità. I costi fissi sono €2 500 al mese e l’utile è tassato al 20%. Quante unità Q si devono vendere al mese per guadagnare €1 500 al netto delle imposte?
p = €35v = €30F = €2 500T = 20%utile al netto delle imposte = €1 500
Q = unità
10.Analisi del punto di pareggioDifficile
Un’azienda vende due prodotti. Il prodotto A si vende a €14 con un costo variabile di €8; il prodotto B si vende a €20 con un costo variabile di €10. Si vendono in un mix fisso di 2 unità di A ogni 3 di B. I costi fissi sono €12 600 al mese. Trova il numero totale di unità Q (A e B insieme) necessario per il pareggio.
pA = €14, vA = €8pB = €20, vB = €10A : B = 2 : 3F = €12 600
Q = unità
3Soluzioni
1.Valore temporale del denaro
Risposta: FV = 2612 €
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Esponente
r·t = 0,06·16 = 0,96
e0,96 = 2,612
Valore futuro
FV = 1 000·2,612 = €2 611,70
Risposta
FV = €2 611,70
2.Valore temporale del denaro
Risposta: N = 47 rate
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Riordina la formula della rendita
i = 0,0045
(1 + i)−N = 1 − 20 000·0,0045/475 = 0,8105
Risolvi con i logaritmi
N = −ln(0,8105)/ln(1,004) = 46,79
Arrotonda a rate intere
46 rate intere lasciano un piccolo debito residuo, che viene estinto dall’ultima rata, più bassa.
N = 47
Risposta
N = 47 rate
3.VAN e TIR
Risposta: NPV = −21651 €
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Tasso di indifferenza (crossover): il tasso di sconto al quale due progetti hanno lo stesso VAN. È il TIR della differenza dei loro flussi di cassa (B − A). Al di sotto, il progetto con flussi più tardivi e più grandi ha il VAN maggiore; al di sopra prevale l’altro.
Differenza dei flussi di cassa
ΔCF0 = −40 000 − (−30 000) = −10 000
ΔCF1 = 10 000 − 16 500 = −6 500
ΔCF2 = 16 000 − 11 000 = 5 000
ΔCF3 = 21 000 − 7 000 = 14 000
TIR della differenza
NPVΔ(6%) = 72,58
NPVΔ(7%) = −279,40
r* = 6,203%
Risposta
r* = 6,203%
Verifica: al 6,203% entrambi i VAN valgono €1 132,52.
5.Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Risposta: c = 2,997 %
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Valore attuale del valore nominale
1000·(1 + 0,08)−12 = €397,11
Cedola
C = (623 − 397,11)/7,536 = €29,97
Tasso cedolare
c = 29,97/1000 = 2,997%
Risposta
c = 2,997%
6.Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Risposta: YTM = 2,495 %
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Equazione del rendimento
€1 120 = €40·(1 − (1 + y)⁻⁹)/y + €1 000/(1 + y)⁹
Risolvi numericamente
P(2%) = €1 163,24, P(3%) = €1 077,86
YTM = 2,495%
Risposta
YTM = 2,495%
7.CAPM e WACC
Risposta: rm = 8,5 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Premio per il rischio di mercato
rm − rf = (11,5% − 3,5%)/1,6 = 5%
Rendimento di mercato
rm = 3,5% + 5% = 8,5%
Risposta
rm = 8,5%
8.CAPM e WACC
Risposta: WACC = 6,464 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Costi-volumi-risultati: ogni unità venduta porta un margine di contribuzione, prezzo meno costo variabile unitario. Utile = Q·(p − v) − F, dove F è il costo fisso. Al punto di pareggio l'utile è zero, quindi Q = F/(p − v).
Utile al lordo delle imposte necessario
1 500/(1 − 0,2) = €1 875
Unità necessarie
Q = (2 500 + 1 875)/5 = 875
Risposta
Q = 875 unità
10.Analisi del punto di pareggio
Risposta: Q = 1500 unità
Pareggio con un mix di vendita: quando i prodotti si vendono in un rapporto fisso, usa il margine di contribuzione medio ponderato: pondera il p − v di ogni prodotto con la sua quota di unità. Unità di pareggio = F/(margine di contribuzione ponderato), poi ripartite di nuovo secondo il rapporto del mix.