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1Formule e metodi
Valore temporale del denaro
Valore futuro
FV = PV·(1 + i)n
Valore attuale
PV = FV/(1 + i)n
Più periodi all’anno
i = r/m, N = m·n
Rendita, valore attuale
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Rendita, valore futuro
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Metodo
Disegna una linea temporale con ogni flusso di cassa e la sua scadenza.
Abbina il tasso al periodo: un tasso mensile per pagamenti mensili.
Usa FV = PV·(1 + i)ⁿ per importi singoli e le formule delle rendite per pagamenti costanti.
Controlla il segno e l’ordine di grandezza della risposta.
VAN e TIR
Valore attuale netto
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Flussi uguali
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Tasso interno di rendimento
il r per cui NPV = 0
Decisione
accetta se NPV > 0 (o IRR > rendimento richiesto)
Metodo
Elenca tutti i flussi di cassa con il loro anno; l’investimento all’anno 0 è negativo.
Sconta ogni flusso di cassa: CFt/(1 + r)t.
Sommali per ottenere il VAN. Positivo significa che il progetto rende più di r.
Per il TIR, trova per tentativi o per interpolazione il tasso che annulla il VAN.
Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Prezzo dell’obbligazione
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Cedole semestrali
C/2, y/2 e 2n periodi
Rendimento corrente
C/P
Prezzo e rendimento
rendimento su → prezzo giù
Metodo
Trova la cedola per periodo e il rendimento per periodo.
Prezzo = valore attuale delle cedole (una rendita) + valore attuale del valore nominale.
Per cedole semestrali usa metà cedola, metà rendimento e il doppio dei periodi.
Verifica: se il rendimento è superiore al tasso cedolare, il prezzo è inferiore al valore nominale.
CAPM e WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Valore dell’impresa
V = E + D
Analisi del punto di pareggio
Margine di contribuzione
CM = p − v
Quantità di pareggio
QBE = FC/(p − v)
Utile obiettivo
Q = (FC + profit)/(p − v)
Utile
π = (p − v)·Q − FC
Margine di sicurezza
(Q − QBE)/Q
2Esercizi
1.Valore temporale del denaroMedia
Ti servono €40 000 tra 8 anni. Un conto rende il 4,8 % annuo, capitalizzato mensilmente. Quanto devi versare oggi? Trova il valore attuale PV.
FV = €40 0004,8% / 12n = 8
PV = €
2.Valore temporale del denaroDifficile
Vuoi avere €20 000 tra 7 anni. Risparmi la stessa somma alla fine di ogni mese su un conto che rende il 3,6% annuo, capitalizzato mensilmente. Trova il versamento mensile A.
FV = €20 0003,6% / 12N = 84
A = €
3.VAN e TIRMedia
Un investimento di €30 000 genera questi flussi alla fine degli anni da 1 a 4: €11 000, €7 000, €14 000, €9 000. Il costo del capitale è del 6 %. Trova il valore attuale netto NPV.
Un progetto costa €10 000 e restituisce €4 500, €6 500 alla fine degli anni da 1 a 2. Trova il suo tasso interno di rendimento IRR in percentuale.
CF0 = −10 000CF1 = 4 500CF2 = 6 500
IRR = %
5.Prezzo e rendimento delle obbligazioniMedia
Acquisti un’obbligazione con 9 anni alla scadenza (valore nominale €1 000, cedola annua 3%) quando il suo rendimento a scadenza è del 3,5%. Un anno dopo, subito dopo aver incassato la prima cedola, la vendi quando il rendimento a scadenza è del 3%. Trova il tuo rendimento del periodo di detenzione HPR in percentuale.
F = €1 000cedola = 3%n = 9y0 = 3,5%y1 = 3%
HPR = %
6.Prezzo e rendimento delle obbligazioniDifficile
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 e cedola annua del 8% scade tra 10 anni e quota €1 110. Trova il suo rendimento a scadenza YTM in percentuale.
F = €1 000cedola = 8%n = 10P = €1 110
YTM = %
7.CAPM e WACCMedia
Un’azienda ha capitale proprio per €8 000 000 e debito per €1 000 000. Il costo del capitale proprio è del 8%, il costo del debito al lordo delle imposte è del 7% e l’aliquota fiscale è del 20%. Trova il WACC.
E = €8 000 000D = €1 000 000re = 8%rd = 7%T = 20%
WACC = %
8.CAPM e WACCDifficile
Un’azienda ha 1 000 000 azioni da €11,50 ciascuna e 20 000 obbligazioni quotate €980 ciascuna. Il costo del debito al lordo delle imposte è del 4,5% e l’aliquota fiscale è del 28%. Il beta dell’azione è 1,1, il tasso privo di rischio è del 2% e il rendimento di mercato è del 7%. Trova il WACC.
β = 1,1rf = 2%rm = 7%rd = 4,5%T = 28%
WACC = %
9.Analisi del punto di pareggioMedia
Un’azienda vende 3 750 unità a €47 l’una. Il costo variabile è €45 per unità e i costi fissi sono €3 000. Trova il grado di leva operativa DOL a questo livello di vendite.
Q = 3 750p = €47v = €45F = €3 000
DOL =
10.Analisi del punto di pareggioDifficile
Un prodotto si vende a €51 l'unità, con un costo variabile di €45 per unità e costi fissi di €15 000 all'anno. Le vendite a budget sono 3 500 unità. Trova il margine di sicurezza MS in percentuale delle vendite a budget.
F = €15 000p = €51v = €45budget = 3 500
MS = %
3Soluzioni
1.Valore temporale del denaro
Risposta: PV = 27266 €
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Tasso e numero di periodi
i = 0,048/12 = 0,004
N = 12·8 = 96
Valore attuale
PV = FV/(1 + i)N = 40 000/1,467 = €27 266,13
Risposta
PV = €27 266,13
2.Valore temporale del denaro
Risposta: A = 209,7 €
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Valore attuale di ogni flusso
CF0 = −30 000
CF1/(1 + 0,06)1 = 11 000/1,06 = 10 377,36
CF2/(1 + 0,06)2 = 7 000/1,124 = 6 229,98
CF3/(1 + 0,06)3 = 14 000/1,191 = 11 754,67
CF4/(1 + 0,06)4 = 9 000/1,262 = 7 128,84
Sommali
NPV = €5 490,85
Risposta
NPV = €5 490,85
Il VAN è positivo, quindi il progetto rende più del rendimento richiesto.
4.VAN e TIR
Risposta: IRR = 6,203 %
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Delimitare il TIR
Il VAN scende quando il tasso sale, quindi il TIR sta tra un tasso con VAN positivo e uno con VAN negativo.
NPV(5%) = 181,41
NPV(10%) = −537,19
Restringere
L'interpolazione lineare dà una prima stima; ripeterla (o usare la funzione TIR di una calcolatrice) dà il tasso esatto.
IRR ≈ 5 + 5·181,41/(181,41 − (−537,19)) = 6,262%
esatto: NPV(6,203%) = 0 → IRR = 6,203%
Risposta
IRR = 6,203%
5.Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Risposta: HPR = 7,073 %
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Pesi
V = €9 000 000, E/V = 0,8889, D/V = 0,1111
WACC
WACC = 0,8889·8% + 0,1111·7%·(1 − 0,2) = 7,733%
Risposta
WACC = 7,733%
8.CAPM e WACC
Risposta: WACC = 4,815 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Leva operativa: i costi fissi fanno reagire l’utile più intensamente delle vendite. Il grado di leva operativa DOL = margine di contribuzione/utile operativo indica che una variazione dell’1% delle vendite fa variare l’utile del DOL %. È molto alto appena sopra il pareggio e diminuisce al crescere delle vendite.
Margine di contribuzione totale
CM = 3 750·(47 − 45) = €7 500
Utile operativo
Π = 7 500 − 3 000 = €4 500
DOL
DOL = 7 500/4 500 = 1,667
Risposta
DOL = 1,667
10.Analisi del punto di pareggio
Risposta: MS = 28,57 %
Costi-volumi-risultati: ogni unità venduta porta un margine di contribuzione, prezzo meno costo variabile unitario. Utile = Q·(p − v) − F, dove F è il costo fisso. Al punto di pareggio l'utile è zero, quindi Q = F/(p − v).