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1Formule e metodi
Valore temporale del denaro
Valore futuro
FV = PV·(1 + i)n
Valore attuale
PV = FV/(1 + i)n
Più periodi all’anno
i = r/m, N = m·n
Rendita, valore attuale
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Rendita, valore futuro
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Metodo
Disegna una linea temporale con ogni flusso di cassa e la sua scadenza.
Abbina il tasso al periodo: un tasso mensile per pagamenti mensili.
Usa FV = PV·(1 + i)ⁿ per importi singoli e le formule delle rendite per pagamenti costanti.
Controlla il segno e l’ordine di grandezza della risposta.
VAN e TIR
Valore attuale netto
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Flussi uguali
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Tasso interno di rendimento
il r per cui NPV = 0
Decisione
accetta se NPV > 0 (o IRR > rendimento richiesto)
Metodo
Elenca tutti i flussi di cassa con il loro anno; l’investimento all’anno 0 è negativo.
Sconta ogni flusso di cassa: CFt/(1 + r)t.
Sommali per ottenere il VAN. Positivo significa che il progetto rende più di r.
Per il TIR, trova per tentativi o per interpolazione il tasso che annulla il VAN.
Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Prezzo dell’obbligazione
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Cedole semestrali
C/2, y/2 e 2n periodi
Rendimento corrente
C/P
Prezzo e rendimento
rendimento su → prezzo giù
Metodo
Trova la cedola per periodo e il rendimento per periodo.
Prezzo = valore attuale delle cedole (una rendita) + valore attuale del valore nominale.
Per cedole semestrali usa metà cedola, metà rendimento e il doppio dei periodi.
Verifica: se il rendimento è superiore al tasso cedolare, il prezzo è inferiore al valore nominale.
CAPM e WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Valore dell’impresa
V = E + D
Analisi del punto di pareggio
Margine di contribuzione
CM = p − v
Quantità di pareggio
QBE = FC/(p − v)
Utile obiettivo
Q = (FC + profit)/(p − v)
Utile
π = (p − v)·Q − FC
Margine di sicurezza
(Q − QBE)/Q
2Esercizi
1.Valore temporale del denaroMedia
Investi €20 000 al 2% annuo con capitalizzazione continua. Trova il valore FV dopo 5 anni.
PV = €20 000r = 2%t = 5
FV = €
2.Valore temporale del denaroDifficile
Risparmi €50 alla fine di ogni mese per 9 anni. Il conto rende il 4,2 % annuo, capitalizzato mensilmente. Quanto hai risparmiato alla fine? Trova FV.
A = €504,2% / 12N = 108
FV = €
3.VAN e TIRMedia
Un investimento di €45 000 genera questi flussi alla fine degli anni da 1 a 4: €10 000, €14 000, €15 000, €14 000. Il costo del capitale è del 5 %. Trova il valore attuale netto NPV.
Un investimento di €20 000 rende €2 500 alla fine di ogni anno per 10 anni. Trova il suo tasso interno di rendimento IRR in percentuale.
C0 = €20 000CF = €2 500n = 10
IRR = %
5.Prezzo e rendimento delle obbligazioniMedia
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 paga una cedola annua del 7% in due rate semestrali e scade tra 9 anni. Il rendimento a scadenza è del 5,5% annuo. Trova il prezzo P dell’obbligazione.
F = €1 000cedola = 7%YTM = 5,5%n = 9
P = €
6.Prezzo e rendimento delle obbligazioniDifficile
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 e cedola annua del 6% scade tra 6 anni e quota €930. Trova il suo rendimento a scadenza YTM in percentuale.
F = €1 000cedola = 6%n = 6P = €930
YTM = %
7.CAPM e WACCMedia
Un’azienda ha capitale proprio per €6 000 000 e debito per €1 000 000. Il suo WACC è del 9,94%, il costo del debito al lordo delle imposte è del 4,5% e l’aliquota fiscale è del 20%. Trova il costo del capitale proprio re.
Un’azienda ha 5 000 000 azioni da €41,50 ciascuna e 20 000 obbligazioni quotate €1 050 ciascuna. Il costo del debito al lordo delle imposte è del 4,5% e l’aliquota fiscale è del 30%. Il beta dell’azione è 1,8, il tasso privo di rischio è del 2,5% e il rendimento di mercato è del 7,5%. Trova il WACC.
β = 1,8rf = 2,5%rm = 7,5%rd = 4,5%T = 30%
WACC = %
9.Analisi del punto di pareggioMedia
Un prodotto può essere fabbricato in due modi. Il metodo A ha costi fissi di €15 000 all’anno e un costo variabile di €12 per unità. Il metodo B, più automatizzato, ha costi fissi di €35 000 all’anno e un costo variabile di €8 per unità. A quale volume annuo Q i due metodi costano uguale?
FA = €15 000vA = €12FB = €35 000vB = €8
Q = unità
10.Analisi del punto di pareggioDifficile
Un’azienda vende 1 500 unità al mese a €38 l’una, con un costo variabile di €18 per unità e costi fissi di €20 000 al mese. Il costo variabile aumenta di €5 per unità e il prezzo resta invariato. Quante unità Q si devono ora vendere al mese per mantenere lo stesso utile?
Q = 1 500p = €38v = €18 → €23F = €20 000
Q = unità
3Soluzioni
1.Valore temporale del denaro
Risposta: FV = 22103 €
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Esponente
r·t = 0,02·5 = 0,1
e0,1 = 1,105
Valore futuro
FV = 20 000·1,105 = €22 103,42
Risposta
FV = €22 103,42
2.Valore temporale del denaro
Risposta: FV = 6549 €
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Valore attuale di ogni flusso
CF0 = −45 000
CF1/(1 + 0,05)1 = 10 000/1,05 = 9 523,81
CF2/(1 + 0,05)2 = 14 000/1,103 = 12 698,41
CF3/(1 + 0,05)3 = 15 000/1,158 = 12 957,56
CF4/(1 + 0,05)4 = 14 000/1,216 = 11 517,83
Sommali
NPV = €1 697,62
Risposta
NPV = €1 697,62
Il VAN è positivo, quindi il progetto rende più del rendimento richiesto.
4.VAN e TIR
Risposta: IRR = 4,277 %
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Fattore di rendita richiesto
(1 − (1 + i)−10)/i = 20 000/2 500 = 8
Ricava il tasso
Il fattore di rendita diminuisce al crescere del tasso; individua un intervallo per il tasso e restringilo.
i = 4%: 8,111
i = 5%: 7,722
IRR = 4,277%
Risposta
IRR = 4,277%
5.Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Risposta: P = 1105 €
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Per periodo
C = €35,00, i = 0,0275, N = 18
Valore attuale delle cedole
€35,00·(1 − 0,6137)/0,0275 = €491,71
Valore attuale del valore nominale
€1 000·0,6137 = €613,66
Prezzo
P = €1 105,37
Risposta
P = €1 105,37
Il rendimento è inferiore al tasso cedolare, quindi l’obbligazione quota sopra la pari (a premio).
6.Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Risposta: YTM = 7,491 %
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Equazione del rendimento
€930 = €60·(1 − (1 + y)⁻⁶)/y + €1 000/(1 + y)⁶
Risolvi numericamente
P(7%) = €952,33, P(8%) = €907,54
YTM = 7,491%
Risposta
YTM = 7,491%
7.CAPM e WACC
Risposta: re = 11 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Pesi
V = €7 000 000, E/V = 0,8571, D/V = 0,1429
Parte del debito nel WACC
0,1429·4,5%·(1 − 0,2) = 0,5143%
Costo del capitale proprio
re = (9,94% − 0,5143%)/0,8571 = 11%
Risposta
re = 11%
8.CAPM e WACC
Risposta: WACC = 10,73 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Costi-volumi-risultati: ogni unità venduta porta un margine di contribuzione, prezzo meno costo variabile unitario. Utile = Q·(p − v) − F, dove F è il costo fisso. Al punto di pareggio l'utile è zero, quindi Q = F/(p − v).
Costi totali uguali
15 000 + 12Q = 35 000 + 8Q
Ricava Q
Q = (35 000 − 15 000)/(12 − 8) = 5 000
Risposta
Q = 5 000 unità
Al di sotto di questo volume è più economico il metodo A; al di sopra è più economico il metodo automatizzato B.
10.Analisi del punto di pareggio
Risposta: Q = 2000 unità
Costi-volumi-risultati: ogni unità venduta porta un margine di contribuzione, prezzo meno costo variabile unitario. Utile = Q·(p − v) − F, dove F è il costo fisso. Al punto di pareggio l'utile è zero, quindi Q = F/(p − v).