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1Formule e metodi
Valore temporale del denaro
Valore futuro
FV = PV·(1 + i)n
Valore attuale
PV = FV/(1 + i)n
Più periodi all’anno
i = r/m, N = m·n
Rendita, valore attuale
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Rendita, valore futuro
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Metodo
Disegna una linea temporale con ogni flusso di cassa e la sua scadenza.
Abbina il tasso al periodo: un tasso mensile per pagamenti mensili.
Usa FV = PV·(1 + i)ⁿ per importi singoli e le formule delle rendite per pagamenti costanti.
Controlla il segno e l’ordine di grandezza della risposta.
VAN e TIR
Valore attuale netto
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Flussi uguali
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Tasso interno di rendimento
il r per cui NPV = 0
Decisione
accetta se NPV > 0 (o IRR > rendimento richiesto)
Metodo
Elenca tutti i flussi di cassa con il loro anno; l’investimento all’anno 0 è negativo.
Sconta ogni flusso di cassa: CFt/(1 + r)t.
Sommali per ottenere il VAN. Positivo significa che il progetto rende più di r.
Per il TIR, trova per tentativi o per interpolazione il tasso che annulla il VAN.
Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Prezzo dell’obbligazione
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Cedole semestrali
C/2, y/2 e 2n periodi
Rendimento corrente
C/P
Prezzo e rendimento
rendimento su → prezzo giù
Metodo
Trova la cedola per periodo e il rendimento per periodo.
Prezzo = valore attuale delle cedole (una rendita) + valore attuale del valore nominale.
Per cedole semestrali usa metà cedola, metà rendimento e il doppio dei periodi.
Verifica: se il rendimento è superiore al tasso cedolare, il prezzo è inferiore al valore nominale.
CAPM e WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Valore dell’impresa
V = E + D
Analisi del punto di pareggio
Margine di contribuzione
CM = p − v
Quantità di pareggio
QBE = FC/(p − v)
Utile obiettivo
Q = (FC + profit)/(p − v)
Utile
π = (p − v)·Q − FC
Margine di sicurezza
(Q − QBE)/Q
2Esercizi
1.Valore temporale del denaroMedia
Una carta di credito applica un tasso nominale annuo del 22%, capitalizzato semestralmente. Trova il tasso annuo effettivo EAR in percentuale.
r = 22%m = 2
EAR = %
2.Valore temporale del denaroDifficile
Un prestito di €20 000 viene rimborsato con rate mensili costanti in 4 anni. Il tasso d'interesse è del 4,2 % annuo, capitalizzato mensilmente. Trova la rata mensile A.
P = €20 0004,2% / 12N = 48
A = €
3.VAN e TIRMedia
Una macchina costa €40 000 oggi, dura 10 anni e costa €1 000 all’anno di esercizio (pagati alla fine di ogni anno). Il costo del capitale è il 12%. Trova il suo costo annuo equivalente EAC.
C0 = €40 000M = €1 000n = 10r = 12%
EAC = €
4.VAN e TIRDifficile
Un progetto costa €20 000 e rende €11 000, €11 500, €6 500 alla fine degli anni da 1 a 3. I flussi di cassa possono essere reinvestiti al costo del capitale del 8%. Trova il tasso interno di rendimento modificato MIRR in percentuale.
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 scade tra 7 anni e paga cedole annuali. Viene venduta a €1 312 quando il rendimento a scadenza è del 3%. Trova il tasso cedolare c in percentuale.
F = €1 000n = 7P = €1 312YTM = 3%
c = %
6.Prezzo e rendimento delle obbligazioniDifficile
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 e cedola annua del 8% scade tra 9 anni e quota €940. Trova il suo rendimento a scadenza YTM in percentuale.
F = €1 000cedola = 8%n = 9P = €940
YTM = %
7.CAPM e WACCMedia
Un’azione con un beta di 0,6 ha un rendimento richiesto del 7,3%. Il tasso privo di rischio è del 4%. Quale rendimento atteso del mercato rm implica il CAPM?
β = 0,6re = 7,3%rf = 4%
rm = %
8.CAPM e WACCDifficile
Un’azienda ha 4 000 000 azioni da €60,00 ciascuna e 5 000 obbligazioni quotate €960 ciascuna. Il costo del debito al lordo delle imposte è del 3% e l’aliquota fiscale è del 25%. Il beta dell’azione è 1,8, il tasso privo di rischio è del 4% e il rendimento di mercato è del 11%. Trova il WACC.
β = 1,8rf = 4%rm = 11%rd = 3%T = 25%
WACC = %
9.Analisi del punto di pareggioMedia
Un prodotto si vende a €22 l'unità con un costo variabile di €12 per unità. I costi fissi sono €20 000 al mese. Quante unità Q vanno vendute al mese per ottenere un utile di €20 000?
F = €20 000p = €22v = €12utile = €20 000
Q = unità
10.Analisi del punto di pareggioDifficile
Un prodotto si vende a €20 l'unità, con un costo variabile di €15 per unità e costi fissi di €12 500 all'anno. Le vendite a budget sono 3 750 unità. Trova il margine di sicurezza MS in percentuale delle vendite a budget.
F = €12 500p = €20v = €15budget = 3 750
MS = %
3Soluzioni
1.Valore temporale del denaro
Risposta: EAR = 23,21 %
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Tasso per periodo
r/m = 0,22/2 = 0,11
Capitalizza su un anno
EAR = (1 + 0,11)2 − 1 = 1,232 − 1 = 23,21%
Risposta
EAR = 23,21%
Il tasso annuo effettivo è sempre superiore al tasso nominale quando gli interessi vengono capitalizzati più di una volta all’anno.
2.Valore temporale del denaro
Risposta: A = 453,4 €
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Tasso mensile e numero di rate
i = 0,042/12 = 0,0035
N = 12·4 = 48
Rata
Il valore attuale di N pagamenti uguali A è A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Ponilo uguale al prestito e ricava A.
(1 + i)−N = 0,8456
A = 20 000·0,0035/(1 − 0,8456) = €453,37
Risposta
A = €453,37
3.VAN e TIR
Risposta: EAC = 8079 €
Costo annuo equivalente: distribuisci il valore attuale di tutti i costi sulla vita utile come un importo annuo costante (una rendita): EAC = PV·r/(1 − (1 + r)⁻ⁿ). Permette di confrontare macchine con vite diverse.
Fattore di rendita
(1 − 1,12−10)/0,12 = 5,65
Prezzo d’acquisto annualizzato
40 000/5,65 = 7 079,37
EAC
EAC = 7 079,37 + 1 000 = €8 079,37
Risposta
EAC = €8 079,37
4.VAN e TIR
Risposta: MIRR = 16,66 %
TIR modificato: capitalizza ogni entrata fino alla fine del progetto al tasso di reinvestimento (di solito il costo del capitale) per ottenere il valore finale TV. Il MIRR è il tasso che trasforma l’investimento iniziale in TV: MIRR = (TV/C₀)^(1/n) − 1.
Valore finale delle entrate
11 000·1,082 = 12 830,40
11 500·1,081 = 12 420,00
6 500·1,080 = 6 500,00
TV = 31 750,40
MIRR
MIRR = (31 750,40/20 000)1/3 − 1 = 16,66%
Risposta
MIRR = 16,66%
5.Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Risposta: c = 8,008 %
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Valore attuale del valore nominale
1000·(1 + 0,03)−7 = €813,09
Cedola
C = (1312 − 813,09)/6,23 = €80,08
Tasso cedolare
c = 80,08/1000 = 8,008%
Risposta
c = 8,008%
6.Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Risposta: YTM = 9,001 %
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Equazione del rendimento
€940 = €80·(1 − (1 + y)⁻⁹)/y + €1 000/(1 + y)⁹
Risolvi numericamente
P(9%) = €940,05, P(10%) = €884,82
YTM = 9,001%
Risposta
YTM = 9,001%
7.CAPM e WACC
Risposta: rm = 9,5 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Premio per il rischio di mercato
rm − rf = (7,3% − 4%)/0,6 = 5,5%
Rendimento di mercato
rm = 4% + 5,5% = 9,5%
Risposta
rm = 9,5%
8.CAPM e WACC
Risposta: WACC = 16,32 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Costi-volumi-risultati: ogni unità venduta porta un margine di contribuzione, prezzo meno costo variabile unitario. Utile = Q·(p − v) − F, dove F è il costo fisso. Al punto di pareggio l'utile è zero, quindi Q = F/(p − v).
Costi-volumi-risultati: ogni unità venduta porta un margine di contribuzione, prezzo meno costo variabile unitario. Utile = Q·(p − v) − F, dove F è il costo fisso. Al punto di pareggio l'utile è zero, quindi Q = F/(p − v).