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1Formule e metodi
Valore temporale del denaro
Valore futuro
FV = PV·(1 + i)n
Valore attuale
PV = FV/(1 + i)n
Più periodi all’anno
i = r/m, N = m·n
Rendita, valore attuale
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Rendita, valore futuro
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Metodo
Disegna una linea temporale con ogni flusso di cassa e la sua scadenza.
Abbina il tasso al periodo: un tasso mensile per pagamenti mensili.
Usa FV = PV·(1 + i)ⁿ per importi singoli e le formule delle rendite per pagamenti costanti.
Controlla il segno e l’ordine di grandezza della risposta.
VAN e TIR
Valore attuale netto
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Flussi uguali
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Tasso interno di rendimento
il r per cui NPV = 0
Decisione
accetta se NPV > 0 (o IRR > rendimento richiesto)
Metodo
Elenca tutti i flussi di cassa con il loro anno; l’investimento all’anno 0 è negativo.
Sconta ogni flusso di cassa: CFt/(1 + r)t.
Sommali per ottenere il VAN. Positivo significa che il progetto rende più di r.
Per il TIR, trova per tentativi o per interpolazione il tasso che annulla il VAN.
Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Prezzo dell’obbligazione
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Cedole semestrali
C/2, y/2 e 2n periodi
Rendimento corrente
C/P
Prezzo e rendimento
rendimento su → prezzo giù
Metodo
Trova la cedola per periodo e il rendimento per periodo.
Prezzo = valore attuale delle cedole (una rendita) + valore attuale del valore nominale.
Per cedole semestrali usa metà cedola, metà rendimento e il doppio dei periodi.
Verifica: se il rendimento è superiore al tasso cedolare, il prezzo è inferiore al valore nominale.
CAPM e WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Valore dell’impresa
V = E + D
Analisi del punto di pareggio
Margine di contribuzione
CM = p − v
Quantità di pareggio
QBE = FC/(p − v)
Utile obiettivo
Q = (FC + profit)/(p − v)
Utile
π = (p − v)·Q − FC
Margine di sicurezza
(Q − QBE)/Q
2Esercizi
1.Valore temporale del denaroMedia
Ti servono €5 000 tra 2 anni. Un conto rende il 5 % annuo, capitalizzato mensilmente. Quanto devi versare oggi? Trova il valore attuale PV.
FV = €5 0005% / 12n = 2
PV = €
2.Valore temporale del denaroDifficile
Vuoi avere €50 000 tra 17 anni. Risparmi la stessa somma alla fine di ogni mese su un conto che rende il 3% annuo, capitalizzato mensilmente. Trova il versamento mensile A.
FV = €50 0003% / 12N = 204
A = €
3.VAN e TIRMedia
Un investimento di €45 000 genera questi flussi alla fine degli anni da 1 a 4: €21 000, €22 000, €15 000, €22 000. Il costo del capitale è del 7,000000000000001 %. Trova il valore attuale netto NPV.
Un progetto costa €10 000 e rende €5 000, €5 000, €4 000 alla fine degli anni da 1 a 3. I flussi di cassa possono essere reinvestiti al costo del capitale del 8%. Trova il tasso interno di rendimento modificato MIRR in percentuale.
Acquisti un’obbligazione con 11 anni alla scadenza (valore nominale €1 000, cedola annua 7%) quando il suo rendimento a scadenza è del 8%. Un anno dopo, subito dopo aver incassato la prima cedola, la vendi quando il rendimento a scadenza è del 7%. Trova il tuo rendimento del periodo di detenzione HPR in percentuale.
F = €1 000cedola = 7%n = 11y0 = 8%y1 = 7%
HPR = %
6.Prezzo e rendimento delle obbligazioniDifficile
Un’obbligazione è quotata €1 065 con un rendimento a scadenza del 3% (capitalizzazione annuale) e una duration di Macaulay di 7,5 anni. Usa la duration modificata per stimare il nuovo prezzo P se il rendimento diminuisce di 25 punti base.
P0 = €1 065y = 3%D = 7,5Δy = −25 bp
P = €
7.CAPM e WACCMedia
Un’azienda ha capitale proprio per €12 000 000 e debito per €1 000 000. Il costo del capitale proprio è del 14%, il costo del debito al lordo delle imposte è del 4% e l’aliquota fiscale è del 28%. Trova il WACC.
Un’azienda ha 4 000 000 azioni da €16,00 ciascuna e 10 000 obbligazioni quotate €1 000 ciascuna. Il costo del debito al lordo delle imposte è del 3,5% e l’aliquota fiscale è del 20%. Il beta dell’azione è 1,2, il tasso privo di rischio è del 2% e il rendimento di mercato è del 8%. Trova il WACC.
β = 1,2rf = 2%rm = 8%rd = 3,5%T = 20%
WACC = %
9.Analisi del punto di pareggioMedia
Un prodotto si vende a €21 l'unità con un costo variabile di €15 per unità. I costi fissi sono €30 000 al mese. Quante unità Q vanno vendute al mese per ottenere un utile di €12 000?
F = €30 000p = €21v = €15utile = €12 000
Q = unità
10.Analisi del punto di pareggioDifficile
Un prodotto si vende a €42 l'unità, con un costo variabile di €30 per unità e costi fissi di €30 000 all'anno. Le vendite a budget sono 3 250 unità. Trova il margine di sicurezza MS in percentuale delle vendite a budget.
F = €30 000p = €42v = €30budget = 3 250
MS = %
3Soluzioni
1.Valore temporale del denaro
Risposta: PV = 4525 €
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Tasso e numero di periodi
i = 0,05/12 = 0,004167
N = 12·2 = 24
Valore attuale
PV = FV/(1 + i)N = 5 000/1,105 = €4 525,13
Risposta
PV = €4 525,13
2.Valore temporale del denaro
Risposta: A = 188,2 €
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Valore attuale di ogni flusso
CF0 = −45 000
CF1/(1 + 0,07)1 = 21 000/1,07 = 19 626,17
CF2/(1 + 0,07)2 = 22 000/1,145 = 19 215,65
CF3/(1 + 0,07)3 = 15 000/1,225 = 12 244,47
CF4/(1 + 0,07)4 = 22 000/1,311 = 16 783,69
Sommali
NPV = €22 869,98
Risposta
NPV = €22 869,98
Il VAN è positivo, quindi il progetto rende più del rendimento richiesto.
4.VAN e TIR
Risposta: MIRR = 15,06 %
TIR modificato: capitalizza ogni entrata fino alla fine del progetto al tasso di reinvestimento (di solito il costo del capitale) per ottenere il valore finale TV. Il MIRR è il tasso che trasforma l’investimento iniziale in TV: MIRR = (TV/C₀)^(1/n) − 1.
Valore finale delle entrate
5 000·1,082 = 5 832,00
5 000·1,081 = 5 400,00
4 000·1,080 = 4 000,00
TV = 15 232,00
MIRR
MIRR = (15 232,00/10 000)1/3 − 1 = 15,06%
Risposta
MIRR = 15,06%
5.Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Risposta: HPR = 15,23 %
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Duration: la duration di Macaulay è il tempo medio ponderato in cui un’obbligazione paga i suoi flussi di cassa, con i valori attuali dei flussi come pesi: D = Σ t·PVₜ/P. La duration modificata D/(1 + y) stima la variazione percentuale del prezzo per una piccola variazione del rendimento: %ΔP ≈ −Dmod·Δy.
Duration modificata
Dmod = 7,5/1,03 = 7,282
Variazione stimata del prezzo
%ΔP ≈ −7,282·(−0,0025) = 1,82%
P ≈ 1065·(1 + 0,0182) = €1 084,39
Risposta
P = €1 084,39
La duration è una stima lineare; per grandi variazioni del rendimento la convessità rende il prezzo effettivo un po’ più alto.
7.CAPM e WACC
Risposta: WACC = 13,14 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Costi-volumi-risultati: ogni unità venduta porta un margine di contribuzione, prezzo meno costo variabile unitario. Utile = Q·(p − v) − F, dove F è il costo fisso. Al punto di pareggio l'utile è zero, quindi Q = F/(p − v).
Costi-volumi-risultati: ogni unità venduta porta un margine di contribuzione, prezzo meno costo variabile unitario. Utile = Q·(p − v) − F, dove F è il costo fisso. Al punto di pareggio l'utile è zero, quindi Q = F/(p − v).