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1Formule e metodi
Valore temporale del denaro
Valore futuro
FV = PV·(1 + i)n
Valore attuale
PV = FV/(1 + i)n
Più periodi all’anno
i = r/m, N = m·n
Rendita, valore attuale
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Rendita, valore futuro
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Metodo
Disegna una linea temporale con ogni flusso di cassa e la sua scadenza.
Abbina il tasso al periodo: un tasso mensile per pagamenti mensili.
Usa FV = PV·(1 + i)ⁿ per importi singoli e le formule delle rendite per pagamenti costanti.
Controlla il segno e l’ordine di grandezza della risposta.
VAN e TIR
Valore attuale netto
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Flussi uguali
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Tasso interno di rendimento
il r per cui NPV = 0
Decisione
accetta se NPV > 0 (o IRR > rendimento richiesto)
Metodo
Elenca tutti i flussi di cassa con il loro anno; l’investimento all’anno 0 è negativo.
Sconta ogni flusso di cassa: CFt/(1 + r)t.
Sommali per ottenere il VAN. Positivo significa che il progetto rende più di r.
Per il TIR, trova per tentativi o per interpolazione il tasso che annulla il VAN.
Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Prezzo dell’obbligazione
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Cedole semestrali
C/2, y/2 e 2n periodi
Rendimento corrente
C/P
Prezzo e rendimento
rendimento su → prezzo giù
Metodo
Trova la cedola per periodo e il rendimento per periodo.
Prezzo = valore attuale delle cedole (una rendita) + valore attuale del valore nominale.
Per cedole semestrali usa metà cedola, metà rendimento e il doppio dei periodi.
Verifica: se il rendimento è superiore al tasso cedolare, il prezzo è inferiore al valore nominale.
CAPM e WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Valore dell’impresa
V = E + D
Analisi del punto di pareggio
Margine di contribuzione
CM = p − v
Quantità di pareggio
QBE = FC/(p − v)
Utile obiettivo
Q = (FC + profit)/(p − v)
Utile
π = (p − v)·Q − FC
Margine di sicurezza
(Q − QBE)/Q
2Esercizi
1.Valore temporale del denaroMedia
Ti servono €5 000 tra 9 anni. Un conto rende il 4 % annuo, capitalizzato mensilmente. Quanto devi versare oggi? Trova il valore attuale PV.
FV = €5 0004% / 12n = 9
PV = €
2.Valore temporale del denaroDifficile
Un prestito di €250 000 viene rimborsato con rate mensili costanti in 30 anni. Il tasso d'interesse è del 3 % annuo, capitalizzato mensilmente. Trova la rata mensile A.
P = €250 0003% / 12N = 360
A = €
3.VAN e TIRMedia
Un investimento di €60 000 genera questi flussi alla fine degli anni da 1 a 4: €18 000, €20 000, €18 000, €25 000. Il costo del capitale è del 7,000000000000001 %. Trova il valore attuale netto NPV.
Un progetto costa €100 000 oggi. Il suo flusso di cassa è €11 000 alla fine dell’anno 1 e cresce del 2% annuo fino all’ultimo flusso alla fine dell’anno 10. Il costo del capitale è il 8%. Trova il valore attuale netto NPV.
C0 = €100 000CF1 = €11 000g = 2%n = 10r = 8%
NPV = €
5.Prezzo e rendimento delle obbligazioniMedia
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 paga una cedola annua del 7% in due rate semestrali e scade tra 7 anni. Il rendimento a scadenza è del 5% annuo. Trova il prezzo P dell’obbligazione.
F = €1 000cedola = 7%YTM = 5%n = 7
P = €
6.Prezzo e rendimento delle obbligazioniDifficile
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 e cedola annua del 8% scade tra 8 anni e quota €1 060. Trova il suo rendimento a scadenza YTM in percentuale.
F = €1 000cedola = 8%n = 8P = €1 060
YTM = %
7.CAPM e WACCMedia
Un’azienda ha capitale proprio per €10 000 000 e debito per €6 000 000. Il costo del capitale proprio è del 8%, il costo del debito al lordo delle imposte è del 7% e l’aliquota fiscale è del 28%. Trova il WACC.
Un’azienda ha 4 000 000 azioni da €21,00 ciascuna e 20 000 obbligazioni quotate €960 ciascuna. Il costo del debito al lordo delle imposte è del 4% e l’aliquota fiscale è del 30%. Il beta dell’azione è 1,2, il tasso privo di rischio è del 2,5% e il rendimento di mercato è del 7,5%. Trova il WACC.
β = 1,2rf = 2,5%rm = 7,5%rd = 4%T = 30%
WACC = %
9.Analisi del punto di pareggioMedia
Un prodotto si vende a €35 l'unità con un costo variabile di €15 per unità. I costi fissi sono €24 000 al mese. Quante unità Q vanno vendute al mese per ottenere un utile di €6 000?
F = €24 000p = €35v = €15utile = €6 000
Q = unità
10.Analisi del punto di pareggioDifficile
Un’azienda vende 3 130 unità al mese a €38 l’una, con un costo variabile di €30 per unità e costi fissi di €20 000 al mese. Il costo variabile aumenta di €3 per unità e il prezzo resta invariato. Quante unità Q si devono ora vendere al mese per mantenere lo stesso utile?
Q = 3 130p = €38v = €30 → €33F = €20 000
Q = unità
3Soluzioni
1.Valore temporale del denaro
Risposta: PV = 3490 €
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Tasso e numero di periodi
i = 0,04/12 = 0,003333
N = 12·9 = 108
Valore attuale
PV = FV/(1 + i)N = 5 000/1,432 = €3 490,47
Risposta
PV = €3 490,47
2.Valore temporale del denaro
Risposta: A = 1054 €
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Tasso mensile e numero di rate
i = 0,03/12 = 0,0025
N = 12·30 = 360
Rata
Il valore attuale di N pagamenti uguali A è A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Ponilo uguale al prestito e ricava A.
(1 + i)−N = 0,407
A = 250 000·0,0025/(1 − 0,407) = €1 054,01
Risposta
A = €1 054,01
3.VAN e TIR
Risposta: NPV = 8057 €
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Valore attuale di ogni flusso
CF0 = −60 000
CF1/(1 + 0,07)1 = 18 000/1,07 = 16 822,43
CF2/(1 + 0,07)2 = 20 000/1,145 = 17 468,77
CF3/(1 + 0,07)3 = 18 000/1,225 = 14 693,36
CF4/(1 + 0,07)4 = 25 000/1,311 = 19 072,38
Sommali
NPV = €8 056,95
Risposta
NPV = €8 056,95
Il VAN è positivo, quindi il progetto rende più del rendimento richiesto.
4.VAN e TIR
Risposta: NPV = −20182 €
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Il VAN è negativo, quindi il progetto rende meno del rendimento richiesto.
5.Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Risposta: P = 1117 €
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Per periodo
C = €35,00, i = 0,025, N = 14
Valore attuale delle cedole
€35,00·(1 − 0,7077)/0,025 = €409,18
Valore attuale del valore nominale
€1 000·0,7077 = €707,73
Prezzo
P = €1 116,91
Risposta
P = €1 116,91
Il rendimento è inferiore al tasso cedolare, quindi l’obbligazione quota sopra la pari (a premio).
6.Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Risposta: YTM = 6,995 %
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Equazione del rendimento
€1 060 = €80·(1 − (1 + y)⁻⁸)/y + €1 000/(1 + y)⁸
Risolvi numericamente
P(6%) = €1 124,20, P(7%) = €1 059,71
YTM = 6,995%
Risposta
YTM = 6,995%
7.CAPM e WACC
Risposta: WACC = 6,89 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Pesi
V = €16 000 000, E/V = 0,625, D/V = 0,375
WACC
WACC = 0,625·8% + 0,375·7%·(1 − 0,28) = 6,89%
Risposta
WACC = 6,89%
8.CAPM e WACC
Risposta: WACC = 7,44 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Valori di mercato
E = 4 000 000·€21,00 = €84 000 000
D = 20 000·€960 = €19 200 000
Costo del capitale proprio (CAPM)
re = 2,5% + 1,2·5% = 8,5%
Pesi
V = €103 200 000, E/V = 0,814, D/V = 0,186
WACC
WACC = 0,814·8,5% + 0,186·4%·(1 − 0,3) = 7,44%
Risposta
WACC = 7,44%
9.Analisi del punto di pareggio
Risposta: Q = 1500 unità
Costi-volumi-risultati: ogni unità venduta porta un margine di contribuzione, prezzo meno costo variabile unitario. Utile = Q·(p − v) − F, dove F è il costo fisso. Al punto di pareggio l'utile è zero, quindi Q = F/(p − v).
Costi-volumi-risultati: ogni unità venduta porta un margine di contribuzione, prezzo meno costo variabile unitario. Utile = Q·(p − v) − F, dove F è il costo fisso. Al punto di pareggio l'utile è zero, quindi Q = F/(p − v).