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1Formule e metodi
Valore temporale del denaro
Valore futuro
FV = PV·(1 + i)n
Valore attuale
PV = FV/(1 + i)n
Più periodi all’anno
i = r/m, N = m·n
Rendita, valore attuale
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Rendita, valore futuro
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Metodo
Disegna una linea temporale con ogni flusso di cassa e la sua scadenza.
Abbina il tasso al periodo: un tasso mensile per pagamenti mensili.
Usa FV = PV·(1 + i)ⁿ per importi singoli e le formule delle rendite per pagamenti costanti.
Controlla il segno e l’ordine di grandezza della risposta.
VAN e TIR
Valore attuale netto
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Flussi uguali
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Tasso interno di rendimento
il r per cui NPV = 0
Decisione
accetta se NPV > 0 (o IRR > rendimento richiesto)
Metodo
Elenca tutti i flussi di cassa con il loro anno; l’investimento all’anno 0 è negativo.
Sconta ogni flusso di cassa: CFt/(1 + r)t.
Sommali per ottenere il VAN. Positivo significa che il progetto rende più di r.
Per il TIR, trova per tentativi o per interpolazione il tasso che annulla il VAN.
Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Prezzo dell’obbligazione
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Cedole semestrali
C/2, y/2 e 2n periodi
Rendimento corrente
C/P
Prezzo e rendimento
rendimento su → prezzo giù
Metodo
Trova la cedola per periodo e il rendimento per periodo.
Prezzo = valore attuale delle cedole (una rendita) + valore attuale del valore nominale.
Per cedole semestrali usa metà cedola, metà rendimento e il doppio dei periodi.
Verifica: se il rendimento è superiore al tasso cedolare, il prezzo è inferiore al valore nominale.
CAPM e WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Valore dell’impresa
V = E + D
Analisi del punto di pareggio
Margine di contribuzione
CM = p − v
Quantità di pareggio
QBE = FC/(p − v)
Utile obiettivo
Q = (FC + profit)/(p − v)
Utile
π = (p − v)·Q − FC
Margine di sicurezza
(Q − QBE)/Q
2Esercizi
1.Valore temporale del denaroMedia
Investi €10 000 al 5% annuo con capitalizzazione continua. Trova il valore FV dopo 3 anni.
PV = €10 000r = 5%t = 3
FV = €
2.Valore temporale del denaroDifficile
Versi €2 000 all’inizio di ogni anno per 15 anni, con il primo versamento oggi. Il conto rende il 3% annuo. Quanto c’è sul conto alla fine dell’anno 15? Trova FV.
A = €2 000i = 3%n = 15
FV = €
3.VAN e TIRMedia
Un progetto costa €400 000 oggi. Genera €44 000 alla fine del primo anno, e il flusso di cassa cresce poi del 2% annuo per sempre. Il costo del capitale è il 12%. Trova il valore attuale netto NPV.
C0 = €400 000CF1 = €44 000g = 2%r = 12%
NPV = €
4.VAN e TIRDifficile
Un progetto costa €80 000 oggi. Il suo flusso di cassa è €10 500 alla fine dell’anno 1 e cresce del 4% annuo fino all’ultimo flusso alla fine dell’anno 9. Il costo del capitale è il 8%. Trova il valore attuale netto NPV.
C0 = €80 000CF1 = €10 500g = 4%n = 9r = 8%
NPV = €
5.Prezzo e rendimento delle obbligazioniMedia
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 paga una cedola annua del 8% in due rate semestrali e scade tra 7 anni. Il rendimento a scadenza è del 5% annuo. Trova il prezzo P dell’obbligazione.
F = €1 000cedola = 8%YTM = 5%n = 7
P = €
6.Prezzo e rendimento delle obbligazioniDifficile
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 paga una cedola annua del 6% in due rate semestrali e scade tra 4 anni. Viene venduta a €1 112. Trova il suo rendimento a scadenza YTM come tasso annuo (il doppio del rendimento semestrale), in percentuale.
F = €1 000cedola = 6% (2×)n = 4P = €1 112
YTM = %
7.CAPM e WACCMedia
Un’azienda ha capitale proprio per €5 000 000 e debito per €1 000 000. Il suo WACC è del 11,43%, il costo del debito al lordo delle imposte è del 5% e l’aliquota fiscale è del 28%. Trova il costo del capitale proprio re.
Le azioni di un’azienda hanno un beta di 1,1 con l’attuale rapporto debito/capitale proprio di 0,25. L’azienda prevede di portare il rapporto debito/capitale proprio a 1. L’aliquota fiscale è del 30%, il tasso privo di rischio del 4% e il premio per il rischio di mercato del 4%. Trova il costo del capitale proprio re dopo la modifica.
Un’azienda vende 1 000 unità a €29 l’una. Il costo variabile è €25 per unità e i costi fissi sono €2 000. Trova il grado di leva operativa DOL a questo livello di vendite.
Q = 1 000p = €29v = €25F = €2 000
DOL =
10.Analisi del punto di pareggioDifficile
Un prodotto si vende a €60 l'unità, con un costo variabile di €45 per unità e costi fissi di €37 500 all'anno. Le vendite a budget sono 3 250 unità. Trova il margine di sicurezza MS in percentuale delle vendite a budget.
F = €37 500p = €60v = €45budget = 3 250
MS = %
3Soluzioni
1.Valore temporale del denaro
Risposta: FV = 11618 €
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Esponente
r·t = 0,05·3 = 0,15
e0,15 = 1,162
Valore futuro
FV = 10 000·1,162 = €11 618,34
Risposta
FV = €11 618,34
2.Valore temporale del denaro
Risposta: FV = 38314 €
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Fattore della rendita posticipata
((1 + 0,03)15 − 1)/0,03 = 18,6
Rendita anticipata
Ogni versamento resta investito un anno in più.
FV = 2 000·18,6·1,03 = €38 313,76
Risposta
FV = €38 313,76
3.VAN e TIR
Risposta: NPV = 40000 €
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Valore dei flussi di cassa
PV = 44 000/(0,12 − 0,02) = 440 000,00
NPV
NPV = 440 000,00 − 400 000 = €40 000,00
Risposta
NPV = €40 000,00
Il VAN è positivo, quindi il progetto rende più del rendimento richiesto.
4.VAN e TIR
Risposta: NPV = −4403 €
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Valore attuale della rendita crescente
((1,04)/(1,08))9 = 0,712
PV = 10 500/(0,08 − 0,04)·(1 − 0,712) = 75 597,31
NPV
NPV = 75 597,31 − 80 000 = −€4 402,69
Risposta
NPV = −€4 402,69
Il VAN è negativo, quindi il progetto rende meno del rendimento richiesto.
5.Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Risposta: P = 1175 €
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Per periodo
C = €40,00, i = 0,025, N = 14
Valore attuale delle cedole
€40,00·(1 − 0,7077)/0,025 = €467,64
Valore attuale del valore nominale
€1 000·0,7077 = €707,73
Prezzo
P = €1 175,36
Risposta
P = €1 175,36
Il rendimento è inferiore al tasso cedolare, quindi l’obbligazione quota sopra la pari (a premio).
6.Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Risposta: YTM = 3,007 %
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Per periodo
C = €30,00, N = 8
Risolvi numericamente
i = 1,504% per semestre
YTM
YTM = 2·1,504% = 3,007%
Risposta
YTM = 3,007%
7.CAPM e WACC
Risposta: re = 13 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Pesi
V = €6 000 000, E/V = 0,8333, D/V = 0,1667
Parte del debito nel WACC
0,1667·5%·(1 − 0,28) = 0,6%
Costo del capitale proprio
re = (11,43% − 0,6%)/0,8333 = 13%
Risposta
re = 13%
8.CAPM e WACC
Risposta: re = 10,37 %
Beta levered (Hamada): il debito rende il capitale proprio più rischioso. βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E), dove βU è il beta dell’attività senza debito. Per trasferire un beta a un’altra struttura del capitale, prima rendilo unlevered e poi ricalcolalo levered al nuovo D/E.
Rendi il beta unlevered
βU = 1,1/(1 + 0,7·0,25) = 0,9362
Ricalcola il beta levered al nuovo D/E
βL = 0,9362·(1 + 0,7·1) = 1,591
Costo del capitale proprio (CAPM)
re = 4% + 1,591·4% = 10,37%
Risposta
re = 10,37%
9.Analisi del punto di pareggio
Risposta: DOL = 2
Leva operativa: i costi fissi fanno reagire l’utile più intensamente delle vendite. Il grado di leva operativa DOL = margine di contribuzione/utile operativo indica che una variazione dell’1% delle vendite fa variare l’utile del DOL %. È molto alto appena sopra il pareggio e diminuisce al crescere delle vendite.
Margine di contribuzione totale
CM = 1 000·(29 − 25) = €4 000
Utile operativo
Π = 4 000 − 2 000 = €2 000
DOL
DOL = 4 000/2 000 = 2
Risposta
DOL = 2
10.Analisi del punto di pareggio
Risposta: MS = 23,08 %
Costi-volumi-risultati: ogni unità venduta porta un margine di contribuzione, prezzo meno costo variabile unitario. Utile = Q·(p − v) − F, dove F è il costo fisso. Al punto di pareggio l'utile è zero, quindi Q = F/(p − v).