Finanza aziendale: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 10 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Valore temporale del denaro

Valore futuro: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Valore attuale: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Più periodi all’anno: i = r/m, N = m·n
Rendita, valore attuale: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Rendita, valore futuro: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Metodo

Disegna una linea temporale con ogni flusso di cassa e la sua scadenza.
Abbina il tasso al periodo: un tasso mensile per pagamenti mensili.
Usa FV = PV·(1 + i)ⁿ per importi singoli e le formule delle rendite per pagamenti costanti.
Controlla il segno e l’ordine di grandezza della risposta.

VAN e TIR

Valore attuale netto: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Flussi uguali: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Tasso interno di rendimento: il r per cui NPV = 0
Decisione: accetta se NPV > 0 (o IRR > rendimento richiesto)

Metodo

Elenca tutti i flussi di cassa con il loro anno; l’investimento all’anno 0 è negativo.
Sconta ogni flusso di cassa: CF_t/(1 + r)^t.
Sommali per ottenere il VAN. Positivo significa che il progetto rende più di r.
Per il TIR, trova per tentativi o per interpolazione il tasso che annulla il VAN.

Prezzo e rendimento delle obbligazioni

Prezzo dell’obbligazione: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Cedole semestrali: C/2, y/2 e 2n periodi
Rendimento corrente: C/P
Prezzo e rendimento: rendimento su → prezzo giù

Metodo

Trova la cedola per periodo e il rendimento per periodo.
Prezzo = valore attuale delle cedole (una rendita) + valore attuale del valore nominale.
Per cedole semestrali usa metà cedola, metà rendimento e il doppio dei periodi.
Verifica: se il rendimento è superiore al tasso cedolare, il prezzo è inferiore al valore nominale.

CAPM e WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Valore dell’impresa: V = E + D

Analisi del punto di pareggio

Margine di contribuzione: CM = p − v
Quantità di pareggio: Q_BE = FC/(p − v)
Utile obiettivo: Q = (FC + profit)/(p − v)
Utile: π = (p − v)·Q − FC
Margine di sicurezza: (Q − Q_BE)/Q

2Esercizi

1.Valore temporale del denaroMedia

Investi €5 000 a un tasso nominale del 4,8 % annuo, capitalizzato trimestralmente. Trova il valore FV dell'investimento dopo 9 anni.

PV = €5 0004,8% / 4n = 9

FV = €

2.Valore temporale del denaroDifficile

Un mutuo di €200 000 viene rimborsato con rate mensili costanti in 25 anni al 3,6% annuo, capitalizzato mensilmente. Quanto resta da pagare subito dopo la rata alla fine dell’anno 10? Trova il debito residuo B.

P = €200 0003,6% / 12N = 300k = 120

B = €

3.VAN e TIRMedia

Una macchina costa €30 000 oggi. Genera €5 500 alla fine di ogni anno per 6 anni e poi può essere venduta a €3 000. Il costo del capitale è il 6%. Trova il valore attuale netto NPV.

C₀ = €30 000CF = €5 500S = €3 000n = 6r = 6%

NPV = €

4.VAN e TIRDifficile

Un progetto costa €50 000 e restituisce €33 500, €19 500 alla fine degli anni da 1 a 2. Trova il suo tasso interno di rendimento IRR in percentuale.

CF₀ = −50 000CF₁ = 33 500CF₂ = 19 500

IRR = %

5.Prezzo e rendimento delle obbligazioniMedia

Un’obbligazione con valore nominale €1 000 scade tra 5 anni e paga cedole annuali. Viene venduta a €1 137 quando il rendimento a scadenza è del 3%. Trova il tasso cedolare c in percentuale.

F = €1 000n = 5P = €1 137YTM = 3%

c = %

6.Prezzo e rendimento delle obbligazioniDifficile

Un’obbligazione con valore nominale €1 000 e cedola annua del 4% scade tra 3 anni e quota €1 030. Trova il suo rendimento a scadenza YTM in percentuale.

F = €1 000cedola = 4%n = 3P = €1 030

YTM = %

7.CAPM e WACCMedia

Un’azienda ha capitale proprio per €12 000 000 e debito per €3 000 000. Il costo del capitale proprio è del 13%, il costo del debito al lordo delle imposte è del 5% e l’aliquota fiscale è del 21%. Trova il WACC.

E = €12 000 000D = €3 000 000r_e = 13%r_d = 5%T = 21%

WACC = %

8.CAPM e WACCDifficile

Le azioni di un’azienda hanno un beta di 0,9 con l’attuale rapporto debito/capitale proprio di 0,25. L’azienda prevede di portare il rapporto debito/capitale proprio a 0,6. L’aliquota fiscale è del 25,8%, il tasso privo di rischio del 1,5% e il premio per il rischio di mercato del 6,5%. Trova il costo del capitale proprio r_e dopo la modifica.

β_L = 0,9D/E₁ = 0,25D/E₂ = 0,6T = 25,8%r_f = 1,5%r_m − r_f = 6,5%

r_e = %

9.Analisi del punto di pareggioMedia

Un prodotto si vende a €45 l'unità con un costo variabile di €25 per unità. I costi fissi sono €50 000 al mese. Quante unità Q vanno vendute al mese per ottenere un utile di €20 000?

F = €50 000p = €45v = €25utile = €20 000

Q = unità

10.Analisi del punto di pareggioDifficile

Un prodotto si vende a €57 l'unità, con un costo variabile di €45 per unità e costi fissi di €14 400 all'anno. Le vendite a budget sono 1 500 unità. Trova il margine di sicurezza MS in percentuale delle vendite a budget.

F = €14 400p = €57v = €45budget = 1 500

MS = %

3Soluzioni

1.Valore temporale del denaro

Risposta: FV = 7682 €

Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)ⁿ. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.

Tasso e numero di periodi

i = r/m = 0,048/4 = 0,012

N = m·n = 4·9 = 36

Valore futuro

FV = 5 000·(1 + 0,012)³⁶ = 5 000·1,536 = €7 681,90

Risposta

FV = €7 681,90

2.Valore temporale del denaro

Risposta: B = 140595 €

Rata mensile

i = 0,003, N = 300

A = 200 000·0,003/(1 − (1 + 0,003)⁻³⁰⁰) = €1 012,01

Valore attuale delle rate rimanenti

Ciò che resta da pagare deve essere estinto esattamente dalle rate rimanenti.

N − k = 300 − 120 = 180

B = 1012·(1 − (1 + 0,003)⁻¹⁸⁰)/0,003 = €140 594,70

Risposta

B = €140 594,70

3.VAN e TIR

Risposta: NPV = −839,8 €

Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.

Valore attuale dei flussi di cassa annui

5 500·4,917 = 27 045,28

Valore attuale del valore residuo

3 000/1,419 = 2 114,88

NPV

NPV = −30 000 + 27 045,28 + 2 114,88 = −€839,83

Risposta

NPV = −€839,83

4.VAN e TIR

Risposta: IRR = 4,368 %

Delimitare il TIR

Il VAN scende quando il tasso sale, quindi il TIR sta tra un tasso con VAN positivo e uno con VAN negativo.

NPV(0%) = 3 000,00

NPV(5%) = −408,16

Restringere

L'interpolazione lineare dà una prima stima; ripeterla (o usare la funzione TIR di una calcolatrice) dà il tasso esatto.

IRR ≈ 0 + 5·3 000,00/(3 000,00 − (−408,16)) = 4,401%

esatto: NPV(4,368%) = 0 → IRR = 4,368%

Risposta

IRR = 4,368%

5.Prezzo e rendimento delle obbligazioni

Risposta: c = 5,991 %

Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.

Valore attuale del valore nominale

1000·(1 + 0,03)⁻⁵ = €862,61

Cedola

C = (1137 − 862,61)/4,58 = €59,91

Tasso cedolare

c = 59,91/1000 = 5,991%

Risposta

c = 5,991%

6.Prezzo e rendimento delle obbligazioni

Risposta: YTM = 2,941 %

Equazione del rendimento

€1 030 = €40·(1 − (1 + y)⁻³)/y + €1 000/(1 + y)³

Risolvi numericamente

P(2%) = €1 057,68, P(3%) = €1 028,29

YTM = 2,941%

Risposta

YTM = 2,941%

7.CAPM e WACC

Risposta: WACC = 11,19 %

Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).

Pesi

V = €15 000 000, E/V = 0,8, D/V = 0,2

WACC

WACC = 0,8·13% + 0,2·5%·(1 − 0,21) = 11,19%

Risposta

WACC = 11,19%

8.CAPM e WACC

Risposta: r_e = 8,632 %

Beta levered (Hamada): il debito rende il capitale proprio più rischioso. β_L = β_U·(1 + (1 − T)·D/E), dove β_U è il beta dell’attività senza debito. Per trasferire un beta a un’altra struttura del capitale, prima rendilo unlevered e poi ricalcolalo levered al nuovo D/E.

Rendi il beta unlevered

β_U = 0,9/(1 + 0,742·0,25) = 0,7592

Ricalcola il beta levered al nuovo D/E

β_L = 0,7592·(1 + 0,742·0,6) = 1,097

Costo del capitale proprio (CAPM)

r_e = 1,5% + 1,097·6,5% = 8,632%

Risposta

r_e = 8,632%

9.Analisi del punto di pareggio

Risposta: Q = 3500 unità

Costi-volumi-risultati: ogni unità venduta porta un margine di contribuzione, prezzo meno costo variabile unitario. Utile = Q·(p − v) − F, dove F è il costo fisso. Al punto di pareggio l'utile è zero, quindi Q = F/(p − v).

Margine di contribuzione unitario

p − v = 45 − 25 = €20

Unità per l'utile obiettivo

Q = (F + utile)/(p − v) = (50 000 + 20 000)/20 = 3 500

Risposta

Q = 3 500 unità

10.Analisi del punto di pareggio

Risposta: MS = 20 %

Quantità di pareggio

Q = F/(p − v) = 14 400/12 = 1 200

Margine di sicurezza

MS = (1 500 − 1 200)/1 500·100 = 20%

Risposta

MS = 20%

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