Nella finestra di stampa scegli “Salva come PDF” per conservarne una copia sul tuo dispositivo.
1Formule e metodi
Valore temporale del denaro
Valore futuro
FV = PV·(1 + i)n
Valore attuale
PV = FV/(1 + i)n
Più periodi all’anno
i = r/m, N = m·n
Rendita, valore attuale
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Rendita, valore futuro
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Metodo
Disegna una linea temporale con ogni flusso di cassa e la sua scadenza.
Abbina il tasso al periodo: un tasso mensile per pagamenti mensili.
Usa FV = PV·(1 + i)ⁿ per importi singoli e le formule delle rendite per pagamenti costanti.
Controlla il segno e l’ordine di grandezza della risposta.
VAN e TIR
Valore attuale netto
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Flussi uguali
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Tasso interno di rendimento
il r per cui NPV = 0
Decisione
accetta se NPV > 0 (o IRR > rendimento richiesto)
Metodo
Elenca tutti i flussi di cassa con il loro anno; l’investimento all’anno 0 è negativo.
Sconta ogni flusso di cassa: CFt/(1 + r)t.
Sommali per ottenere il VAN. Positivo significa che il progetto rende più di r.
Per il TIR, trova per tentativi o per interpolazione il tasso che annulla il VAN.
Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Prezzo dell’obbligazione
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Cedole semestrali
C/2, y/2 e 2n periodi
Rendimento corrente
C/P
Prezzo e rendimento
rendimento su → prezzo giù
Metodo
Trova la cedola per periodo e il rendimento per periodo.
Prezzo = valore attuale delle cedole (una rendita) + valore attuale del valore nominale.
Per cedole semestrali usa metà cedola, metà rendimento e il doppio dei periodi.
Verifica: se il rendimento è superiore al tasso cedolare, il prezzo è inferiore al valore nominale.
CAPM e WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Valore dell’impresa
V = E + D
Analisi del punto di pareggio
Margine di contribuzione
CM = p − v
Quantità di pareggio
QBE = FC/(p − v)
Utile obiettivo
Q = (FC + profit)/(p − v)
Utile
π = (p − v)·Q − FC
Margine di sicurezza
(Q − QBE)/Q
2Esercizi
1.Valore temporale del denaroMedia
Una rendita paga €8 000 alla fine di ogni anno per 11 anni. Il tasso di interesse è il 6% annuo. Trova il valore attuale PV della rendita.
A = €8 000i = 6%n = 11
PV = €
2.Valore temporale del denaroDifficile
Un mutuo di €200 000 viene rimborsato con rate mensili costanti in 25 anni al 4,2% annuo, capitalizzato mensilmente. Quanto resta da pagare subito dopo la rata alla fine dell’anno 3? Trova il debito residuo B.
P = €200 0004,2% / 12N = 300k = 36
B = €
3.VAN e TIRMedia
Un investimento di €60 000 genera questi flussi alla fine degli anni da 1 a 3: €28 000, €26 000, €25 000. Il costo del capitale è del 5 %. Trova il valore attuale netto NPV.
Un progetto costa €40 000 e rende €19 500, €15 500, €21 000 alla fine degli anni da 1 a 3. I flussi di cassa possono essere reinvestiti al costo del capitale del 12%. Trova il tasso interno di rendimento modificato MIRR in percentuale.
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 paga una cedola annua di 7% e scade tra 12 anni. Il suo rendimento a scadenza passa dal 4% al 2,5%. Di quanto ΔP varia il prezzo dell’obbligazione?
F = €1 000cedola = 7%n = 12y1 = 4%y2 = 2,5%
ΔP = €
6.Prezzo e rendimento delle obbligazioniDifficile
Un’obbligazione con 10 anni alla scadenza (valore nominale €1 000, cedola annua 5%) viene venduta a €1 125. L’emittente può rimborsarla anticipatamente tra 4 anni a un prezzo di richiamo di €1 050. Trova il rendimento al richiamo YTC in percentuale.
F = €1 000cedola = 5%P = €1 125prezzo di richiamo = €1 050richiamo tra 4 anni
YTC = %
7.CAPM e WACCMedia
Un’azienda ha capitale proprio per €2 000 000 e debito per €4 000 000. Il costo del capitale proprio è del 11%, il costo del debito al lordo delle imposte è del 3% e l’aliquota fiscale è del 25%. Trova il WACC.
Un’azienda ha 5 000 000 azioni da €40,00 ciascuna e 20 000 obbligazioni quotate €1 000 ciascuna. Il costo del debito al lordo delle imposte è del 7% e l’aliquota fiscale è del 20%. Il beta dell’azione è 0,6, il tasso privo di rischio è del 3% e il rendimento di mercato è del 7,5%. Trova il WACC.
β = 0,6rf = 3%rm = 7,5%rd = 7%T = 20%
WACC = %
9.Analisi del punto di pareggioMedia
Un prodotto si vende a €48 con un costo variabile di €45 per unità. I costi fissi sono €15 000 al mese e l’utile è tassato al 20%. Quante unità Q si devono vendere al mese per guadagnare €7 500 al netto delle imposte?
p = €48v = €45F = €15 000T = 20%utile al netto delle imposte = €7 500
Q = unità
10.Analisi del punto di pareggioDifficile
Un’azienda vende 12 500 unità a €50 l’una, con un costo variabile di €30 per unità e costi fissi di €100 000. Di quale percentuale %ΔΠ varia l’utile operativo se il volume delle vendite aumenta del 15%?
Q = 12 500p = €50v = €30F = €100 000%ΔQ = +15%
%ΔΠ = %
3Soluzioni
1.Valore temporale del denaro
Risposta: PV = 63095 €
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Fattore di rendita
(1 − (1 + i)−n)/i = (1 − 0,5268)/0,06 = 7,887
Valore attuale
PV = 8 000·7,887 = €63 095,00
Risposta
PV = €63 095,00
2.Valore temporale del denaro
Risposta: B = 185529 €
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Ciò che resta da pagare deve essere estinto esattamente dalle rate rimanenti.
N − k = 300 − 36 = 264
B = 1078·(1 − (1 + 0,0035)−264)/0,0035 = €185 528,89
Risposta
B = €185 528,89
3.VAN e TIR
Risposta: NPV = 11845 €
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Valore attuale di ogni flusso
CF0 = −60 000
CF1/(1 + 0,05)1 = 28 000/1,05 = 26 666,67
CF2/(1 + 0,05)2 = 26 000/1,103 = 23 582,77
CF3/(1 + 0,05)3 = 25 000/1,158 = 21 595,94
Sommali
NPV = €11 845,37
Risposta
NPV = €11 845,37
Il VAN è positivo, quindi il progetto rende più del rendimento richiesto.
4.VAN e TIR
Risposta: MIRR = 16,24 %
TIR modificato: capitalizza ogni entrata fino alla fine del progetto al tasso di reinvestimento (di solito il costo del capitale) per ottenere il valore finale TV. Il MIRR è il tasso che trasforma l’investimento iniziale in TV: MIRR = (TV/C₀)^(1/n) − 1.
Valore finale delle entrate
19 500·1,122 = 24 460,80
15 500·1,121 = 17 360,00
21 000·1,120 = 21 000,00
TV = 62 820,80
MIRR
MIRR = (62 820,80/40 000)1/3 − 1 = 16,24%
Risposta
MIRR = 16,24%
5.Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Risposta: ΔP = 180 €
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Equazione del rendimento
1125 = 50·(1 − (1 + y)−4)/y + 1050/(1 + y)4
Risolvi numericamente
y = 2%: €1 160,42
y = 3%: €1 118,77
YTC = 2,847%
Risposta
YTC = 2,847%
Il rendimento a scadenza è del 3,497%. Chi investe in un’obbligazione sopra la pari si aspetta che venga richiamata, quindi il rendimento al richiamo, più basso, è quello più realistico.
7.CAPM e WACC
Risposta: WACC = 5,167 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Pesi
V = €6 000 000, E/V = 0,3333, D/V = 0,6667
WACC
WACC = 0,3333·11% + 0,6667·3%·(1 − 0,25) = 5,167%
Risposta
WACC = 5,167%
8.CAPM e WACC
Risposta: WACC = 5,691 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Costi-volumi-risultati: ogni unità venduta porta un margine di contribuzione, prezzo meno costo variabile unitario. Utile = Q·(p − v) − F, dove F è il costo fisso. Al punto di pareggio l'utile è zero, quindi Q = F/(p − v).
Utile al lordo delle imposte necessario
7 500/(1 − 0,2) = €9 375
Unità necessarie
Q = (15 000 + 9 375)/3 = 8 125
Risposta
Q = 8 125 unità
10.Analisi del punto di pareggio
Risposta: %ΔΠ = 25 %
Leva operativa: i costi fissi fanno reagire l’utile più intensamente delle vendite. Il grado di leva operativa DOL = margine di contribuzione/utile operativo indica che una variazione dell’1% delle vendite fa variare l’utile del DOL %. È molto alto appena sopra il pareggio e diminuisce al crescere delle vendite.