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1Formule e metodi
Valore temporale del denaro
Valore futuro
FV = PV·(1 + i)n
Valore attuale
PV = FV/(1 + i)n
Più periodi all’anno
i = r/m, N = m·n
Rendita, valore attuale
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Rendita, valore futuro
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Metodo
Disegna una linea temporale con ogni flusso di cassa e la sua scadenza.
Abbina il tasso al periodo: un tasso mensile per pagamenti mensili.
Usa FV = PV·(1 + i)ⁿ per importi singoli e le formule delle rendite per pagamenti costanti.
Controlla il segno e l’ordine di grandezza della risposta.
VAN e TIR
Valore attuale netto
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Flussi uguali
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Tasso interno di rendimento
il r per cui NPV = 0
Decisione
accetta se NPV > 0 (o IRR > rendimento richiesto)
Metodo
Elenca tutti i flussi di cassa con il loro anno; l’investimento all’anno 0 è negativo.
Sconta ogni flusso di cassa: CFt/(1 + r)t.
Sommali per ottenere il VAN. Positivo significa che il progetto rende più di r.
Per il TIR, trova per tentativi o per interpolazione il tasso che annulla il VAN.
Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Prezzo dell’obbligazione
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Cedole semestrali
C/2, y/2 e 2n periodi
Rendimento corrente
C/P
Prezzo e rendimento
rendimento su → prezzo giù
Metodo
Trova la cedola per periodo e il rendimento per periodo.
Prezzo = valore attuale delle cedole (una rendita) + valore attuale del valore nominale.
Per cedole semestrali usa metà cedola, metà rendimento e il doppio dei periodi.
Verifica: se il rendimento è superiore al tasso cedolare, il prezzo è inferiore al valore nominale.
CAPM e WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Valore dell’impresa
V = E + D
Analisi del punto di pareggio
Margine di contribuzione
CM = p − v
Quantità di pareggio
QBE = FC/(p − v)
Utile obiettivo
Q = (FC + profit)/(p − v)
Utile
π = (p − v)·Q − FC
Margine di sicurezza
(Q − QBE)/Q
2Esercizi
1.Valore temporale del denaroMedia
Investi €20 000 a un tasso nominale del 4,8 % annuo, capitalizzato mensilmente. Trova il valore FV dell'investimento dopo 3 anni.
PV = €20 0004,8% / 12n = 3
FV = €
2.Valore temporale del denaroDifficile
Risparmi €300 alla fine di ogni mese per 21 anni. Il conto rende il 4,2 % annuo, capitalizzato mensilmente. Quanto hai risparmiato alla fine? Trova FV.
A = €3004,2% / 12N = 252
FV = €
3.VAN e TIRMedia
Una macchina costa €50 000 oggi, dura 8 anni e costa €5 000 all’anno di esercizio (pagati alla fine di ogni anno). Il costo del capitale è il 8%. Trova il suo costo annuo equivalente EAC.
C0 = €50 000M = €5 000n = 8r = 8%
EAC = €
4.VAN e TIRDifficile
Il progetto A costa €10 000 e rende €5 000, €4 000, €2 500 alla fine degli anni da 1 a 3. Il progetto B costa €12 000 e rende €3 500, €4 500, €6 000. Trova il tasso di indifferenza (crossover) r* al quale entrambi i progetti hanno lo stesso VAN, in percentuale.
Acquisti un’obbligazione con 6 anni alla scadenza (valore nominale €1 000, cedola annua 8%) quando il suo rendimento a scadenza è del 9%. Un anno dopo, subito dopo aver incassato la prima cedola, la vendi quando il rendimento a scadenza è del 10%. Trova il tuo rendimento del periodo di detenzione HPR in percentuale.
F = €1 000cedola = 8%n = 6y0 = 9%y1 = 10%
HPR = %
6.Prezzo e rendimento delle obbligazioniDifficile
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 e cedola annua del 7% scade tra 8 anni e quota €945. Trova il suo rendimento a scadenza YTM in percentuale.
F = €1 000cedola = 7%n = 8P = €945
YTM = %
7.CAPM e WACCMedia
Un’azienda ha un rapporto debito/capitale proprio (a valori di mercato) di 1,5. Il suo costo del capitale proprio è del 14%, il costo del debito al lordo delle imposte è del 5% e l’aliquota fiscale è del 25%. Trova il WACC.
D/E = 1,5re = 14%rd = 5%T = 25%
WACC = %
8.CAPM e WACCDifficile
Le azioni di un’azienda hanno un beta di 1,1 con l’attuale rapporto debito/capitale proprio di 0,4. L’azienda prevede di portare il rapporto debito/capitale proprio a 1. L’aliquota fiscale è del 30%, il tasso privo di rischio del 2% e il premio per il rischio di mercato del 5%. Trova il costo del capitale proprio re dopo la modifica.
Un prodotto si vende a €9 l'unità con un costo variabile di €4 per unità. I costi fissi sono €10 000 al mese. Quante unità Q vanno vendute al mese per ottenere un utile di €5 000?
F = €10 000p = €9v = €4utile = €5 000
Q = unità
10.Analisi del punto di pareggioDifficile
Un prodotto si vende a €16 l'unità, con un costo variabile di €6 per unità e costi fissi di €10 000 all'anno. Le vendite a budget sono 1 200 unità. Trova il margine di sicurezza MS in percentuale delle vendite a budget.
F = €10 000p = €16v = €6budget = 1 200
MS = %
3Soluzioni
1.Valore temporale del denaro
Risposta: FV = 23091 €
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Costo annuo equivalente: distribuisci il valore attuale di tutti i costi sulla vita utile come un importo annuo costante (una rendita): EAC = PV·r/(1 − (1 + r)⁻ⁿ). Permette di confrontare macchine con vite diverse.
Fattore di rendita
(1 − 1,08−8)/0,08 = 5,747
Prezzo d’acquisto annualizzato
50 000/5,747 = 8 700,74
EAC
EAC = 8 700,74 + 5 000 = €13 700,74
Risposta
EAC = €13 700,74
4.VAN e TIR
Risposta: r* = 5,601 %
Tasso di indifferenza (crossover): il tasso di sconto al quale due progetti hanno lo stesso VAN. È il TIR della differenza dei loro flussi di cassa (B − A). Al di sotto, il progetto con flussi più tardivi e più grandi ha il VAN maggiore; al di sopra prevale l’altro.
Differenza dei flussi di cassa
ΔCF0 = −12 000 − (−10 000) = −2 000
ΔCF1 = 3 500 − 5 000 = −1 500
ΔCF2 = 4 500 − 4 000 = 500
ΔCF3 = 6 000 − 2 500 = 3 500
TIR della differenza
NPVΔ(5%) = 48,37
NPVΔ(6%) = −31,43
r* = 5,601%
Risposta
r* = 5,601%
Verifica: al 5,601% entrambi i VAN valgono €444,61.
5.Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Risposta: HPR = 5,135 %
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Equazione del rendimento
€945 = €70·(1 − (1 + y)⁻⁸)/y + €1 000/(1 + y)⁸
Risolvi numericamente
P(7%) = €1 000,00, P(8%) = €942,53
YTM = 7,955%
Risposta
YTM = 7,955%
7.CAPM e WACC
Risposta: WACC = 7,85 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Pesi da D/E
E/V = 1/(1 + 1,5) = 0,4
D/V = 1,5/(1 + 1,5) = 0,6
WACC
WACC = 0,4·14% + 0,6·5%·(1 − 0,25) = 7,85%
Risposta
WACC = 7,85%
8.CAPM e WACC
Risposta: re = 9,305 %
Beta levered (Hamada): il debito rende il capitale proprio più rischioso. βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E), dove βU è il beta dell’attività senza debito. Per trasferire un beta a un’altra struttura del capitale, prima rendilo unlevered e poi ricalcolalo levered al nuovo D/E.
Rendi il beta unlevered
βU = 1,1/(1 + 0,7·0,4) = 0,8594
Ricalcola il beta levered al nuovo D/E
βL = 0,8594·(1 + 0,7·1) = 1,461
Costo del capitale proprio (CAPM)
re = 2% + 1,461·5% = 9,305%
Risposta
re = 9,305%
9.Analisi del punto di pareggio
Risposta: Q = 3000 unità
Costi-volumi-risultati: ogni unità venduta porta un margine di contribuzione, prezzo meno costo variabile unitario. Utile = Q·(p − v) − F, dove F è il costo fisso. Al punto di pareggio l'utile è zero, quindi Q = F/(p − v).
Costi-volumi-risultati: ogni unità venduta porta un margine di contribuzione, prezzo meno costo variabile unitario. Utile = Q·(p − v) − F, dove F è il costo fisso. Al punto di pareggio l'utile è zero, quindi Q = F/(p − v).