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1Formule e metodi
Valore temporale del denaro
Valore futuro
FV = PV·(1 + i)n
Valore attuale
PV = FV/(1 + i)n
Più periodi all’anno
i = r/m, N = m·n
Rendita, valore attuale
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Rendita, valore futuro
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Metodo
Disegna una linea temporale con ogni flusso di cassa e la sua scadenza.
Abbina il tasso al periodo: un tasso mensile per pagamenti mensili.
Usa FV = PV·(1 + i)ⁿ per importi singoli e le formule delle rendite per pagamenti costanti.
Controlla il segno e l’ordine di grandezza della risposta.
VAN e TIR
Valore attuale netto
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Flussi uguali
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Tasso interno di rendimento
il r per cui NPV = 0
Decisione
accetta se NPV > 0 (o IRR > rendimento richiesto)
Metodo
Elenca tutti i flussi di cassa con il loro anno; l’investimento all’anno 0 è negativo.
Sconta ogni flusso di cassa: CFt/(1 + r)t.
Sommali per ottenere il VAN. Positivo significa che il progetto rende più di r.
Per il TIR, trova per tentativi o per interpolazione il tasso che annulla il VAN.
Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Prezzo dell’obbligazione
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Cedole semestrali
C/2, y/2 e 2n periodi
Rendimento corrente
C/P
Prezzo e rendimento
rendimento su → prezzo giù
Metodo
Trova la cedola per periodo e il rendimento per periodo.
Prezzo = valore attuale delle cedole (una rendita) + valore attuale del valore nominale.
Per cedole semestrali usa metà cedola, metà rendimento e il doppio dei periodi.
Verifica: se il rendimento è superiore al tasso cedolare, il prezzo è inferiore al valore nominale.
CAPM e WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Valore dell’impresa
V = E + D
Analisi del punto di pareggio
Margine di contribuzione
CM = p − v
Quantità di pareggio
QBE = FC/(p − v)
Utile obiettivo
Q = (FC + profit)/(p − v)
Utile
π = (p − v)·Q − FC
Margine di sicurezza
(Q − QBE)/Q
2Esercizi
1.Valore temporale del denaroMedia
Ti servono €10 000 tra 2 anni. Un conto rende il 2 % annuo, capitalizzato trimestralmente. Quanto devi versare oggi? Trova il valore attuale PV.
FV = €10 0002% / 4n = 2
PV = €
2.Valore temporale del denaroDifficile
Prendi in prestito €20 000 al 6% annuo, capitalizzato mensilmente, e rimborsi €400 alla fine di ogni mese. Quanti mesi servono per estinguere il prestito (l’ultima rata può essere più bassa)? Indica il numero di rate N.
P = €20 000A = €4006% / 12
N = rate
3.VAN e TIRMedia
Un investimento di €20 000 genera questi flussi alla fine degli anni da 1 a 3: €5 000, €7 000, €8 000. Il costo del capitale è del 8 %. Trova il valore attuale netto NPV.
Un progetto costa €25 000 e restituisce €16 500, €11 000 alla fine degli anni da 1 a 2. Trova il suo tasso interno di rendimento IRR in percentuale.
CF0 = −25 000CF1 = 16 500CF2 = 11 000
IRR = %
5.Prezzo e rendimento delle obbligazioniMedia
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 paga una cedola annua di 5% e scade tra 14 anni. Il suo rendimento a scadenza passa dal 7% al 5,5%. Di quanto ΔP varia il prezzo dell’obbligazione?
F = €1 000cedola = 5%n = 14y1 = 7%y2 = 5,5%
ΔP = €
6.Prezzo e rendimento delle obbligazioniDifficile
Un’obbligazione è quotata €1 035 con un rendimento a scadenza del 3% (capitalizzazione annuale) e una duration di Macaulay di 9,6 anni. Usa la duration modificata per stimare il nuovo prezzo P se il rendimento aumenta di 100 punti base.
P0 = €1 035y = 3%D = 9,6Δy = +100 bp
P = €
7.CAPM e WACCMedia
Un’azione con un beta di 0,8 ha un rendimento richiesto del 7%. Il tasso privo di rischio è del 3%. Quale rendimento atteso del mercato rm implica il CAPM?
β = 0,8re = 7%rf = 3%
rm = %
8.CAPM e WACCDifficile
Un’azienda ha 2 000 000 azioni da €46,50 ciascuna e 5 000 obbligazioni quotate €980 ciascuna. Il costo del debito al lordo delle imposte è del 6% e l’aliquota fiscale è del 21%. Il beta dell’azione è 0,9, il tasso privo di rischio è del 4% e il rendimento di mercato è del 8%. Trova il WACC.
β = 0,9rf = 4%rm = 8%rd = 6%T = 21%
WACC = %
9.Analisi del punto di pareggioMedia
Un’azienda vende 3 130 unità a €35 l’una. Il costo variabile è €20 per unità e i costi fissi sono €37 500. Trova il grado di leva operativa DOL a questo livello di vendite.
Q = 3 130p = €35v = €20F = €37 500
DOL =
10.Analisi del punto di pareggioDifficile
Un’azienda vende 3 750 unità a €60 l’una, con un costo variabile di €45 per unità e costi fissi di €22 500. Di quale percentuale %ΔΠ varia l’utile operativo se il volume delle vendite aumenta del 12%?
Q = 3 750p = €60v = €45F = €22 500%ΔQ = +12%
%ΔΠ = %
3Soluzioni
1.Valore temporale del denaro
Risposta: PV = 9609 €
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Tasso e numero di periodi
i = 0,02/4 = 0,005
N = 4·2 = 8
Valore attuale
PV = FV/(1 + i)N = 10 000/1,041 = €9 608,85
Risposta
PV = €9 608,85
2.Valore temporale del denaro
Risposta: N = 58 rate
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Riordina la formula della rendita
i = 0,005
(1 + i)−N = 1 − 20 000·0,005/400 = 0,75
Risolvi con i logaritmi
N = −ln(0,75)/ln(1,005) = 57,68
Arrotonda a rate intere
57 rate intere lasciano un piccolo debito residuo, che viene estinto dall’ultima rata, più bassa.
N = 58
Risposta
N = 58 rate
3.VAN e TIR
Risposta: NPV = −3018 €
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Valore attuale di ogni flusso
CF0 = −20 000
CF1/(1 + 0,08)1 = 5 000/1,08 = 4 629,63
CF2/(1 + 0,08)2 = 7 000/1,166 = 6 001,37
CF3/(1 + 0,08)3 = 8 000/1,26 = 6 350,66
Sommali
NPV = €−3 018,34
Risposta
NPV = €−3 018,34
Il VAN è negativo, quindi il progetto rende meno del rendimento richiesto.
4.VAN e TIR
Risposta: IRR = 7,088 %
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Delimitare il TIR
Il VAN scende quando il tasso sale, quindi il TIR sta tra un tasso con VAN positivo e uno con VAN negativo.
NPV(5%) = 691,61
NPV(10%) = −909,09
Restringere
L'interpolazione lineare dà una prima stima; ripeterla (o usare la funzione TIR di una calcolatrice) dà il tasso esatto.
IRR ≈ 5 + 5·691,61/(691,61 − (−909,09)) = 7,16%
esatto: NPV(7,088%) = 0 → IRR = 7,088%
Risposta
IRR = 7,088%
5.Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Risposta: ΔP = 127 €
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Duration: la duration di Macaulay è il tempo medio ponderato in cui un’obbligazione paga i suoi flussi di cassa, con i valori attuali dei flussi come pesi: D = Σ t·PVₜ/P. La duration modificata D/(1 + y) stima la variazione percentuale del prezzo per una piccola variazione del rendimento: %ΔP ≈ −Dmod·Δy.
Duration modificata
Dmod = 9,6/1,03 = 9,32
Variazione stimata del prezzo
%ΔP ≈ −9,32·(0,01) = −9,32%
P ≈ 1035·(1 − 0,0932) = €938,53
Risposta
P = €938,53
La duration è una stima lineare; per grandi variazioni del rendimento la convessità rende il prezzo effettivo un po’ più alto.
7.CAPM e WACC
Risposta: rm = 8 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Premio per il rischio di mercato
rm − rf = (7% − 3%)/0,8 = 5%
Rendimento di mercato
rm = 3% + 5% = 8%
Risposta
rm = 8%
8.CAPM e WACC
Risposta: WACC = 7,457 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Leva operativa: i costi fissi fanno reagire l’utile più intensamente delle vendite. Il grado di leva operativa DOL = margine di contribuzione/utile operativo indica che una variazione dell’1% delle vendite fa variare l’utile del DOL %. È molto alto appena sopra il pareggio e diminuisce al crescere delle vendite.
Margine di contribuzione totale
CM = 3 130·(35 − 20) = €46 950
Utile operativo
Π = 46 950 − 37 500 = €9 450
DOL
DOL = 46 950/9 450 = 4,968
Risposta
DOL = 4,968
10.Analisi del punto di pareggio
Risposta: %ΔΠ = 20 %
Leva operativa: i costi fissi fanno reagire l’utile più intensamente delle vendite. Il grado di leva operativa DOL = margine di contribuzione/utile operativo indica che una variazione dell’1% delle vendite fa variare l’utile del DOL %. È molto alto appena sopra il pareggio e diminuisce al crescere delle vendite.