Finanza aziendale: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 10 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Valore temporale del denaro

Valore futuro: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Valore attuale: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Più periodi all’anno: i = r/m, N = m·n
Rendita, valore attuale: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Rendita, valore futuro: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Metodo

Disegna una linea temporale con ogni flusso di cassa e la sua scadenza.
Abbina il tasso al periodo: un tasso mensile per pagamenti mensili.
Usa FV = PV·(1 + i)ⁿ per importi singoli e le formule delle rendite per pagamenti costanti.
Controlla il segno e l’ordine di grandezza della risposta.

VAN e TIR

Valore attuale netto: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Flussi uguali: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Tasso interno di rendimento: il r per cui NPV = 0
Decisione: accetta se NPV > 0 (o IRR > rendimento richiesto)

Metodo

Elenca tutti i flussi di cassa con il loro anno; l’investimento all’anno 0 è negativo.
Sconta ogni flusso di cassa: CF_t/(1 + r)^t.
Sommali per ottenere il VAN. Positivo significa che il progetto rende più di r.
Per il TIR, trova per tentativi o per interpolazione il tasso che annulla il VAN.

Prezzo e rendimento delle obbligazioni

Prezzo dell’obbligazione: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Cedole semestrali: C/2, y/2 e 2n periodi
Rendimento corrente: C/P
Prezzo e rendimento: rendimento su → prezzo giù

Metodo

Trova la cedola per periodo e il rendimento per periodo.
Prezzo = valore attuale delle cedole (una rendita) + valore attuale del valore nominale.
Per cedole semestrali usa metà cedola, metà rendimento e il doppio dei periodi.
Verifica: se il rendimento è superiore al tasso cedolare, il prezzo è inferiore al valore nominale.

CAPM e WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Valore dell’impresa: V = E + D

Analisi del punto di pareggio

Margine di contribuzione: CM = p − v
Quantità di pareggio: Q_BE = FC/(p − v)
Utile obiettivo: Q = (FC + profit)/(p − v)
Utile: π = (p − v)·Q − FC
Margine di sicurezza: (Q − Q_BE)/Q

2Esercizi

1.Valore temporale del denaroMedia

Investi €1 000 al 7% annuo con capitalizzazione continua. Trova il valore FV dopo 2 anni.

PV = €1 000r = 7%t = 2

FV = €

2.Valore temporale del denaroDifficile

Un prestito di €12 000 viene rimborsato con rate mensili costanti in 4 anni. Il tasso d'interesse è del 3 % annuo, capitalizzato mensilmente. Trova la rata mensile A.

P = €12 0003% / 12N = 48

A = €

3.VAN e TIRMedia

Un progetto costa €20 000 oggi e rende €5 500 alla fine di ogni anno per 6 anni. Il costo del capitale è il 5%. Supponi che i flussi di cassa arrivino in modo uniforme durante ogni anno. Trova il periodo di recupero attualizzato DPB in anni.

r = 5%CF₀ = −20 000CF₁ = 5 500CF₂ = 5 500CF₃ = 5 500CF₄ = 5 500CF₅ = 5 500CF₆ = 5 500

DPB = anni

4.VAN e TIRDifficile

Un progetto costa €10 000 e rende €4 500, €4 500, €4 500, €5 000 alla fine degli anni da 1 a 4. I flussi di cassa possono essere reinvestiti al costo del capitale del 10%. Trova il tasso interno di rendimento modificato MIRR in percentuale.

r = 10%CF₀ = −10 000CF₁ = 4 500CF₂ = 4 500CF₃ = 4 500CF₄ = 5 000

MIRR = %

5.Prezzo e rendimento delle obbligazioniMedia

Un’obbligazione con valore nominale €1 000 paga una cedola annua del 6% in due rate semestrali e scade tra 6 anni. Il rendimento a scadenza è del 9% annuo. Trova il prezzo P dell’obbligazione.

F = €1 000cedola = 6%YTM = 9%n = 6

P = €

6.Prezzo e rendimento delle obbligazioniDifficile

Un’obbligazione con 15 anni alla scadenza (valore nominale €1 000, cedola annua 9%) viene venduta a €1 182. L’emittente può rimborsarla anticipatamente tra 6 anni a un prezzo di richiamo di €1 090. Trova il rendimento al richiamo YTC in percentuale.

F = €1 000cedola = 9%P = €1 182prezzo di richiamo = €1 090richiamo tra 6 anni

YTC = %

7.CAPM e WACCMedia

Un’azienda ha capitale proprio per €8 000 000 e debito per €2 000 000. Il costo del capitale proprio è del 10%, il costo del debito al lordo delle imposte è del 4% e l’aliquota fiscale è del 30%. Trova il WACC.

E = €8 000 000D = €2 000 000r_e = 10%r_d = 4%T = 30%

WACC = %

8.CAPM e WACCDifficile

Un’azienda ha 2 500 000 azioni da €42,50 ciascuna e 10 000 obbligazioni quotate €980 ciascuna. Il costo del debito al lordo delle imposte è del 6% e l’aliquota fiscale è del 30%. Il beta dell’azione è 1,2, il tasso privo di rischio è del 2% e il rendimento di mercato è del 8%. Trova il WACC.

β = 1,2r_f = 2%r_m = 8%r_d = 6%T = 30%

WACC = %

9.Analisi del punto di pareggioMedia

Un prodotto si vende a €25 con un costo variabile di €15 per unità. I costi fissi sono €50 000 al mese e l’utile è tassato al 25%. Quante unità Q si devono vendere al mese per guadagnare €15 000 al netto delle imposte?

p = €25v = €15F = €50 000T = 25%utile al netto delle imposte = €15 000

Q = unità

10.Analisi del punto di pareggioDifficile

Un prodotto si vende a €27 l'unità, con un costo variabile di €12 per unità e costi fissi di €22 500 all'anno. Le vendite a budget sono 2 100 unità. Trova il margine di sicurezza MS in percentuale delle vendite a budget.

F = €22 500p = €27v = €12budget = 2 100

MS = %

3Soluzioni

1.Valore temporale del denaro

Risposta: FV = 1150 €

Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)ⁿ. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.

Esponente

r·t = 0,07·2 = 0,14

e^0,14 = 1,15

Valore futuro

FV = 1 000·1,15 = €1 150,27

Risposta

FV = €1 150,27

2.Valore temporale del denaro

Risposta: A = 265,6 €

Tasso mensile e numero di rate

i = 0,03/12 = 0,0025

N = 12·4 = 48

Rata

Il valore attuale di N pagamenti uguali A è A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Ponilo uguale al prestito e ricava A.

(1 + i)^−N = 0,8871

A = 12 000·0,0025/(1 − 0,8871) = €265,61

Risposta

A = €265,61

3.VAN e TIR

Risposta: DPB = 4,115 anni

Periodo di recupero (payback): il tempo necessario perché i flussi di cassa cumulati ripaghino l’investimento iniziale. Si assume che la liquidità entri in modo uniforme durante ogni anno, quindi l’ultima parte è una frazione d’anno. Il payback semplice ignora il valore temporale del denaro; il payback attualizzato usa invece i flussi di cassa attualizzati.

Flussi di cassa attualizzati e cumulati

anno 1: 5 500/1,05 = 5 238,10 → Σ = 5 238,10

anno 2: 5 500/1,103 = 4 988,66 → Σ = 10 226,76

anno 3: 5 500/1,158 = 4 751,11 → Σ = 14 977,86

anno 4: 5 500/1,216 = 4 524,86 → Σ = 19 502,73

anno 5: 5 500/1,276 = 4 309,39 → Σ = 23 812,12

Frazione dell’ultimo anno

DPB = 4 + 497,27/4 309,39 = 4,115

Risposta

DPB = 4,115 anni

Il payback attualizzato è sempre più lungo del payback semplice (3,636 anni).

4.VAN e TIR

Risposta: MIRR = 20,93 %

TIR modificato: capitalizza ogni entrata fino alla fine del progetto al tasso di reinvestimento (di solito il costo del capitale) per ottenere il valore finale TV. Il MIRR è il tasso che trasforma l’investimento iniziale in TV: MIRR = (TV/C₀)^(1/n) − 1.

Valore finale delle entrate

4 500·1,1³ = 5 989,50

4 500·1,1² = 5 445,00

4 500·1,1¹ = 4 950,00

5 000·1,1⁰ = 5 000,00

TV = 21 384,50

MIRR

MIRR = (21 384,50/10 000)^1/4 − 1 = 20,93%

Risposta

MIRR = 20,93%

5.Prezzo e rendimento delle obbligazioni

Risposta: P = 863,2 €

Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.

Per periodo

C = €30,00, i = 0,045, N = 12

Valore attuale delle cedole

€30,00·(1 − 0,5897)/0,045 = €273,56

Valore attuale del valore nominale

€1 000·0,5897 = €589,66

Prezzo

P = €863,22

Risposta

P = €863,22

Il rendimento è superiore al tasso cedolare, quindi l’obbligazione quota sotto la pari (a sconto).

6.Prezzo e rendimento delle obbligazioni

Risposta: YTC = 6,513 %

Equazione del rendimento

1182 = 90·(1 − (1 + y)⁻⁶)/y + 1090/(1 + y)⁶

Risolvi numericamente

y = 6%: €1 210,97

y = 7%: €1 155,30

YTC = 6,513%

Risposta

YTC = 6,513%

Il rendimento a scadenza è del 7,002%. Chi investe in un’obbligazione sopra la pari si aspetta che venga richiamata, quindi il rendimento al richiamo, più basso, è quello più realistico.

7.CAPM e WACC

Risposta: WACC = 8,56 %

Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).

Pesi

V = €10 000 000, E/V = 0,8, D/V = 0,2

WACC

WACC = 0,8·10% + 0,2·4%·(1 − 0,3) = 8,56%

Risposta

WACC = 8,56%

8.CAPM e WACC

Risposta: WACC = 8,778 %

Valori di mercato

E = 2 500 000·€42,50 = €106 250 000

D = 10 000·€980 = €9 800 000

Costo del capitale proprio (CAPM)

r_e = 2% + 1,2·6% = 9,2%

Pesi

V = €116 050 000, E/V = 0,9156, D/V = 0,08445

WACC

WACC = 0,9156·9,2% + 0,08445·6%·(1 − 0,3) = 8,778%

Risposta

WACC = 8,778%

9.Analisi del punto di pareggio

Risposta: Q = 7000 unità

Costi-volumi-risultati: ogni unità venduta porta un margine di contribuzione, prezzo meno costo variabile unitario. Utile = Q·(p − v) − F, dove F è il costo fisso. Al punto di pareggio l'utile è zero, quindi Q = F/(p − v).

Utile al lordo delle imposte necessario

15 000/(1 − 0,25) = €20 000

Unità necessarie

Q = (50 000 + 20 000)/10 = 7 000

Risposta

Q = 7 000 unità

10.Analisi del punto di pareggio

Risposta: MS = 28,57 %

Quantità di pareggio

Q = F/(p − v) = 22 500/15 = 1 500

Margine di sicurezza

MS = (2 100 − 1 500)/2 100·100 = 28,57%

Risposta

MS = 28,57%

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