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1Formule e metodi
Valore temporale del denaro
Valore futuro
FV = PV·(1 + i)n
Valore attuale
PV = FV/(1 + i)n
Più periodi all’anno
i = r/m, N = m·n
Rendita, valore attuale
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Rendita, valore futuro
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Metodo
Disegna una linea temporale con ogni flusso di cassa e la sua scadenza.
Abbina il tasso al periodo: un tasso mensile per pagamenti mensili.
Usa FV = PV·(1 + i)ⁿ per importi singoli e le formule delle rendite per pagamenti costanti.
Controlla il segno e l’ordine di grandezza della risposta.
VAN e TIR
Valore attuale netto
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Flussi uguali
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Tasso interno di rendimento
il r per cui NPV = 0
Decisione
accetta se NPV > 0 (o IRR > rendimento richiesto)
Metodo
Elenca tutti i flussi di cassa con il loro anno; l’investimento all’anno 0 è negativo.
Sconta ogni flusso di cassa: CFt/(1 + r)t.
Sommali per ottenere il VAN. Positivo significa che il progetto rende più di r.
Per il TIR, trova per tentativi o per interpolazione il tasso che annulla il VAN.
Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Prezzo dell’obbligazione
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Cedole semestrali
C/2, y/2 e 2n periodi
Rendimento corrente
C/P
Prezzo e rendimento
rendimento su → prezzo giù
Metodo
Trova la cedola per periodo e il rendimento per periodo.
Prezzo = valore attuale delle cedole (una rendita) + valore attuale del valore nominale.
Per cedole semestrali usa metà cedola, metà rendimento e il doppio dei periodi.
Verifica: se il rendimento è superiore al tasso cedolare, il prezzo è inferiore al valore nominale.
CAPM e WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Valore dell’impresa
V = E + D
Analisi del punto di pareggio
Margine di contribuzione
CM = p − v
Quantità di pareggio
QBE = FC/(p − v)
Utile obiettivo
Q = (FC + profit)/(p − v)
Utile
π = (p − v)·Q − FC
Margine di sicurezza
(Q − QBE)/Q
2Esercizi
1.Valore temporale del denaroMedia
Ti servono €10 000 tra 6 anni. Un conto rende il 3,6 % annuo, capitalizzato mensilmente. Quanto devi versare oggi? Trova il valore attuale PV.
FV = €10 0003,6% / 12n = 6
PV = €
2.Valore temporale del denaroDifficile
Prendi in prestito €5 000 al 7,2% annuo, capitalizzato mensilmente, e rimborsi €75 alla fine di ogni mese. Quanti mesi servono per estinguere il prestito (l’ultima rata può essere più bassa)? Indica il numero di rate N.
P = €5 000A = €757,2% / 12
N = rate
3.VAN e TIRMedia
Un progetto costa €100 000 oggi. Genera €5 000 alla fine del primo anno, e il flusso di cassa cresce poi del 3% annuo per sempre. Il costo del capitale è il 9%. Trova il valore attuale netto NPV.
C0 = €100 000CF1 = €5 000g = 3%r = 9%
NPV = €
4.VAN e TIRDifficile
Il progetto A costa €20 000 e rende €11 000, €8 000, €4 500 alla fine degli anni da 1 a 3. Il progetto B costa €22 000 e rende €5 500, €9 000, €12 000. Trova il tasso di indifferenza (crossover) r* al quale entrambi i progetti hanno lo stesso VAN, in percentuale.
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 scade tra 4 anni e paga cedole annuali. Viene venduta a €1 053 quando il rendimento a scadenza è del 5,5%. Trova il tasso cedolare c in percentuale.
F = €1 000n = 4P = €1 053YTM = 5,5%
c = %
6.Prezzo e rendimento delle obbligazioniDifficile
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 paga una cedola annua di 3% e scade tra 3 anni. Il rendimento a scadenza è del 9%. Trova la duration di Macaulay D in anni.
F = €1 000cedola = 3%n = 3YTM = 9%
D = anni
7.CAPM e WACCMedia
Un’azienda ha capitale proprio per €5 000 000 e debito per €5 000 000. Il costo del capitale proprio è del 10%, il costo del debito al lordo delle imposte è del 7% e l’aliquota fiscale è del 25,8%. Trova il WACC.
L’attività di un’azienda ha un beta unlevered (delle attività) di 1. Prevede un rapporto debito/capitale proprio di 0,75. L’aliquota fiscale è del 28%, il tasso privo di rischio è del 4% e il premio per il rischio di mercato è del 4,5%. Trova il costo del capitale proprio re con la nuova struttura del capitale.
βU = 1D/E = 0,75T = 28%rf = 4%rm − rf = 4,5%
re = %
9.Analisi del punto di pareggioMedia
Un prodotto si vende a €51 l'unità con un costo variabile di €45 per unità. I costi fissi sono €7 200 al mese. Quante unità Q vanno vendute al mese per ottenere un utile di €6 000?
F = €7 200p = €51v = €45utile = €6 000
Q = unità
10.Analisi del punto di pareggioDifficile
Un’azienda vende 7 500 unità al mese a €35 l’una, con un costo variabile di €15 per unità e costi fissi di €100 000 al mese. Il costo variabile aumenta di €5 per unità e il prezzo resta invariato. Quante unità Q si devono ora vendere al mese per mantenere lo stesso utile?
Q = 7 500p = €35v = €15 → €20F = €100 000
Q = unità
3Soluzioni
1.Valore temporale del denaro
Risposta: PV = 8060 €
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Tasso e numero di periodi
i = 0,036000000000000004/12 = 0,003
N = 12·6 = 72
Valore attuale
PV = FV/(1 + i)N = 10 000/1,241 = €8 059,96
Risposta
PV = €8 059,96
2.Valore temporale del denaro
Risposta: N = 86 rate
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Riordina la formula della rendita
i = 0,006
(1 + i)−N = 1 − 5 000·0,006/75 = 0,6
Risolvi con i logaritmi
N = −ln(0,6)/ln(1,006) = 85,39
Arrotonda a rate intere
85 rate intere lasciano un piccolo debito residuo, che viene estinto dall’ultima rata, più bassa.
N = 86
Risposta
N = 86 rate
3.VAN e TIR
Risposta: NPV = −16667 €
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Valore dei flussi di cassa
PV = 5 000/(0,09 − 0,03) = 83 333,33
NPV
NPV = 83 333,33 − 100 000 = −€16 666,67
Risposta
NPV = −€16 666,67
Il VAN è negativo, quindi il progetto rende meno del rendimento richiesto.
4.VAN e TIR
Risposta: r* = 5,989 %
Tasso di indifferenza (crossover): il tasso di sconto al quale due progetti hanno lo stesso VAN. È il TIR della differenza dei loro flussi di cassa (B − A). Al di sotto, il progetto con flussi più tardivi e più grandi ha il VAN maggiore; al di sopra prevale l’altro.
Differenza dei flussi di cassa
ΔCF0 = −22 000 − (−20 000) = −2 000
ΔCF1 = 5 500 − 11 000 = −5 500
ΔCF2 = 9 000 − 8 000 = 1 000
ΔCF3 = 12 000 − 4 500 = 7 500
TIR della differenza
NPVΔ(5%) = 147,72
NPVΔ(6%) = −1,54
r* = 5,989%
Risposta
r* = 5,989%
Verifica: al 5,989% entrambi i VAN valgono €1 279,19.
5.Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Risposta: c = 7,012 %
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Valore attuale del valore nominale
1000·(1 + 0,055)−4 = €807,22
Cedola
C = (1053 − 807,22)/3,505 = €70,12
Tasso cedolare
c = 70,12/1000 = 7,012%
Risposta
c = 7,012%
6.Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Risposta: D = 2,905 anni
Duration: la duration di Macaulay è il tempo medio ponderato in cui un’obbligazione paga i suoi flussi di cassa, con i valori attuali dei flussi come pesi: D = Σ t·PVₜ/P. La duration modificata D/(1 + y) stima la variazione percentuale del prezzo per una piccola variazione del rendimento: %ΔP ≈ −Dmod·Δy.
Valore attuale di ogni flusso
t = 1: 30/1,09 = 27,52, t·PV = 27,52
t = 2: 30/1,188 = 25,25, t·PV = 50,50
t = 3: 1030/1,295 = 795,35, t·PV = 2 386,05
Duration
P = 848,12
D = 2 464,07/848,12 = 2,905
Risposta
D = 2,905 anni
7.CAPM e WACC
Risposta: WACC = 7,597 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Pesi
V = €10 000 000, E/V = 0,5, D/V = 0,5
WACC
WACC = 0,5·10% + 0,5·7%·(1 − 0,258) = 7,597%
Risposta
WACC = 7,597%
8.CAPM e WACC
Risposta: re = 10,93 %
Beta levered (Hamada): il debito rende il capitale proprio più rischioso. βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E), dove βU è il beta dell’attività senza debito. Per trasferire un beta a un’altra struttura del capitale, prima rendilo unlevered e poi ricalcolalo levered al nuovo D/E.
Beta levered
βL = 1·(1 + 0,72·0,75) = 1,54
Costo del capitale proprio (CAPM)
re = 4% + 1,54·4,5% = 10,93%
Risposta
re = 10,93%
9.Analisi del punto di pareggio
Risposta: Q = 2200 unità
Costi-volumi-risultati: ogni unità venduta porta un margine di contribuzione, prezzo meno costo variabile unitario. Utile = Q·(p − v) − F, dove F è il costo fisso. Al punto di pareggio l'utile è zero, quindi Q = F/(p − v).
Costi-volumi-risultati: ogni unità venduta porta un margine di contribuzione, prezzo meno costo variabile unitario. Utile = Q·(p − v) − F, dove F è il costo fisso. Al punto di pareggio l'utile è zero, quindi Q = F/(p − v).