Disegna un diagramma di Venn e decidi regione per regione che cosa appartiene all’espressione insiemistica.
Nei problemi di conteggio, riempi le regioni dal centro verso l’esterno: prima tutti gli insiemi, poi le coppie, poi i singoli insiemi, infine l’esterno.
Usa il principio di inclusione-esclusione come verifica: |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|.
Per una relazione, verifica ogni proprietà su ogni coppia e fornisci un controesempio quando non vale.
Per una funzione, conta le frecce che arrivano a ciascun elemento di B: al più una significa iniettiva, almeno una suriettiva.
Teoria dei grafi
Lemma delle strette di mano
Σ deg(v) = 2|E|
Grafi completi
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regolare
|E| = n·k/2
Albero e foresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Foglie di un albero
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Eulero
circuito: tutti i gradi pari; cammino: esattamente 2 gradi dispari
Cicli hamiltoniani in Kn
(n − 1)!/2
Aggiornamento di Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Cammini di lunghezza L
(Mᴸ)ij
Metodo
Scrivi il grado di ogni vertice; la somma dei gradi è il doppio del numero di lati.
Nelle domande su Eulero, verifica che il grafo sia connesso e conta i vertici di grado dispari.
Per gli alberi, usa n − 1 lati e il lemma delle strette di mano.
Per Dijkstra, tieni una tabella delle distanze provvisorie e a ogni passo fissa il vertice non ancora fissato con la distanza minima.
Per un albero di copertura minimo, ordina i lati per peso e salta ogni lato che chiude un ciclo (Kruskal), oppure fai crescere un solo albero a partire da un vertice iniziale (Prim).
Teoria dei numeri e aritmetica modulare
Divisione con resto
a = q·n + r, 0 ≤ r < n
Euclide
gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
Minimo comune multiplo
lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
Inversa
a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
Congruenza lineare
a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
Funzione φ di Eulero
φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
Fermat
aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA
n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n
Metodo
Riduci prima ogni numero modulo n; i resti sono compresi tra 0 e n − 1.
Per un MCD, dividi ripetutamente con l’algoritmo di Euclide; l’ultimo resto diverso da zero è il MCD.
Per un inverso, esegui l’algoritmo esteso e tieni il coefficiente di a; aggiungi n se è negativo.
Risolvi a·x ≡ b moltiplicando per a⁻¹; combina due congruenze scrivendo x = r₁ + m₁k.
Per le potenze, scrivi l’esponente in binario ed eleva al quadrato ripetutamente; in RSA, d = e⁻¹ mod φ(n) con φ(n) = (p − 1)(q − 1).
2Esercizi
1.Logica proposizionale e dimostrazioniMedia
Quale formula è logicamente equivalente a b → a? Clicca su di essa.
b → a
1¬b ∨ a
2¬b → ¬a
3¬b ∧ a
4a → b
2.Logica proposizionale e dimostrazioniDifficile
Quante delle 16 righe della tabella di verità rendono vera ((a ∨ d) ∧ (c ∧ a)) → (c ∧ ¬b)? Chiama questo numero N.
((a ∨ d) ∧ (c ∧ a)) → (c ∧ ¬b)
N =
3.Insiemi, relazioni e funzioniMedia
Esattamente una regione del diagramma di Venn è l’insieme (C′ ∩ A′) − (B ∩ C′). Clicca il suo numero.
(C′ ∩ A′) − (B ∩ C′)
1regione 1
2regione 2
3regione 3
4regione 4
5regione 5
6regione 6
7regione 7
8regione 8
4.Insiemi, relazioni e funzioniDifficile
Le funzioni f e g su {1, 2, 3, 4, 5} sono date dalle loro tabelle. Trova (f ∘ g)(5).
Il grafo connesso ha un circuito euleriano, un cammino euleriano che non è un circuito, oppure nessuno dei due? Clicca la tua risposta.
|V| = 5|E| = 5
1Circuito euleriano
2Cammino euleriano, nessun circuito
3nessuna delle due
6.Teoria dei grafiDifficile
Quanti cammini chiusi di lunghezza 2 partono e terminano in C? Un cammino può ripetere vertici e lati. Chiama il numero N.
M = matrice di adiacenzaL = 2
N =
7.Teoria dei numeri e aritmetica modulareMedia
Trova l’inverso di 23 modulo 65: il numero x con 0 < x < 65 e 23·x ≡ 1 (mod 65).
a = 23n = 65
23−1 mod 65 =
8.Teoria dei numeri e aritmetica modulareDifficile
Una chiave RSA usa p = 23, q = 37 ed e = 17. Decifra il testo cifrato c = 371: trova il messaggio m.
p = 23q = 37e = 17c = 371
m =
3Soluzioni
1.Logica proposizionale e dimostrazioni
Risposta: ¬b ∨ a
Equivalenza logica: due formule sono equivalenti (≡) quando hanno lo stesso valore in ogni riga della tabella di verità. Una tautologia vale 1 in ogni riga, una contraddizione vale 0 in ogni riga, e una contingenza non è né l’una né l’altra. Leggi utili: De Morgan, ¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b e ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b; a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a (contronominale); ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b; e le leggi distributive, a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c).
La legge
a → b vale 0 solo quando a = 1 e b = 0, quindi equivale a ¬a ∨ b.
b → a ≡ ¬b ∨ a
Verifica con la tabella di verità
a = 1, b = 1: 1 | 1 1 0 1
a = 1, b = 0: 1 | 1 0 1 0
a = 0, b = 1: 0 | 0 1 0 1
a = 0, b = 0: 1 | 1 1 0 1
Risposta
¬b ∨ a
Le colonne dopo la barra sono le opzioni nell’ordine mostrato.
2.Logica proposizionale e dimostrazioni
Risposta: N = 14
Tabelle di verità: una formula con n variabili distinte ha 2ⁿ righe, una per ogni combinazione di valori di verità (1 = vero, 0 = falso). Procedi dall’interno verso l’esterno e dai a ogni sottoformula una colonna propria. ¬a inverte il valore; a ∧ b vale 1 solo quando entrambi valgono 1; a ∨ b vale 0 solo quando entrambi valgono 0; a → b vale 0 solo quando a = 1 e b = 0; a ↔ b vale 1 quando i due lati sono uguali.
Colonne
a ∨ d; c ∧ a; (a ∨ d) ∧ (c ∧ a); ¬b; c ∧ ¬b; ((a ∨ d) ∧ (c ∧ a)) → (c ∧ ¬b)
Dividi secondo a
a = 1: 6
a = 0: 8
N = 6 + 8 = 14
Risposta
N = 14
3.Insiemi, relazioni e funzioni
Risposta: regione 1
Insiemi e diagrammi di Venn: A ∪ B contiene gli elementi in A o in B (o in entrambi), A ∩ B gli elementi in entrambi, A − B gli elementi di A che non sono in B, e il complementare A′ tutto ciò che è in U e non in A. In un diagramma di Venn ogni espressione insiemistica è un’unione di regioni, quindi contala regione per regione. Inclusione-esclusione: |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|, e |A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| − |A ∩ B| − |A ∩ C| − |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|.
Dentro o fuori da ciascun insieme
A′ ∩ B′ ∩ C′
La regione
regione 1
Risposta
regione 1
4.Insiemi, relazioni e funzioni
Risposta: (f ∘ g)(5) = 2
Funzioni e conteggio: una funzione f: A → B assegna a ogni elemento di A esattamente un’immagine in B. f è iniettiva (uno a uno) quando elementi diversi hanno immagini diverse, suriettiva (su) quando ogni elemento di B è un’immagine, e biiettiva quando valgono entrambe. Con |A| = m e |B| = n ci sono nᵐ funzioni, n!/(n − m)! iniettive (m ≤ n), e per inclusione-esclusione Σ (−1)ᵏ·C(n, k)·(n − k)ᵐ suriettive. |𝒫(A)| = 2ᵐ e |A × B| = m·n.
Funzione interna
g(5) = 3
Funzione esterna
f(3) = 2
(f ∘ g)(5) = 2
Risposta
(f ∘ g)(5) = 2
5.Teoria dei grafi
Risposta: Circuito euleriano
Eulero, Hamilton e alberi: un grafo connesso ha un circuito euleriano (ogni lato una volta, di nuovo al punto di partenza) quando ogni vertice ha grado pari, e un cammino euleriano che non è un circuito quando esattamente due vertici hanno grado dispari; il cammino va allora da un vertice dispari all’altro. Un ciclo hamiltoniano visita ogni vertice una volta; Kn ne ha (n − 1)!/2. Un albero con n vertici ha n − 1 lati, e un grafo connesso con m lati mantiene un albero di copertura dopo aver tolto m − n + 1 lati.
Gradi: il grado di un vertice è il numero di lati che vi arrivano. Ogni lato ha due estremi, quindi i gradi sommano al doppio del numero di lati: Σ deg(v) = 2|E| (il lemma delle strette di mano). Il numero di vertici di grado dispari è quindi pari. Kn ha n(n − 1)/2 lati, un grafo k-regolare con n vertici ne ha nk/2, e un albero con n vertici ha n − 1 lati.
Matrice di adiacenza
A: 0 1 1 0 0
B: 1 0 1 1 0
C: 1 1 0 0 1
D: 0 1 0 0 1
E: 0 0 1 1 0
Vicini comuni
(M²)CC = 1·1 + 1·1 + 0·0 + 0·0 + 1·1 = 3
Risposta
N = 3
7.Teoria dei numeri e aritmetica modulare
Risposta: 23−1 mod 65 = 17
Inversi e congruenze: a ha un inverso modulo n esattamente quando MCD(a, n) = 1. L’algoritmo di Euclide esteso scrive 1 = s·n + t·a, e allora a⁻¹ ≡ t (mod n). Una congruenza a·x ≡ b (mod n) con MCD(a, n) = 1 ha la soluzione x ≡ a⁻¹·b. Due congruenze x ≡ r₁ (mod m₁) e x ≡ r₂ (mod m₂) con moduli coprimi hanno una soluzione modulo m₁·m₂ (teorema cinese del resto). La φ di Eulero φ(n) conta i numeri da 1 a n coprimi con n: φ(n) = n·∏(1 − 1/p).
Algoritmo di Euclide esteso
Ogni resto r si scrive r ≡ t·23 (mod 65).
r = 65, t = 0
r = 23, q = 2, t = 1
r = 19, q = 1, t = −2
r = 4, q = 4, t = 3
r = 3, q = 1, t = −14
r = 1, q = 3, t = 17
Inversa
1 ≡ 17·23 (mod 65)
x = 17
verifica: 23·17 = 391 = 6·65 + 1
Risposta
23−1 mod 65 = 17
8.Teoria dei numeri e aritmetica modulare
Risposta: m = 630
Potenze modulari e RSA: calcola aᵏ mod n con il quadrato ripetuto: scrivi k in binario, eleva al quadrato, riduci a ogni passaggio e moltiplica le potenze il cui bit è 1. Fermat: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p) per un primo p che non divide a, quindi l’esponente si può ridurre modulo p − 1. RSA: scegli i primi p e q, n = p·q e φ(n) = (p − 1)(q − 1); l’esponente pubblico e è coprimo con φ(n), e l’esponente privato è d = e⁻¹ mod φ(n). Cifra con c = mᵉ mod n e decifra con m = cᵈ mod n.