Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 20 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.
Un’auto che viaggia a 50 km/h frena con una decelerazione costante di 6 m/s² fino a fermarsi. Quanto dura la frenata? Trova t.
Un sasso viene lasciato cadere da fermo in un pozzo. Il tonfo si sente 2,9 s dopo il rilascio del sasso. La velocità del suono è 343 m/s; trascura la resistenza dell’aria e usa g = 9,81 m/s². Trova la profondità d del pozzo.
Una scatola di 30 kg viene spinta a velocità costante su una rampa inclinata di 30° sull’orizzontale, con una forza parallela alla rampa. Il coefficiente di attrito dinamico è 0,25. Usa g = 9,81 m/s². Trova la forza di spinta F.
Due blocchi su un pavimento orizzontale sono collegati da un filo leggero orizzontale. Una forza orizzontale di 140 N tira il blocco anteriore da 11 kg; il blocco da 5 kg viene trainato dietro. Il coefficiente di attrito dinamico è 0,2 per entrambi i blocchi. Usa g = 9,81 m/s². Trova la tensione T nel filo di collegamento.
Una palla viene lanciata a 40° sopra l’orizzontale da terreno pianeggiante. Trascura la resistenza dell’aria. Trova l’altezza massima H raggiunta dalla palla.
Una palla viene lanciata a 12 m/s e 55° sopra l’orizzontale dalla cima di una scogliera di 15 m. Trascura la resistenza dell’aria e usa g = 9,81 m/s². Trova l’altezza massima H rispetto al suolo alla base della scogliera.
Una curva di raggio 360 m è sopraelevata di 18°. A quale velocità v un’auto può percorrerla senza alcun bisogno di attrito? Usa g = 9,81 m/s².
Una palla di 1,2 kg legata a un filo lungo 1,2 m viene fatta ruotare su una circonferenza verticale. Nel punto più basso si muove a 3 m/s. Usa g = 9,81 m/s². Trova la tensione T nel filo nel punto più basso.
Un blocco scivola da fermo lungo un pendio inclinato di 35° sull’orizzontale. Il coefficiente di attrito dinamico è 0,25. Trova la sua velocità v dopo aver percorso 3 m lungo il pendio.
Un blocco di 5 kg parte da fermo alla base di un pendio di 20° e viene tirato su per il pendio da una forza costante di 50 N parallela al pendio. Il coefficiente di attrito dinamico è 0,3. Trova la velocità v del blocco dopo che ha percorso 3 m lungo il pendio.
Un proiettile di 4 kg che si muove orizzontalmente a 32 m/s esplode in due frammenti che si muovono lungo la stessa retta. Il frammento di 2 kg prosegue in avanti a 40 m/s. Trova la velocità v′2 del frammento di 2 kg (positiva nel verso originario).
A un incrocio un’auto di 1500 kg che viaggia verso est a 20 m/s urta un’auto di 1800 kg che viaggia verso nord a 11 m/s. Le auto restano agganciate. Trova la direzione θ dei rottami subito dopo l’urto, misurata da est verso nord.
Un blocco da 7,5 kg è appeso a una fune leggera avvolta attorno a una puleggia, un disco pieno omogeneo di massa 18,5 kg e raggio 0,5 m che ruota su un asse orizzontale privo di attrito. Il blocco viene rilasciato da fermo. Usa g = 9,81 m/s². Trova la velocità v del blocco dopo che è caduto di 3,5 m.
Un cilindro pieno parte da fermo e rotola senza strisciare lungo un piano inclinato di 15° rispetto all’orizzontale. Usa g = 9,81 m/s². Trova la sua velocità v dopo che ha rotolato per 1,5 m lungo il piano.
Un motore da 11 kW che gira a 1500 rpm aziona un pignone con 50 denti, che ingrana con una ruota con 60 denti. Trascura le perdite. Trova il momento torcente in uscita T2 sull’albero della ruota.
In un rotismo composto, la ruota A (45 denti) sull’albero di ingresso, che gira a 1500 rpm, aziona la ruota B (80 denti). La ruota C (24 denti) è calettata sullo stesso albero di B e aziona la ruota D (25 denti) sull’albero di uscita. Trova la velocità di uscita nout.
Una massa di 1 kg attaccata a una molla con k = 380 N/m viene spostata di 13 cm nel verso positivo e lasciata da ferma a t = 0. Trova il suo spostamento x dall’equilibrio a t = 0,3 s (con segno).
Una massa di 1 kg viene attaccata all’estremità inferiore di una molla verticale non allungata con k = 220 N/m e lasciata da ferma. Usa g = 9,81 m/s². Trova la velocità massima vmax della massa.
Una massa di 250 kg su una molla con rigidezza di 25 kN/m ha uno smorzatore viscoso che dà un fattore di smorzamento di 0,3. Trova la frequenza naturale smorzata fd delle sue vibrazioni libere in Hz.
Una massa di 10 kg è appesa a due molle collegate una dopo l’altra (in serie): la molla superiore ha k₁ = 10 kN/m e quella inferiore k₂ = 5 kN/m. Trova la rigidezza equivalente keq del sistema di molle in kN/m.
Risposta: t = 2,315 s
Moto uniformemente accelerato: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² e v² = v₀² + 2·a·s. Scegli l’equazione che contiene le tre grandezze che conosci e quella che cerchi, e mantieni i segni coerenti con un unico verso positivo.
Risposta: d = 38,15 m
Moto uniformemente accelerato: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² e v² = v₀² + 2·a·s. Scegli l’equazione che contiene le tre grandezze che conosci e quella che cerchi, e mantieni i segni coerenti con un unico verso positivo.
Solo la radice positiva ha significato fisico.
Risposta: F = 210,9 N
Secondo principio della dinamica: la forza risultante su un corpo è uguale alla sua massa per la sua accelerazione, ΣF = m·a. Disegna un diagramma di corpo libero, scegli un verso positivo lungo il moto e somma tutte le forze in quella direzione: forze applicate, attrito μ·N opposto al moto e componenti della forza peso.
Velocità costante: le forze si equilibrano.
Risposta: T = 43,75 N
Secondo principio della dinamica: la forza risultante su un corpo è uguale alla sua massa per la sua accelerazione, ΣF = m·a. Disegna un diagramma di corpo libero, scegli un verso positivo lungo il moto e somma tutte le forze in quella direzione: forze applicate, attrito μ·N opposto al moto e componenti della forza peso.
Con lo stesso μ su entrambi i blocchi l’attrito scompare: T = F·m₁/(m₁ + m₂).
Risposta: H = 10,19 m
Moto del proiettile: senza resistenza dell’aria, x = vxt e y = h + vyt − ½gt². Le due direzioni sono indipendenti, tranne che condividono lo stesso tempo.
La velocità orizzontale resta costante; il moto verticale ha un’accelerazione costante g = 9,81 m/s² verso il basso.
In cima la velocità verticale è zero: vy² = 2gH.
Risposta: H = 19,92 m
Moto del proiettile: senza resistenza dell’aria, x = vxt e y = h + vyt − ½gt². Le due direzioni sono indipendenti, tranne che condividono lo stesso tempo.
Risposta: v = 33,87 m/s
Moto circolare uniforme: un oggetto che si muove con velocità v su una circonferenza di raggio r ha un’accelerazione diretta verso il centro a = v²/r, quindi richiede una forza risultante verso il centro F = m·v²/r. Questa forza è fornita da qualcosa di reale: attrito, tensione, gravità o forza normale.
Risposta: T = 20,77 N
Moto circolare uniforme: un oggetto che si muove con velocità v su una circonferenza di raggio r ha un’accelerazione diretta verso il centro a = v²/r, quindi richiede una forza risultante verso il centro F = m·v²/r. Questa forza è fornita da qualcosa di reale: attrito, tensione, gravità o forza normale.
Verso il centro (verso l’alto) è positivo.
Risposta: v = 4,659 m/s
Teorema dell’energia cinetica: la variazione di energia cinetica è uguale al lavoro di tutte le forze. Scrivendo gravità e molle come energia potenziale (mgh e ½kx²) si ottiene un bilancio: energia iniziale = energia finale + energia persa per attrito (μN·d).
Il blocco scende di un’altezza d·sin θ mentre l’attrito toglie μmg·cos θ·d. La massa si semplifica.
Risposta: v = 4,824 m/s
Teorema dell’energia cinetica: la variazione di energia cinetica è uguale al lavoro di tutte le forze. Scrivendo gravità e molle come energia potenziale (mgh e ½kx²) si ottiene un bilancio: energia iniziale = energia finale + energia persa per attrito (μN·d).
Risposta: v′2 = 24 m/s
Conservazione della quantità di moto: se durante un urto non agisce alcuna forza esterna, la quantità di moto totale Σm·v prima è uguale a quella dopo. Le velocità hanno un verso, quindi scegli un verso positivo e dai segno meno alle velocità nel verso opposto. In un urto elastico si conserva anche l’energia cinetica; in uno completamente anelastico i corpi restano uniti.
Risposta: θ = 33,42 °
Conservazione della quantità di moto: se durante un urto non agisce alcuna forza esterna, la quantità di moto totale Σm·v prima è uguale a quella dopo. Le velocità hanno un verso, quindi scegli un verso positivo e dai segno meno alle velocità nel verso opposto. In un urto elastico si conserva anche l’energia cinetica; in uno completamente anelastico i corpi restano uniti.
Risposta: v = 5,545 m/s
Rotazione attorno a un asse fisso: la somma dei momenti rispetto all’asse è uguale a I·α (ΣM = I·α), proprio come ΣF = m·a per la traslazione. In forma energetica, una coppia T che ruota di un angolo θ (in radianti) compie il lavoro T·θ, che modifica l’energia cinetica ½·I·ω²; la gravità aggiunge o toglie m·g·Δh del baricentro. La potenza è P = T·ω.
Risposta: v = 2,253 m/s
Rotolamento e momento angolare: un corpo che rotola senza strisciare ha v = ω·r, quindi la sua energia cinetica è ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). Lungo un piano inclinato questo dà a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). Quando nessun momento esterno agisce rispetto a un asse, il momento angolare rispetto a quell’asse resta costante, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, anche se si perde energia cinetica.
Rotolamento senza strisciamento: ω = v/r, e l’attrito non compie lavoro nel punto di contatto.
Risposta: T2 = 84,03 N·m
Rotismi: le ruote dentate in presa hanno la stessa velocità sui denti, quindi n₁·N₁ = n₂·N₂: la ruota con meno denti gira più veloce. Le ruote calettate sullo stesso albero girano alla stessa velocità. La potenza si trasmette (a meno delle perdite), quindi il momento torcente aumenta quando la velocità diminuisce: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, e P = T·ω con ω = 2π·n/60.
Risposta: nout = 810 rpm
Rotismi: le ruote dentate in presa hanno la stessa velocità sui denti, quindi n₁·N₁ = n₂·N₂: la ruota con meno denti gira più veloce. Le ruote calettate sullo stesso albero girano alla stessa velocità. La potenza si trasmette (a meno delle perdite), quindi il momento torcente aumenta quando la velocità diminuisce: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, e P = T·ω con ω = 2π·n/60.
rapporto totale = 1,852 : 1
Risposta: x = 11,79 cm
Moto armonico semplice: una massa m su una molla di costante elastica k oscilla con pulsazione ω = √(k/m) e periodo T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Un pendolo semplice di lunghezza L ha T = 2π·√(L/g). Con ampiezza A, la velocità massima è A·ω, l’accelerazione massima A·ω² e l’energia ½·k·A².
Risposta: vmax = 0,6614 m/s
Moto armonico semplice: una massa m su una molla di costante elastica k oscilla con pulsazione ω = √(k/m) e periodo T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Un pendolo semplice di lunghezza L ha T = 2π·√(L/g). Con ampiezza A, la velocità massima è A·ω, l’accelerazione massima A·ω² e l’energia ½·k·A².
La velocità è massima nella posizione di equilibrio.
Risposta: fd = 1,518 Hz
Vibrazioni libere di un sistema massa–molla: la pulsazione naturale non smorzata è ωn = √(k/m) in rad/s, e fn = ωn/(2π) in Hz. Uno smorzatore viscoso c dà il fattore di smorzamento ζ = c/cc, con smorzamento critico cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Un sistema sottosmorzato (ζ < 1) oscilla a ωd = ωn·√(1 − ζ²). Le molle in parallelo si sommano, k = k₁ + k₂; le molle in serie si sommano come reciproci, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Risposta: keq = 3,333 kN/m
Vibrazioni libere di un sistema massa–molla: la pulsazione naturale non smorzata è ωn = √(k/m) in rad/s, e fn = ωn/(2π) in Hz. Uno smorzatore viscoso c dà il fattore di smorzamento ζ = c/cc, con smorzamento critico cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Un sistema sottosmorzato (ζ < 1) oscilla a ωd = ωn·√(1 − ζ²). Le molle in parallelo si sommano, k = k₁ + k₂; le molle in serie si sommano come reciproci, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Le molle in serie hanno la stessa forza e sommano le loro deformazioni, quindi si combinano come reciproci: 1/k = 1/k1 + 1/k2.
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